147记一个逆否命题的辨析课

[主持人按对于一个题解(解答)的反思辨析能力,本应是每一个优生应该具有的重要能力--这个解答有没有错?错在哪里?为什么错?应如何改正?把评判的任务都推给老师来做的认识,是对培养优秀人才不利的.     

引导学生在辨误中自悟

在数学教学中,我们经常会遇到这种情况:有些难点问题,尽管老师分析讲解得很清晰,而且反复提醒学生注意,但是学生还是照错不误.如何解决这一问题?创设辨误情境,引导学生在辨误中自悟是一种有效的举措.即教师提出问题后,不急于提示或给出正确答案,而是与学生一起思考,一起探索,让学生直接解答、辨析,使学生的错误充分"曝光",因势利导,促其自悟.用以培养学生分析问题、解决问题的能力.     

解题反思 提高能力

波利亚曾经说,如果学生得到问题的解答,并且很干净利落地写下论证后就会合上课本,去做其他事情.这样做,学生就错过了解题的一个重要而有教益的方面——解题反思.波利亚认为,学生通过回顾所完成的解答,重新考虑与检查这一结果及其解答路径,可以巩固知识,发展解题能力. “解题反思”是指对一道数学题经过艰辛尝试,获得正确的解答过程之后,必须认真进行如下探索:命题的意图是什么?考查哪些方面的概念、知识和能力?验证解题结论是否正确合理,命题所提供的条件的应用是否完备?求解论证过程是否判断有据,严密完善?本题有无其他解法即一题多解?众多解法中哪一种最简捷?把本题的解法和结论进一步推广,能否得到更有益的普遍性结论——举一反三,多题一解?如此种种,就是“解题反思”.     

解后思,思什么?

美籍数学家波利亚指出:"即使是相当好的学生,当他得到问题的解答,就会合上书本,找点别的事来做,这样,他们就错过了解题的一个重要而又教益的方面:通过回顾所完成的解答,通过重新考虑和检查这个结果,回忆得出这个结果的思路,学生们可以巩固他们的知识,发展他们的能力."可见,波利亚十分主张题后反思.因此,在解完数学题后,有必要回顾一下解题过程,并作进一步探究,即进行解题反思,这样,不仅能巩固已学过的知识,避免解题的错误,更重要的是还能掌握解题技巧,提高数学解题能力.教学实践证明,这样做常常可以收到事半功倍的效果.然而,我们要提高数学解题能力,需要反思些什么?笔者认为可以从以下四个方面进行反思.     

分析问题的能力与解题的进步——一道中考压轴题的教学设计

波利亚对“解题的进步”这个话题是相当重视的 .在他的名著《怎样解题》中有这样两小节 :“进步与成功”(又译“进展与成就”) ,“进展的标志”.他说 :“必须在解题中试求明了一般是什么造成了进步与成功的”.本应与各级考试的评分标准划定中紧密联系的“解题的进步”这一课题 ,在数学教育评价的研究中尚未引起足够的关注 ,是遗憾的 .受传统文化的影响 ,各级数学考试试题的“参考解答与评分标准”,总是清一色的只写一二个解答 ,然后分段划定一个“评分标准”就了事了 .我们不禁要问 :这样分段记分方式合理吗 ?科学吗 ?需要或有可能作改进吗 ?每一个分数点 ,是否都真实地反映了考生的“解题的进步”?大纲强调的“分析问题的能力”,为什么总是很少能在“评分标准”上反映出来 ?为什么不可以列一个能反映出考生已基本看清了解题思路的 (倒推 )分析的评分点 (即能写出这样的“分析”也给分 ) ?完全可以期望 ,评分点设置的改革 ,会对扼制不讲分析的“题海战术”产生振荡性的影响     

一道数列题解法与引申

<正>《中学生数学》2015年6月(上)头篇刊发了康宇老师的《学会辨析》一文,文中分四个方面对一些数列问题的错解进行了有理、有据的辨析,读后受益匪浅.在学习上文的过程中,笔者发现文中例1的解答不够完善,现提出来,与作者商榷.为便于说明问题,现将原文中的例题及其解答照写如下:     

让思维在解题后继续飞翔

波利亚曾说:“一个好的教师应该懂得并传授给学生下述看法:没有任何一道题可以解决的十全十美,总剩下一些工作要做,经过充分的探讨总结,总会有点滴的发现,总能改进这个解答,而且在任何情况下,我们总能提高自己对这个解答的理解水平”.本文通过对一道立体几何竞赛解题后反思与解     

