Effects of couple stresses on the oscillatory flow past an infinite plate with constant suction

Summary An analysis of a two dimensional oscillatory flow past an infinite porous plate with contant suction is carried out on taking into account the couple stresses. Here the free stream velocity oscillates about a nonzero constant mean. Approximate solutions are derived to coupled linear equations, and the expressions for the mean velocity, the transient velocity, the mean skinfriction, the amplitude and the phase of skin-friction are obtained. The solutions are followed by discussion. the effects of variations of α(ν_r/ν), β(Iν/γ) and λ, the frequency are graphically represented and physically interpreted. It is observed that the reverse type of flow does not occur in the presence of the couple stresses.

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Sommario In questo lavoro è svolta un'analisi di un flusso oscillatorio bidimensionale sopra una piastra porosa, infinita, con aspirazione costante, tenendo conto delle coppie di sforzo. La velocità della corrente libera oscilla attorno ad un valore medio costante diverso da zero. Si deducono le soluzioni approssimate per le equazioni lineari accoppiate e si ottengono le espressioni per la velocità media, la velocità transitoria, l'attrito superficiale, l'ampiezza e la fase. Si discutono le soluzioni. Si rappresentano graficamente e si interpretano fisicamente gli effetti delle variazioni di α(ν_r/ν), β(Iν/γ) e λ. Si osserva che in presenza delle coppie di sforzo nel fluido non si ha il tipo inverso di flusso.

     

Theoretical studies on heterogeneous deflagration waves. 1. A partial differential equation formulation of the problem

Summary This is the first of a three — part theoretical study on heterogeneous deflagration wave propagation. The theory is of a general nature; but specific reference to a composite solid rocket propellant is made. The ultimate objective of this line of research is to define conditions for statically and dynamically stable deflagration propagation. In this first paper, a quite general model of the problem in terms of a partial differential equation is reviewed. A flame model is used for the gas phase. The important assumptions are quasi-steady gas phase and collapsed reacting layer in the condensed phase. The model developed is the starting point for a transformation into an ordinary differential equation formulation of the problem (second part of the study); from this, the stability features of heterogeneous deflagration waves are immediately defined (last part of the study). The theory is verified by computer and experimental work, presently under progress.

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Sommario Questa è la prima di una serie di tre memorie dedicate all'analisi teorica della propagazione di onde eterogenee di deflagrazione. La teoria è di natura generale, ma per concretezza viene applicata al caso specifico di un propellente solido composito per endoreattori. Lo scopo finale della ricerca è di definire le condizioni necessarie per la stabilità statica e dinamica della propagazione di onde eterogenee di deflagrazione. In questa prima memoria viene rivisto un modello abbastanza generale del problema basato su di una equazione differenziale alle derivate parziali. La fase gassosa è trattata secondo un modello di fiamma. Le ipotesi più importanti riguardano la quasi-stazionarietà della fase gassosa e lo spessore trascurabile dello strato reagente in fase condensata. Il modello cosi sviluppato costituisce il punto di partenza per una formulazione del problema basata su di una equazione differenziale ordinaria (seconda memoria), che permette di definire immediatamente le proprietà di stabilità di onde eterogenee di deflagrazione (terza memoria). Sono in corso di svolgimento le verifiche numeriche e sperimentali della teoria proposta.

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Support by CNPM (Centro di Studio per Ricerche sulla Propulsione e sull'Energetica) is gratefully aknowledged.     

Stationary and extremum variational formulations for the elastostatics of cable networks

Summary The static analysis of elastic cable networks submitted to generic, conservative loads and prescribed dislocations is considered in this paper. The cables are assumed as stress-unilateral (only tensile stresses are admitted), and represented according to a Lagrangian standpoint, under the customary large displacements hypothesis. A variational formulation of the problem is given, as the stationary of a saddle functional with respect to displacements and (signconstrained) tractions. Uniqueness properties for the solution are derived from this statement, together with two complementary (constrained) minimum formulations, which correspond to the well-known extremum principles of the total potential energy and the complementary energy. The case of a network loaded only at the nodes is exposed as a specialization.

