两个“推广”的注记

贵刊文［１］、［２］给出了不等式：２（ａ３＋ｂ３＋ｃ３）≥ａ２（ｂ＋ｃ）＋ｂ２（ｃ＋ａ）＋ｃ２（ａ＋ｂ）（ａ,ｂ,ｃ＞０）（高中《代数》下册Ｐ３２第５题）的两个推广,读后颇受启发,作为两个推广的注记,本文对其中的指数作进一步的推广;推广１　设ａ、ｂ、ｃ、ｋ、ｍ、ｎ＞０,且ｍ≥ｋ,ｍ＋ｋ＝ｎ,则２（ａｎ＋ｂｎ＋ｃｎ）≥ａｎ＋ｂｎ＋ｃｎ＋ａｍ－ｋｂｋｃｋ＋ａｋｂｍ－ｋｃｋ＋ａｋｂｋｃｍ－ｋ≥ａｍ（ｂｋ＋ｃｋ）＋ｂｍ（ｃｋ＋ａｋ）＋ｃｍ（ａｋ＋ｂｋ）证明　现证前一个不等式,即证ａｎ＋ｂｎ＋ｃｎ≥ａｍ－…     

一个不等式猜想的推广及证明

在文 [1]中 ,宋庆、宋光在证明下面两个不等式 :若ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,则(ａ ｂ) (1ａ 1ｂ)≥ 4 4 (4 ｂａ -4 ａｂ) 2 (1)(ａ ｂ ｃ) (1ａ 1ｂ 1ｃ)≥ 9 6 [(6ｃｂ -6ｂｃ) 2 (6ａｃ -6ｃａ) 2 (6ｂａ -6ａｂ) 2 ](2 )后 ,提出了下面的猜想 :若ａｋ∈Ｒ (ｋ=1,2 ,… ,ｎ) ,则 ｎｋ =1 ａｋ ｎｋ =11ａｋ≥ｎ2 2ｎ 1≤ｉ <ｊ≤ｎ(2ｎ ａｊａｉ-2ｎ ａｉａｊ) 2(3)并作注 :采用上述“步步为营”的方法 ,可繁笨地证明ｎ =4,5等时 (3)式正确 .下面我们将不等式 (3)进行推广 ,得到了比不等式 (3)更强的结果 .定理 1　若ａｋ∈Ｒ (ｋ=1,…     

一道竞赛题推广的简证

题　 (第 2 6届独联体数学奥林匹克竞赛试题 )证明 :对任意实数ａ >1,ｂ >1,有不等式 ａ2ｂ - 1 ｂ2ａ - 1≥ 8.文 [1]将其推广为 :设ａｉ>0 (ｉ=1,2 ,… ,ｎ) ,则(ａ1 1) 2ａ2 (ａ2 1) 2ａ3 … (ａｎ - 1 1) 2ａｎ (ａｎ 1) 2ａ1≥ 4ｎ (1)文 [2 ]将 (1)式进一步推广为 :设ａｉ(ｉ=1,2 ,… ,ｎ)∈Ｒ ,ｍ≥ 2 ,ｍ∈Ｎ ,则(ａ1 1) ｍａ2 (ａ2 1) ｍａ3 … (ａｎ - 1 1) ｍａｎ (ａｎ 1) ｍａ1≥ｎ·ｍｍ· 1(ｍ - 1) ｍ - 1(2 )李超同学在文 [2 ]中采用待定系数法证明了 (2 )式 .经探究发现 ,采用拆项法可以简洁地证明 (2 )…     

正项等比数列的一个性质

设 {ａｎ}是以 ｑ为公比的正项等比数列 ,则有　 ｎａ1ａ2 …ａｎ=ｎａ1·ａ1ｑ·…·ａ1ｑｎ -1=ｎａｎ1ｑｎ(ｎ -1)2 =ａ1ｑｎ -12 .设ｍ <ｎ2 ,则ｎ - 2ｍ ａｍ 1ａｍ 2 …ａｎ -ｍ=ｎ - 2ｍ ａ1ｑｍ·ａ1ｑｍ 1·…·ａ1ｑｎ -ｍ -1=ｎ - 2ｍ ａ1ｎ -2ｍｑ(ｎ -1) (ｎ -2ｍ)2 =ａ1ｑｎ -12 .∴ ｎａ1ａ2 …ａｎ=ｎ- 2ｍ ａｍ 1ａｍ 2 …ａｎ -ｍ(1 )这就是说正项等比数列的前ｎ项的几何平均数等于这ｎ项的中间ｎ - 2ｍ (ｎ >2ｍ)项的几何平均数 .记数列前ｎ项的积为 ｎ,则 (1 )式可以写成ｎ ｎ=ｎ- 2ｍ ｎ -ｍ ｍ (2 )对于 (2 )…     