严防等腰三角形中的“陷阱”

<正>同学们解答有关等腰三角形的问题,当所给的边、角等条件不明确时,常因忽视分情况讨论而跌入"陷阱",发生漏解甚至错解.陷阱之一——利用顶角与底角不分设陷对于等腰三角形,只要已知它的一个内角的度数,就能算出其他两个内角的度数,如果题中没有确定这个内角是顶角还是底角,必须分成两种情况来讨论.分类时要注意:三角形内角和等于180°;等腰三角形中至少有两个角     

f~(-1)(x 1)是f(x 1)的反函数吗

本“说课”的课题是高三第一轮复习集合与函数这部分内容中的一节课 .问题来自学生对一道习题的错解 .1　教学内容和意图习题课该怎样组织习题 ?如何看待和纠正学生的错解 ?这是老师在复习课教学中关心的问题 .这节课从分析学生在解题中出现的有代表性的错误入手 ,加深对映射、函数、复合函数、反函数等重要概念的理解 ,肯定在错解过程中运用的合情推理———类比 :由ｙ =ｆ(ｘ)的反函数是ｙ =ｆ- 1 (ｘ) (如果反函数存在 ) ,类比得到函数ｆ- 1 (ｘ 1 )是ｆ(ｘ 1 )的反函数 ,引导学生对类比出来的结论给予严格的证明和说理 ,以及对该问题的…     

万事起头难,“生疑”是首要

高考、中考中,乃至作业中,一个题你已经做好了.如果你这“解法”有错误,或者不完全对,而你自己却还不知情时,最重要的是什么呢?最重要的是“生疑”!是从不同的角度考虑后,你对这一解法自己产生了怀疑.决不是“为什么错?”因为你还蒙在鼓里呢,还不知道这解法已经错了.“为什么错?”只是第二步时要追究的.第一步是“生疑”,第二、三步才是“析疑”、“解疑”:“为什么错?”“错在哪里?”“完整的解答是怎样的?”没有这第一步,就决不会再有第二步、第三步的.所以,在课堂教学上,当发现学生有错误时,重要的是如何去启发学生“生疑”,自己意识到这“解法”可能有误.而不是直接告诉学生“为什么错?”以及它的正解.这正是当前的一些课堂教学中所缺失的;也是本篇设计的意义之所在!     

对一道组合题的再分析

翻开《中学生数学》2004年第9月上期第36 页上有王倩茹同学写的一篇《一类排列组合问题 的辨析》一文,为便于说明,现摘出题目及其解答 (取其认为正确的一解)如下: 有3个不同的红球,5个相同的白球,要从 中取出3个球,其中至少有一个红球的取法有多 少种?     

注重题后反思培养学生思维品质

美籍数学家波利亚指出:"即使是相当好的学生,当他得到问题的解答,就会合上书本,找点别的事来做.这样,他们就错过了解题的一个重要而有教益的方面:通过回顾所完成的解答,通过重新考虑和检查这个结果,回忆起得出这个结果的思路,学生们可以巩固他们的知识,发展他们解题的能力."由此可见,波利亚十分主张题后反思.可喜的是:注重题后反思,现已成为广大数学教育工作者的一种共识.那么, 题后应反思什么,怎样通过题后反思来培养学生的良好思维品质?本文将作粗浅阐述.     

值得一走的"弯路"——"装球问题"课堂讨论一例

在一节习题课上,学生对一个问题(本文“问题Ⅲ”)提出了老师备课时未考虑到的一种解法.对此,老师随机应变,利用学生的解法因势利导地做了一点“文章”.这样,便使问题Ⅲ的解答走了一段“弯路”.然而,这段弯路却引发了学生浓厚的学习兴趣.本节课原来的安排是,先由师生一起探讨三个“装球问题”的解法.然后由学生完成几道相关的习题.三个“装球问题”是:设m,n∈N ,且m相似文献   

发散、联想与类比——等差数列一个性质的探索

这一课的教学特色 ,主要体现在如下的四个“自主”上 :让学生“自主提出问题”——以等比数列类比等差数列 ,类比地提出问题 ;通过特例的观察、比较 ,归纳地提出问题 .“自主探索”——先是模仿讨论等差数列时的思路 ,试图解决等比数列的类似问题 ;遇到什么困难就解决什么困难 .“自主反思”——自己判断解决得正确与否 ;大思路对否 ,细节上有何处须予以补究 .“自主修正”——自己原先提出的问题若解决不了 ,想一想 :怎样修改一下就可以得出新的结论呢 ?这样的探究 ,不就是数学能力的体现么 !     