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Sommario Si considera il problema dell’equilibrio delle reti di funi elastiche sottoposte a carichi conservativi, distribuiti o concentrati, e a distorsioni impresse. Alla singola fune è attribuito comportamento unilaterale (reagenza a sola trazione). La trattazione è condotta in forma lagrangiana, sotto la naturale ipotesi di grandi spostamenti. Si perviene ad una formulazione variazionale di stazionarietà di un funzionale sella nelle variabili di spostamento e di sforzo, queste ultime vincolate in segno, e sulla base di questa formulazione vengono discusse le proprietà di unicità della soluzione. Si deducono inoltre due formulazioni complementari di estremo vincolato, corrispondenti agli usuali principi di minimo dell’energia complementare e dell’energia potenziale totale. Il problema delle reti caricate solo nei nodi è esposto come caso particolare.

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The content of this paper was partly presented at the sixth congress AIMETA, held in Genova (Italy), October 7–9, 1982.     

On the local analysis of continuum deformation

Summary The role of the cartesian representation of the deformation gradient in the non-linear theory of continuum deformation is studied. Indeed, explicit formulae for the local analysis of deformation are obtained in terms of such a representation. Further, some connections with the multiplicative strain and rotation measures are examined.

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Sommario Si studia il ruolo della rappresentazione cartesiana del gradiente di deformazione nella teoria non-lineare della deformazione di un corpo continua tridimensionale. In termini di tale rappresentazione, si ottengono formule esplicite per le variazioni locali di lunghezza, angolo, area e volume. Si esaminano inoltre alcune connessioni con le misure multiplicative di deformazione pura e di rotazione.

     

On transient development of ship waves on a running stratified ocean

Summary A theoretical study is made of the linearized problem of transient development of waves created by the free surface pressure disturbances on a running stratified ocean which is composed of two layers of fluids of different densities with the infinitely deep bottom layer. With the aid of the same method of the author (1969c), asymptotic solutions for the free and interfacial surface elevation functions are obtained explicitly. Solutions of the corresponding steady state problem of ship waves in a stratified ocean due to Crapper (1967) are recovered in the limit t without having to resort to the use of the radiation condition at infinity or an equivalent device. The solution of the problem, in general, consists of two different classes of waves. The waves of the first class are the usual surface waves for the homogeneous ocean with a little modification in amplitude; and the waves in the second class are the internal waves with large amplitude for small differences in density between the upper and lower layer of the ocean. Some discussions about the internal wave motions related to the infinitesimal density stratification and shallow upper layer are made.

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Sommario Si compie uno studio teorico sul problema linearizzato del transitorio creato da perturbazioni di pressione sulla superficie libera di un oceano stratificato formato da due strati di densità diversa con lo strato inferiore di profondità infinita. Per mezzo del metodo già sviluppato dall'autore (1969c) si ottengono soluzioni asintotiche esplicite per le funzioni che danno le quote della superficie libera e di quella di separazione. Le soluzioni del corrispondente problema a regime di onde prodotte da una nave in un oceano stratificato dovute a Crapper (1967) sono ritrovate al limite t senza dover ricorrere all'uso delle condizioni di radiazione all'infinito o ad un equivalente artificio. La soluzione del problema, in generale, consiste di due diverse classi di onde. Le onde della prima classe sono le solite onde di superficie di un oceano omogeneo con piccole modifiche nell'ampiezza; le onde della seconda classe sono onde interne con grande ampiezza per piccole differenze di densità fra lo strato superiore e inferiore dell'oceano. Si discute poi il moto ondoso interno relativo alla stratificazione infinitesimale di densità e allo strato superiore di piccole profondità.

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Summary presented to the Seventy-sixth annual meeting of the American Mathematical Society at San-Antonio, January, 1970.     

On the behaviour of one-dimensional waves in thermo-viscoelastic fluids

Summary We investigate the behaviour of one-dimensional acceleration waves propagating into a thermo-viscoelastic fluid through a model characterized by constitutive equations with both thermal and viscous relaxation times. The differential equation governing the amplitude of thermomechanical longitudinal waves is shown to be a Bernoulli equation. Waves entering a region at rest in thermal equilibrium are precisely discussed: our results confirm that longitudinal waves are not exceptional. Finally, attention is confined to purely mechanical transverse waves: it is proved that the amplitude of such waves satisfies a linear equation, hence transverse waves propagating into a region at equilibrium are exceptional.

