数学归纳法与匹亚诺公理

数学归纳法推理是典型的三段论，而不是完全归纳法，其基础是自然数列的性质，而不是逻辑公理，皮亚诺公理中的归纳法公理并不是一种证明方法，而是自然数集的一条不可缺少的根据性质。     

浅談邏輯推理在数学发展中的地位

一、公理方法为数学这門科学带来的特点在数学中,有些命題不加証明,直接用作邏輯推理时的依据,这类命題叫作公理;用巳知概念說明使用概念的意义的命題叫作定义。任何一个数学命題,不管直观看来多么明显,但是只要它不是公理,都要求严格地証明。一个命题,只有当它作为定义、公理的邏輯結果,才算是被証明了的定理。这种用定义、公理作为選輯推理的基础、以建立科学体系的方法叫作公理方法。公理方法是建立数学这门科学体系的重要方法,尤其自20世纪以来,它已成为現在数学各个分支建立科学体系的基本方法。使用这种方法的結果,就为数学带来两个明显的特点。     

学会用数学语言表达几何逻辑思维过程

中学几何的推理证明是教学的难点,公理体系中的原始概念和公理个数很少,论证要求精心地表述概念和细致地逻辑推理,研究对象抽象、过程严谨.正是由于这一特点使得几何逻辑证明的教学,一方面能激发一部分学生对数学的浓厚兴趣,使他们的逻辑思维能力得到提高,另一方面又使一些学生畏惧、远离数学.几何教学的改革也做过有益的尝试,如:通过直观几何发现几何特征,然后进入完整的逻辑论证阶段.这里直观几何在启发诱导、化难为易、检验猜想等方面有一定作用,但由于直观几何与论证几何处在分离着的不同阶段,从直观几何到论证几何的过渡,对于几何推理…     

談談中学立体几何中的平面的基本性貭

我們知道,中学几何并沒有按照严格的公理体系来进行研究,这是为了照顾学生的接受能力。因此,中学几何課本中的公理,只是在不违反科学性的原則下,选用了一些既明显而又适当照顾到推理中經常需要的事实,作为几何中推理的原始依据。在高級中学課本立体几何(暫用本)中,采用了以下三条作为平面的基本性貭,即(1)如果一条直綫上的两点在一个平面內,那么这条直綫上所有的点都在这个平面內;(2)如果两个平面有一个公共点,那末它們相交于經过这点的一条直綫;(3)不在一条直綫上的三     

利用数列学习透析合情推理与演绎推理

推理是人们思维活动的过程,人们在日常活动和科学研究中经常使用两种推理——合情推理和演绎推理.合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果,以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程,主要包括归纳推理和类比推理;演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等),按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程,具体体现在直接证明和间接证明等载体中.合情推理与演绎推理是数学发现过程和数学体系建构过程中的两种重要思维形式,     

概率逻辑学基本定理在多值命题逻辑系统中的推广

通过引入概率测度空间,在n值Lukasiewicz命题逻辑系统中提出了满足Kolmogorov公理的命题公式的概率;证明了概率逻辑学基本定理,并将概率逻辑学基本定理推广到了更一般的形式,改进了对推理结论的不可靠度上界的估计;将概率逻辑学的基本方法引入计量逻辑学,建立了更一般的逻辑度量空间;通过概率逻辑学基本定理,证明了逻辑度量空间中概率MP,HS规则,它是真度MP,HS规则的推广.     

数学到底是什么?——基于《任意角的三角函数》的教学设计

"……有一种观点严重威胁着科学的生命:数学是一门不知所云的学科,它只是从定义和公理出发推导出来的一系列结论,而这些公理除了必须相互一致外,完全出自数学家心灵的自由创造.如果这种说法正确的话,那么数学就不可能吸引任何一个有智慧的人,它将是定义、法则和三段论的游戏,既无动力也无目的.……"……     

一种弱谓词逻辑上的集合论

我们的弱谓词逻辑系统 WL'是[2]中 WL 的一种减弱形式,即把 WL 中的16、17条去掉,而把15减弱成规则: 非逻辑公理系统 ZF_1是仅把 ZF 中替换公理换成[2]中形应的形式,正则公理换成如下的(Reg)_1对任不含否定词的公式■(x),有■.在古典集论 ZF 中,序数有如下的三个等价定义:     

数学论证中的逻辑问题

数学论证就是根据已知的公理、定理、定义、公式等数学命题来确定另一数学命题真实性的推理过程。下面是论证过程中应遵守的几项规则,否则犯逻辑错误。一、论题方面: (1)论题必须明确。若论题含糊不清,将犯“以讹传讹”的错误。例如,“两三角形相似时,求证它们的中线成比例”。这里的论题是含糊不清的:六条中线怎样成比例呢?即使“证池来”了,也是个假命题。只有在“中线”前面加上“对应边上的”这一条件,论题才算明确了。 (2)论题必须如一。若随时改变论题,将     

古今对照 发展学生数学公理化思想——以等腰三角形两底角相等为例

1引言《义务教育数学课程标准(2011年版)》指出:数学课程能培养学生的抽象思维和推理能力.推理包括合情推理和演绎推理,演绎推理是从已有的事实(包括定义、公理、定理等)和确定的规则(包括运算的定义、法则、顺序等)出发,按照逻辑推理的法则证明和计算[1].《普通高中数学课程标准(2017年版)》指出:逻辑推理是指从一些事实和命题出发,依据规则推出其他命题的素养.逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式,是数学严谨性的基本保证,是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质[2].     