注重过程 推陈出新

“提出问题、发现问题、解决问题是任何一个学数学的人都要面临的最重要问题 .一个人的解题能力的强弱直接影响后来的发展” ,这是我们老师的口头禅 ,我也将其作为我学习的座右铭 .老师还常讲 ,“作题不在多而在精 ,只有从分析解题过程入手才能学会解决问题、学会发现问题” ,这些话实际上向我们介绍了一个学习的方法 .诚如老师讲的 :“平面几何在中学阶段既是最难学的一门数学课程 ,也是老师较难教的一门课程 ,它也是最能培养一个人的逻辑思维能力的一门数学课程” ,每年的高中数学联赛必有一道大题为平面几何内容 ,老师在辅导中向我们介绍…     

浅说两个复数间的关系

高中数学课本《代数》(甲种本)第二册 P.195,有这样一段话:“两个复数,如果不全是实数,就不能比较它们的大小。”虽然,课本中指出:“关于这个命题的证明,本书从略。”但是,对于求知欲很强的学生,这个问题是必须要求教师解答的。如果仅像教学参考书上那样,只举两个例子也是不能圆满解释清楚的。笔者认为,对于这个问题要从以下三个方面进行解释。一.两个复数问存在顺序关系首先我们给出数集扩大原则。即“在扩大数集中,对于某些运算与关系应重新定义,并且当其将原来数集中的数看成扩大数集中的数时,要与新定义一致。”根据这条原则。我们就可以研究复数的顺序问题了。对于复数 x+yi(x、y∈R,本文中 R 表     

注重反思 提升能力

有些学生很苦恼,对于有些问题虽然会做,可是方法不太好,在学习中消耗了大量时间,感觉很“不爽”．看到老师或者同学的一些简捷解法总是羡慕不已．如何提高学生的解题能力自然成为广大师生共同追求的目标．对于会做的问题,要养成反思的良好习惯,反思是提高学生解题能力的必由之路．经过反思,可以查找不足,总结经验,也能深刻理解问题本质,优化解法,掌握技巧,提升能力,促进学生能力的和谐发展．可从以下八个方面进行：     

平移在数学解题中的妙用——由一道中考压轴题的解法联想到

俗话说:"要给学生一杯水,教师要有一桶水."但是,如果教师有了一桶水,那么倒给学生那杯水时,怎样倒不至于把水倒出杯外?就要讲教学方法,即需要教学的艺术.现在有些老师在初中总复习时,为了对付中考的"压轴题",成了历年全国各地中考压轴题的"搬运工",把原题中的解答过程不假思索地抛给学生,使学生负担重,收效甚微,而且还不得要领.从这个意义上来讲,我们在数学总复习时对压轴题的解答要作一番分析和思     

从“九树十行”问题到帕斯卡定理——兼谈2023年高考北京卷解析几何题的射影几何背景

<正>1 “九树十行”问题在英国1821年出版的一本趣味算题集?冬日长夜的智力游戏?里面,记载着一道牛顿提出的几何问题:一共需要种9棵树,要求能排成10行,而且每行恰有3棵树,请读者画出满足要求的种法．这在历史上被称为“九树十行”问题．显然可以转化为如下的几何题——需要大家在平面内找到9个点,连出10条不同的直线,且每条直线都通过9个点中的3个．你能画出满足要求的构图吗?图1是一种满足要求的特殊情况．为了画出10条直线,我们尽量让图形对称．设4点A,     

导引审题思维 培养解题能力——圆锥曲线综合题解题思路的生成

在数学课上,很多学生存在这样的情形:在课堂上听懂教师讲的课并不难,仿照例题解几道题也完全可以,但让他们要用学过的知识去解决一个新的问题就不是轻而易举的了.这就是学生常常出现“一听就懂,一过就忘,一做就错”的现象.造成这种现象的一个主要原因是老师在讲解题目时忽视对学生审题能力的培养,导致学生在审题时不能抓住题目的“题眼”所在.因此教师要讲授的应该是审题突破口的寻找,即“为什么这么解?思