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Sommario Si analizza il comportamento delle onde di accelerazione unidimensionali che si propagano in un fluido termo-viscoelastico caratterizzato da equazioni costitutive con tempi di rilassamento sia termico che viscoso. Si dimostra che l'ampiezza delle onde longitudinali termomeccaniche soddisfa un'equazione differenziale del tipo di Bernoulli. Si esaminano più in dettaglio le onde che entrano in regioni in equilibrio, termico e meccanico: i risultati ottenuti confermano che le onde longitudinali ammesse dalla teoria non sono eccezionali. Infine, si concentra l'attenzione sulle onde trasversali puramente meccaniche: si prova che l'ampiezza di tali onde soddisfa un'equazione lineare, quindi le onde trasversali propagantisi in regioni in equilibrio sono eccezionali.

     

Dynamic pressure and response factors for progressive gravity waves to third order approximation

Summary This paper proposes expressions of the dynamic pressure and of the transfer functions (response factors) between the dynamic pressure amplitude and the wave amplitude and between the dynamic pressure and the vertical displacement of the wave profile, for irrotational progressive gravity waves to third order approximation (non-linear theory).Some characteristic behaviours of the dynamic pressure and of the response factors are examined and compared with those of waves to first order approximation (linear theory).

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Sommario Si ricavano le espressioni della pressione dinamica per onde irrotazionali progressive di gravità al terzo ordine di approssimazione (modello non lineare).Si individuano le funzioni di trasferimento (fattori di risposta) sia tra l'ampiezza della pressione dinamica e l'ampiezza d'onda, sia tra la pressione dinamica e lo spostamento verticale della superficie di ondulazione.Si esaminano comportamenti caratteristici della pressione dinamica e dei fattori di risposta e si confrontano tali comportamenti con quelli relativi alle onde al primo ordine di approssimazione (modello lineare).

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A refined theory for laminated beams: Part II—An iterative variational approach

This paper presents a displacement-based one-dimensional model for the analysis of laminated composite beams, based on the assumption of cross sections rigid in their own planes. The proposed model is mainly focused on the boundary layer analysis. The representation of the axial displacements is given as products between line functions and warping modes of the cross section. Both the sets of unknown functions are determined by means of a variational formulation in order to obtain the ‘best choice’ for the thickness coordinate functions. The minimization of the total potential energy functional is reduced to a sequence of linear problems by means of a gradient technique. Various examples referring to simply supported and cantilever beams, subjected to distributed or concentrated loads, are solved. The results for stress distributions are found to be in excellent agreement with exact plane strain and finite element plane stress solutions even at very low distances from the end sections.

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Sommario In questo lavoro viene presentato un modello monodimens onale agli spostamenti per l'analisi di travi in laminato multistrato fondato sull'ipotesi di sezioni indeformabili nel proprio piano. Il modello è finalizzato principalmente allo studio degli effetti di bordo. Gli spostamenti assiali vengono espressi attraverso prodotti fra funzioni di linea e modi di ingobbamento della sezione. Entrambi gli insiemi di funzioni incognite sono determinati attraverso una formulazione variazionale allo scopo di ottimizzare le forme di ingobbamento della sezione. La minimizzazione del funzionale dell'energia potenziale totale viene ridotta ad una sequenza di problemi lineari mediante una tecnica tipo gradiente operando alternativamente le varizioni rispetto ai due insiemi di funzioni incognite. Negli esempi risolti, gli stati tensionali ottenuti risultano in eccellente accordo con soluzioni esatte (in stato piano di deformazione) e con soluzioni agli elementi finiti (in stato piano di tensione) anche in prossimità delle sezioni estreme libere o vincolate.

     

Large amplitude internal gravity waves in stably stratified fluids: Linear model

Summary In this paper, we consider a linear model for internal waves in a stratified fluid. The equations are generalised by Fourier analysis after the manner of Scorer(1949) who considered an infinite atmosphere.