关于向量空间定义中运算公理的独立性

对于向量空间定义中的八条运算公理,证明了"加法满足交换律"这一公理的独立性依赖于其它某些运算公理的定义形式,并证明了运算公理"k(lα)=(kl)α"和"k(α+)β=kα+kβ"的独立性与基础数域的选取有关,即当基础数域是有理数域时,这两条运算公理是其它运算公理的逻辑推论.     

新课程理念下的合情推理教学

传统数学教学中,教师常常过分强调“三段论”的演绎推理,忽视合情推理．新课程倡导让学生“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动,发展合情推理能力和初步的演绎推理能力”,就是要在数学教学中,引导学生进行探索,发现问题、解决问题,体验数学发展的过程,学会用归纳、类比和演绎进行推理．如今新的高中课程设置把合情推理纳入到选修教材中,无疑把合情推理教学推向了高潮．     

只保留結合公理的几何——一般体上的三維射影几何

一、引言学过几何的同志們都很熟悉希尔伯特(Hilbert)的几何公理体系,在这体系中基本元素是:点、綫、面。这些元素滿足五組公理:結合公理、順序公理、合同公理、平行公理和連續公理。在本文中我們将研究一种几何,它的基本元素还是点、綫、面,但是只保留一組結合公理。希尔伯特在建立他的公理体系时,事实上并不很关心連續公理,在他所写的經典著作“几何基础”的第一版里,实貭上沒有提到康托尔(Cantor)公理或与其等价的公理。后来由于潘加来(Poincaré)等人提了意見,他才在第二版中添加了和康托尔公理等价的完备性公理,并証明了体系的完备性。因此,希尔伯特书的中心思想按其实貭来說是要发展一种和連續公理无关     

逻辑系统G3中随机真度的推理规则及近似推理

在三值Godel命题逻辑系统中,推出了公式随机真度的推理规则,证明了随机逻辑度量空间中逻辑运算的连续性;研究了随机逻辑度量空间理论的发散度,提出了三种不同类型的近似推理模式,并证明了三种推理模式的等价性.这将进一步完善三值Gōdel逻辑系统中随机真度和随机逻辑度量空间的理论.     

中介逻辑命题演算系统的语言表达能力——完全性与闵氏距离不增性

中介逻辑演算ML是为建立中介公理集合论MS而构造的逻辑体系。ML的命题演算和谓词演算均被划分为自身及其扩张。但ML＆MS中有些定理和公理却又把命题与谓词限制在MP及MF的范围中,目的在于保证系统的相容性。现对MP与MP~*的命题联结词作了有关的研究。     

论必然性推理与或然性推理在数学教学中的综合应用

在逻辑里,根据推理的前提和结论之间是否具有蕴含关系,可把推理分为必然性推理和或然性推理。前提蕴含结论的推理是必然性推理;前提不蕴含结论的推理是或然性推理,一般来说,演绎推理是必然性推理的主要形式;不完全归纳推理和类比推理是或然性推理的主要形式。这两类推理往往在一些推理中是相互渗透、相互补充,相辅相成的。     

浅析用分析法证题常见的几种推理错误

分析法是一种重要的逻辑论证的思考方法,它是从待证命题“若A则B”的结论B出发,运用已知的定义、概念、定理或公理等逐步逆求结论B成立的充分条件(即每步推理可逆),最后得到待证命题的条件A或已证的事实,则待证命题获证。     

从华师大版实验教材的初中几何体系谈第九章《轴对称》教学

一、对华师大版实验教材中初中几何体系的总体认识 .这次课程改革初中数学中变化最大、最彻底的是几何部分 ,整个知识体系作了重新构建 .这种重塑的结构该是新课程理念的诠释 ,会是编者思想最完整的体现 .几何部分成了我们一线教师最需要潜心学习、最难把握、最会感到困惑的所在 .传统的初中几何以证明为主题 ,由一些经过精心组织的概念、公理、定理和三段论逻辑方法构成 ,强调的是演绎推理 ,学生学起来感到单调沉闷 ,较形式化的内容不适合初中生年龄特点和认知水平 ,趣味性、实用性较差 .新课标下的初中几何体现义务教育的基础性、普及性和…     

空间的直线与平面

1本单元重、难点分析 点、直线、平面是最基本的几何概念，要学会正确地使用它们之间关系的符号语言．平面的基本性质（三个公理和三个推论）是立体几何的基础，也是正确处理空间中点、直线、平面之间关系以及识图、画图、推理的依据．     

有关《三角形的全等判定》教学的一个想法

在现行课本中 ,三个三角形全等判定的公理顺序为 :边角边 ,角边角 ,边边边 .在此我有一个教学的想法 ,将前两个公理的教学顺序交换一下 .这个想法来源于我对角边角公理的一次教学过程的设计 .1　角边角公理教学过程设计的中心内容对于角边角公理的教学过程我分了三个部分 :公理的引入 ,公理的明确 ,公理的巩固 .与教材不同的是 ,我用一个生活中的实例设计问题情景引入公理 .这就是问题一 :有一块三角形玻璃碎成如图所示的两块 ,如果要将其复原 ,是不是两块都要带去 ?面对这样的问题学生有了兴趣而且议论纷纷 ,答案不一 .在此时教师应提出问…