一类正整数是否是孤立数的讨论

对于任意正整数n,令σ(n)表示为n的所有正因数的和函数.对于正整数n,若存在正整数m满足关系式σ(n)=σ(m)=n+m,则称正整数数对(n,m)为一对亲和数;若不存在正整数m满足关系式σ(n)=σ(m)=n+m,则称n为孤立数.亲和数与孤立数是数论中的两类重要的整数.利用初等方法结合计算机python语言,证明了整数E(33,t)=1/2(33^(2^(t))+1)是孤立数.     

关于数论函数σ(n)的一个注记

对于两个不相同的正整数m和n,如果满足σ(m)=σ(n)=m n,则称之为一对亲和数,这里σ(n)=∑d|nd．本文给出了f(x,y)=x2x y2x(x＞y≥1,(x,y)=1)不与任何正整数构成亲和数对的结论,这里x,y具有不同的奇偶性,即,关于z的方程σ(f,(x,y))=σ(z)=f(x,y) z不存在正整数解．     

寻找亲和数的艰辛岁月

人和人之间讲友情,有趣的是,数与数之间也有相类似的关系．如数论中有一种数叫“亲和数”．什么叫亲和数？定义对于自然数ｐ和ｑ,若除ｐ本身以外ｐ的所有真因数之和等于ｑ,而除ｑ本身以外ｑ的所有真因数之和恰好等于ｐ,则ｐ和ｑ是一对亲和数．例如２２０的所有真因数...     

关于数论函数$\sigma(n)$的一个注记

对于两个不相同的正整数$m$和$n$, 如果满足$\sigma(m)=\sigma(n)=m+n$, 则称之为一对亲和数, 这里$\sigma(n)=\sum_{d|n}d$.本文给出了$f(x,y)=x^{2^{x}}+y^{2^{x}}(x>y\geq{1},(x,y)=1)$不与任何正整数构成亲和数对的结论, 这里$x$,$y$具有不同的奇偶性, 即, 关于$z$的方程$\sigma(f(x,y))=\sigma(z)=f(x,y)+z$不存在正整数解.     

关于调和数的一个结论

设n是大于1的正常数,并且设n=pα11p2α2…ptαt,其中pi为素数,i=1,2,…,t,ω(n)表示n的不同素因子的个数,即ω(n)=t.若n的所有因子的倒数和为整数,即0≤∑ij≤αjj=1,2,…,t1p1i1pi22…ptit为整数,称n是调和数.证明了和调和数相关的一个结论.     

基于Fermat商构造的大族伪随机二元数列

设p为素数,整数n与p互素.Fermat商q_p(n)定义为q_p(n)≡(n^p-1-1)/p(mod p),0≤q_p(n)≤p-1.此外,当k∈Z时,定义q_p(kp)=0.本文利用关于Fermat商的特征和的估计,构造了大族周期为p~2的二元数列,并研究了其伪随机性质:一致分布、相关性、线性复杂度、碰撞与雪崩效应.     

奇完全数的几个命题

本文证明形如3m-1的正整数不是完全数,由此推出当所有的qi≡-1(mod 3)时,奇数n=p~αП_(i=1)~sq_i~(2β_i)若是完全数,那么1/2σ(p~α)必是合数.指出k倍完全数的素因子必须满足一个不等式.运用此不等式证明当a≥n-2时形如a~(2~n)+b~(2~n)(a>b>0,a,b,n∈N~+)的奇数不是完全数.还指出当a与b都与3互素时,对于任意的正整数m,n,奇数a~(2~n)+b~(2~m)不是完全数.     

连续完全平方数的一些有趣的性质

若a是整数,那么a~2就叫做a的完全平方数,例如:1,4,16,31,100,…若a为整数,n为自然数,那么a~2、(a+1)~2(a+2)~2、…、(a十n)~2叫做连续完全平方数。例如:1,4,9,16,25,36,49,64,…连续完全平方数有哪些性质呢? 我们知道,16= 4~2,25=5~2,在16和25之间的任意整数都不是完全平方数。这就是说:在两个连续正整数的平方之间不可能再有完全平方数。我们可以证明这个结论。证明: 设n和n+1是两个连续正整数。若有一个正整数a,使得a~2在n~2和(n+1)~2之间,即n~2相似文献   

关于k次加法补函数的因子函数的均值公式

对于任意正整数n,如果m n是完全k次方数,称最小非负整数m是n的k次加法补.为了研究m的性质及变化规律,这里运用初等数论和分析数论的方法,得到了d(n ak(n))的一个有趣的均值公式,从而得到了更一般的加法补函数的计算公式,完善了加法补函数在数论中的研究和应用.     

组合数的推广

一般意义下的组合数Ckn中的n,k取非负整数,某些场合中需要讨论n不是非负整数情况,这就需要对原有组合数定义加以推广.在此基础上本文对二项式定理也进行了相应推广.     