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Sommario Si considera un modello lineare per le onde interne in un fluido stratificato. Le equazioni sono generalizzate con un'analisi di Fourier secondo il metodo di Scorer(1949) che ha considerato un'atmosfera infinita.

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A general method for sensitivity analysis of plane mechanism

Summary The paper describes a general method for the sensitivity analysis of plane mechanisms, particularly suited for use with automatic computation facilities. The sensitivity coefficients are computed through “macros”, thus greatly reducing the effort and the background required by the designer. The problem is solved by reducing it to a subcase of kinematic analysis of the general equivalent kinematic chains of the macros. The method can be applied to tolerance analysis, and to dynamic analysis in order to determine the forces (virtual work theorem) or the law of motion (Lagrande equations).

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Sommario L'articolo illustra un metodo generale per l'analisi di sensibilità nei meccanismi piani, particolarmente adatto ad un impiego con mezzi di calcolo automatico. La determinazione dei coefficienti di sensibilità viene effettnata per “macro”, riducendo quindi al massimo lo sforzo e le conoscenze richieste al progettista. La soluzione del problema viene ottenuta riducendolo a un sottocaso di analisi cinematica delle catene cinematiche generali equivalenti degli elementi semplici. Vengono delineaté le applicazioni all'analisi delle tolleranze ed all'analisi dinamica, per la determinazione delle forze (teorema dei lavori virtuali) o della legge di moto (equazioni di Lagrange).

     

Generalized wavefront expansion properties and limitations

Summary The properties of an asymptotic method for the study of the propagation of weak shock waves in hyperbolic systems are examined in detail in the simple case of the single nonlinear wave equation in one space dimension. The general features of the method are briefly recalled and a comparison between the results obtained by this method and the exact solutions obtained by the shockfitting technique is made. Under appropriate regularity assumptions the method provides an approximation of the exact solution of the desired order for short times.

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Sommario Le proprietà di un metodo asintotico per lo studio della propagazione di onde d'urto deboli in sistemi iperbolici sono esaminate in dettaglio nel semplice caso della singola equazione d'onda non lineare in una dimensione spaziale. Sono richiamate brevemente le caratteristiche generali del metodo e viene fatto un confronto fra i risultati ottenuti con questo metodo e le soluzioni esatte ottenute con la tecnica dello shock-fitting, Sotto opportune ipotesi di regolarità il metodo fomisce una approssimazione della soluzione esatta, all'ordine desiderato per piccoli tempi.

     

A numerical method for second order thin airfoil theory

Summary In this note a fast Cauchy integral solver and its application to the solution of symmetric incompressible flows, based on a quadratic thin airfoil theory, are presented. The computed velocity near the leading edge has been corrected with the Lighthill rule. Some results relative to airfoils and to cascade are reported.

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Sommario In questa nota si presenta un veloce algoritmo per il calcolo dell’integrale di Cauchy che è stato applicato al calcolo di flussi simmetrici incomprimibili in base ad una teoria quadratica delle piccole perturbazioni. La velocità calcolata nell’intorno del bordo di attacco è stata corretta con la regola di Lighthill. Si presentano alcuni risultati relativi a profili alari isolati ed a schiere di profili.

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The semidiscrete Boltzmann equation for hard-spheres

Summary This paper deals with a semi-discrete model of the Boltzmann equation, such that the velocity distribution is discretized in modulus, but non in direction. The mathematical model is described in details, then the formulation of the initial value problem is proposed; the mathematical analysis supplies some rigorous results on the global mild solution and on its asymptotic behaviour.

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Sommario Si studia un modello di equazione di Boltzmann semidiscreta, caratterizzato dal fatto che le velocità sono discretizzate in modulo e non in direzione. Viene descritto in dettaglio il modello, quindi si studia il problema di Cauchy, fornendo indicazioni sul comportamento asintotico della soluzione.

     

Pressure pulses in fluid filled distensible tubes

Summary By comparing experimental records with model solutions we are led to propose a dispersion relation governing the propagation of pressure pulses in fluid filled distensible tubes. This relation contains a single undetermined parameter having the dimension of time. We show how this parameter may be interpreted and obtain an estimate of its value. Some comments concerning the speed of propagation of pressure waves in the haemodynamics contest are made.

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Sommario Si considera la propagazione di onde di pressione in tubi distensibili riempiti di fluido. Dal confronto delle registrazioni sperimentali con le soluzioni teoriche si propone una semplice relazione di dispersione che contiene un singolo parametro indeterminato avente le dimensioni di un tempo. Si mostra come interpretare tale parametro e come stimare il suo valore. Si conclude con alcune considerazioni sulla velocità di propagazione delle onde di pressione nell'ambito emodinamico.

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This work has been realized within a bilateral project supported by the Italian Research Council (CNR) and the Natural Scinces and Engineering Research Council of Canada (NSERC).     

Finite element techniques in plane limit problems

Summary Limit analysis of plane structures is formulated by applying a finite element linear programming technique that was previously proposed by the same author.Three different element models are considered: the constant stress compatible model, the linear stress equilibrium model, the quadratic stress equilibrium model. Some notes are devoted to the construction of the stress fields with reference to the adopted method.Some suitably chosen numerical applications are then proposed in order to compare the different approaches as far as numerical efficiency and result accuracy are concerned. The possibility of improving the linear programming procedure is also discussed, and in particular a method is proposed to find out an initial feasible vector on the basis of mechanical considerations, in order to overcome the necessity of the so-called M-phase of the simplex method.Numerical results are given together with the comments.

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Sommario Si formula il problema dell'analisi limite di strutture piane secondo un metodo degli elementi finiti già proposto dall'autore.Nel presente lavoro vengono considerati tre diversi modelli di elementi e precisamente: il modello congruente a sforzo costante e quelli equilibrati a campi di sforzo lineare e quadratico. La costruzione dei tre modelli viene presentata in dettaglio nell'ambito del metodo adottato.Vengono quindi presentati alcuni esempi di applicazione opportunamente scelti, con lo scopo di confrontare l'efficienza numerica e l'accuratezza di risultati ottenuti con l'impiego dei tre modelli. Si discute inoltre la possibilità di migliorare l'efficacia dell'algoritmo matematico ed in particolare si suggerisce un metodo che, individuando una soluzione ammissibile di partenza sulla scorta di considerazioni meccaniche, permette di evitare la cosiddetta fase M della programmazione lineare.I commenti sono accompagnati dai risultati numerici.

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Research supported by the C.N.R. (Italian National Research Council).     

An exact solution for one-dimensional unsteady nonlinear groundwater flow

After a brief review of the validity of Darcy's law, a nonlinear flow law is adopted for the analytical solution of a groundwater flow problem. A one-dimensional unsteady flow in plane geometry, with prescribed head at the boundaries, is studies. The solution of the analogous linear case is reviewed through the use of Boltzmann's transformation. A solution for nonlinear flow is obtained through a generalization of this transformation. Detailed expressions for specific discharge and drawdown are derived for two significant values of the exponent of the flow law. All results are presented in dimensionless form for a comparative analysis. Some significant cases are plotted. Finally, some implications of the adoption of a nonlinear flow law are discussed.

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Sommario Dopo un breve riepilogo sui limiti di validità della legge di Darcy, si adotta una formulazione non lineare della legge del moto per la risoluzione analitica di un problema di filtrazione. Si studia un moto non stazionario monodimensionale in geometria piana, con carico assegnato al contorno. Viene richiamata la soluzione dell'analogo caso lineare, tramite l'applicazione della trasformata di Boltzmann. Una soluzione per il moto non lineare è ottenuta mediante la generalizzazione di tale trasformazione. Si ricavano le espressioni della velocità apparente di filtrazione e del drawdown per due valori significativi dell'esponente della legge del moto. Tutti i risultati sono presentati in forma adimensionale per una analisi comparativa. Alcuni casi significativi sono diagrammati. In conclusione, sono discusse alcune implicazioni dell'adozione di una legge del moto non lineare.