2500年研究探寻相亲数

设σ(n)为n的所有正因子(包括1和n本身在内)之和.正整数对(m,n)被称之为相亲数(或双亲数,因为这种数总是成双成对出现的)如果他们满足 σ(m)=σ(n) = m + n.如果n=n, σ(m)=2m,则m被称之为完全数(或单亲数,因为这种数总是单独出现的).更一般的,如果κ个(κ＞2)正整数(m1,m2,…mmk)满足下列条件σ(m1)=m1+m2,σ(m2)=m2+m3,σ(mk)=mκ+m1.则这κ个正整数被称之为多亲数.第一对相亲数(220,284)是在2500年前的古希腊数学家毕达哥拉斯发现的.不过迄今为止,人们对相亲数的情况、尤其对相亲数的分布情况仍然知之甚少.与相亲数有关的难题、尤其是悬而未决千百年的难题还很多就是在今夭,我们仍然不知道是不是有无穷多对相亲数,我们甚至连一个生成相亲数的充分必要条件(定义除外)都没有.在这篇文章中,我们试图给出人类在2500年的漫长历史长河中研究、探寻相亲数的大致情况与重要结果,并着重介绍从古至今生成相亲数的各种数值方法与代数方法.完全数的研究探寻史几乎与相亲数的研究探寻史是一样长的.比如2350年前的古希腊数学家欧几理德就在其数学名著<几何原本>中列出了前四个完全数,不过迄今为止,人们总共也只找到39个完全数,并且这些完全数还都是偶完全数.至于有没有奇完全数的存在,则是一个悬而未决两千多年的著名数学难题.最早的两串多亲数(一串为5个.另一串为28个),则是由法国数学家Poulet于1918年发现的.多亲数的研究探寻史虽然比相亲数的研究探寻史要短得多,但目前人们对它们的注意力与日俱增.由于相亲数与完全数及多亲数密切相关、紧密相连(我们可以将其统一称之为亲和数,因为它们都与相关数的因子和有关),因此在本文中,我们除了要讨论介绍相亲数外,也将顺便介绍完全数与多亲数的研究与探寻简史、以及人们在研究探寻这些数时所获得的一些重要结果.附注截止2004年3月25日作者校勘清样时,人们已经发现了共40个完全数和6262871对相亲数.     

素数的立方都是孤立数

本文运用数论函数的基本性质讨论了相亲数的存在性,证明了素数的立方都是孤立数.     

On the Eigenvalue Two and Matching Number of a Tree

In [6],Guo and Tan have shown that 2 is a Laplacian eigenvalue of any tree with perfect matchings.For trees without perfect matchings,we study whether 2 is one of its Laplacian eigenvalues.If the matchingnumber is 1 or 2,the answer is negative;otherwise,there exists a tree with that matching number which has (hasnot) the eigenvalue 2.In particular,we determine all trees with matching number 3 which has the eigenvalue2.     

On the amicability of orthogonal designs

Although it is known that the maximum number of variables in two amicable orthogonal designs of order 2ⁿp, where p is an odd integer, never exceeds 2n+2, not much is known about the existence of amicable orthogonal designs lacking zero entries that have 2n+2 variables in total. In this paper we develop two methods to construct amicable orthogonal designs of order 2ⁿp where p odd, with no zero entries and with the total number of variables equal or nearly equal to 2n+2. In doing so, we make a surprising connection between the two concepts of amicable sets of matrices and an amicable pair of matrices. With the recent discovery of a link between the theory of amicable orthogonal designs and space‐time codes, this paper may have applications in space‐time codes. © 2009 Wiley Periodicals, Inc. J Combin Designs 17: 240‐252, 2009     

关于多项式系数的整除性

设 n是正整数 ,k1 ,k2 ,… ,ks 是适合 k1 +k2 +… +ks=n的非负整数 ,正整数 nk1 k2 … ks=n!k1 !k2 !… ks!称为多项式系数 .本文讨论了当n=a0 +a1 p+a2 p2 +… +arpr ,其中 p为素数且 p≤ n,0≤ ai相似文献   

具有固定行列和k的阶为2k-2的(0,1)-矩阵的最大跳跃数

1992年Brualdi与Jung首次引出了最大跳跃数M(n,k),即每行每列均含k个1的阶为n的(0,1)-矩阵的跳跃数的极大数,给出了满足条件1≤k ≤n ≤10的(0,1)-矩阵的最大跳跃数M(n,k)的一个表,并提出了几个猜想,其中包括猜想M(2k-2,k)=3k-4 [k-2/2].本文证明了当k≥11时,对每个A∈∧(2k-2,k)有b(A)≥4.还得到了该猜想的另一个反例.     

All numbers whose positive divisors have integral harmonic mean up to

A positive integer is said to be harmonic when the harmonic mean of its positive divisors is an integer. Ore proved that every perfect number is harmonic. No nontrivial odd harmonic numbers are known. In this article, the list of all harmonic numbers with is given. In particular, such harmonic numbers are all even except .

     

Breeding amicable numbers in abundance. II

In a first article of this title, new procedures were described to compute many amicable numbers by ``breeding' them in several generations. An extensive computer search was later performed (in 1988), and demonstrated the remarkable effectiveness of this breeding method: the number of known amicable pairs was easily quadrupled by this search. As we learnt recently (1999) from the internet, Pederson and te Riele have again multiplied that number roughly by ten. While they give no information on their method of search, we publish here our method and summarize the computations. Our results provide some evidence for the conjecture that the number of amicable pairs is infinite.