     

Reflection of bounded acoustic beams on a fluid-solid interface

The reflection of an acoustic beam onto a fluid-solid interface is studied under the assumption that the solid medium is viscoelastic. The incident beam is represented as a superposition of plane monochromatic homogeneous waves and its profile is assumed to be Gaussian shaped. The outcoming wave field at the interface, and away from it in the fluid, is numerically calculated for different values of the frequency and of the beam width.

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Sommario Si studia la riflessione di un fascio di onde acustiche sulla superficie di separazione fra un liquido ed un solido nell'ipotesi che il mezzo solido sia viscoelastico. Il fascio incidente ha un profilo gaussiano e viene rappresentato mediante la sovrapposizione di onde piane monocromatiche omogenee. Si calcola numericamente il profilo del fascio riflesso sia sull'interfaccia, sia lontano da essa nel fluido, per diversi valori della frequenza e della larghezza del fascio.

     

Dynamics and wave propagation in dilatant granular materials

The equations of motion for dilatant granular material are obtained from a Hamiltonian variational principle of local type in the conservative case. The propagation of nonlinear waves in a region with uniform state is studied by means of an asymptotic approach that has already appeared useful in an investigation on wave propagation in bubbly liquids and in fluid mixtures. When the grains are assumed to be incompressible, it is shown that the material behaves as a continuum with latent microstructure.

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Sommario Si ricavano le equazioni di moto per i materiali granulari dilatanti da un principio variazionale Hamiltoniano di tipo locale nel caso conservativo. Si studia la propagazione delle onde non lineari in una regione di stato costante per mezzo di un approccio asintotico già rivelatosi utile nello studio della propagazione di onde nei liquidi con bolle e nelle miscele di fluidi. Quando si supponga che i granuli siano incomprimibili, si dimostra che il materiale si comporta come un continuo con microstruttura latente.

     

Surface waves in deep water due to arbitrary periodic surface pressure

Summary The expressions for the velocity potential and the surface elevation are obtained for the three dimensional motion on surface waves generated by a surface pressure F(x, y)e^{i t}, t>0, on the surface of a deep sea. The wave integrals are asymptotically evaluated for large distances and times by the method of stationary phase. By a direct passage to the limit t, the steady state solution of the problem is evaluated in exact terms. The results are illustrated for a class of physically plansible pressure distributions on the surface. Some features of the wave motions are discussed.

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Sommario Si ottengono le espressioni per il potenziale della velocità e la elevazione della superficie nel moto tridimensionale di onde superficiali generate da una pressione superficiale F(x, y)e^{i t}, t>0, sulla superficie di un mare profondo. Gli integrali di onde sono calcolati asintoticamente per grandi distanze e tempi con il metodo della fase stazionaria. Con un passaggio diretto al limite t, si calcola in termini esatti la soluzione di regime del problema. I risultati vengono illustrati per una classe di distribuzioni di pressione superficiale fisicamente plausibile, Si discutono alcune caratteristiche dei moti ondosi.

     

Natural frequencies of a non homogeneous isotropic elastic infinite plate of variable thickness resting on elastic foundation

Summary The dynamic free response of a nonhomogeneous isotropic elastic infinite plate of parabolically varying thickness resting on an elastic foundation has been studied. The frequencies, deflections and moments corresponding to the first five modes of vibration have been computed for the two combinations of boundary conditions, clamped-clamped (C-C) and clamped-simply supported (C-SS) and various values of taper constant, nonhomogeneity parameter and foundation modulus by applying the method of Frobenius for the solution of the governing differential equation of motion.

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Sommario Si sono studiate le oscillazioni libere di una piastra elastica infinita, non omogenea, isotropa, di spessore parabolicamente variabile, poggiata su un suolo elastico. Applicando il metodo di Frobenius per la soluzione della equazione differenziale del moto si sono calcolate le frequenze, le deformate ed i momenti corrispondenti ai primi cinque modi di vibrazione per due combinazioni di condizioni al contorno, incastro-incastro ed incastro-appoggio e diversi valori della rastremazione, del parametro di non omogeneità e del modulo del suolo.