数e简史

π和ｅ是数学中一对极为重要的无理数 ,对π其来源是人们所熟知的 ,但对ｅ见诸介绍的却很少 ,所以常有学生问及ｅ的来源 .本文就中学生能理解和接受的程度谈谈ｅ的来源 ,供同学们参考 .　　让我们从如下重要不等式开始 .ａ1 ａ2 … ａｍ ａｍ 1 … ａｎｎ≥ ｎ ａ1·ａ2 ·…·ａｍ·ａｍ 1·…·ａｎ ( 1)其中ａｉ∈Ｒ ,ｉ=1,2 ,… ,ｎ ,当且仅当ａ1=ａ2=ａ3=… =ａｎ 时取等号 .在 ( 1)中 ,若令ａ1=ａ2 =… =ａｍ=ａ ,且ａ≠ 1,ａｍ=ａｍ 1=… =ａｎ=1,则有 ｍａ (ｎ -ｍ)ｎ >ｎａｍ,即 1 ｍｎ(ａ - 1) >ａｍｎ,再令 ｍｎ =ｂ,则有…     

两个组合恒等式的联系及其组合意义和概率论证法

贵刊 2 0 0 1年第 6期刊载的文 [1 ]证明了组合等式 :∑ｎｉ=0(-1) ｉＣｉｎｉｋ =0　　　　　当ｋ≤ｎ-1且ｋ∈Ｎ时(-1) ｎｎ !　当ｋ =ｎ时笔者发现上述结论正是贵刊 1 996年第 6期刊载的文 [2 ]定理的推论的另外一种表述 .文 [2 ]的定理及推论如下 :定理　设ｆ(ｘ) =ａｘｎ+1 +ｂｘｎ+ｃｎ- 1 ｘｎ- 1 +…+ｃ1 ｘ+ｃ0 是ｎ+ 1次多项式 .则 ∑ｎｉ=0( - 1 ) ｉｆ(ｉ)Ｃｉｎ= ( - 1 ) ｎｎ !(ａＣ2 ｎ+1 +ｂ)… ( )推论 :设ｆ(ｘ) =ａｘｍ+ｂｍ- 1 ｘｍ- 1 +… +ｂ0 是ｍ次多项式 ,则　∑ｎｉ =0( - 1 ) ｉｆ(ｉ)Ｃｉｎ =( - 1 ) ｎｎ !ａ…     

更正一道习题的解答

本刊 2 0 0 1年 2 0期第 3 2～ 3 3页上有一道题为 :8.已知ａ ,ｂ ,ｃ为某一直角三角形的三边长 ,ｃ为斜边 ,若点Ｍ (ｍ ,ｎ)在直线ａｘ +ｂｙ - 2ｃ =0上 ,则ｍ2 +ｎ2 的最小值为.在同期 3 3页上给出解答为 :依题意 ,有ａ2 +ｂ2 =ｃ2 ,且ａｍ +ｂｎ =2ｃ ,∴ａｍ +ｂｎ≤ａ2 +ｍ2 +ｂ2 +ｎ22=ｃ2 +ｍ2 +ｎ22 .即ｍ2 +ｎ2 ≥ 4ｃ -ｃ2 =- (ｃ- 2 ) 2 +4,∴当ｃ=2时 ,ｍ2 +ｎ2 的最小值为 4.本解答结果是正确的 ,但过程有错误 .事实上 ,4ｃ-ｃ2 =- (ｃ - 2 ) 2 +4有最大值 4,由ｍ2 +ｎ2 ≥ 4ｃ -ｃ2 ,4ｃ -ｃ2 ≤ 4不能得出ｍ2+ｎ2 ≥ 4,这是…     

均值不等式的加强及逆向

本文给出关于平均值Ａｎ,Ｇｎ 的两个新的不等式及其等价形式 ,它们可看作均值不等式Ａｎ≥Ｇｎ 的加强及逆向 ,有着许多有趣的应用 .定理　设ｘｉ∈ [ａ ,ｂ] ,0 <ａ <ｂ ,ｉ =1,2 ,… ,ｎ ,则有1ｎ ｎｉ=1 (ｘｉ-2ａ) 2 ≥ [( ｎｉ=1 ｘｉ) 1ｎ -2ａ] 2 (1)1ｎ ｎｉ=1 (2ｂ -ｘｉ) 2 ≤ [2ｂ -( ｎｉ=1 ｘｉ) 1ｎ] 2 (2 )即　 14ａ[1ｎ ｎｉ=1 ｘ2ｉ-( ｎｉ=1 ｘ2ｉ) 1ｎ]　≥ 1ｎ ｎｉ=1 ｘｉ-( ｎｉ=1 ｘｉ) 1ｎ (3)　≥ 14ｂ[1ｎ ｎｉ=1 ｘ2ｉ-( ｎｉ=1 ｘ2ｉ) 1ｎ] (4)以上各式取等号的条件均为ｘ1 =ｘ2 =… =ｘｎ.证　易知 (3) …     

初二代数第一学期期末自测题

Ａ组一 .选择题 :(每小题 2分 ,共 3 0分 )1 .下列因式分解正确的是 (　 ) .Ａ .ａｍ ａｎ -ｂｍ -ｂｎ=(ａ-ｂ) (ｍ -ｎ)Ｂ .ｍ2 4ｍｎ-ｎ2 4=(ｍ -ｎ 2 ) (ｍ -ｎ -2 )Ｃ . 2ａ2 4ａｂ 2ｂ2 -8ｃ2 =(2ａ 2ｂ 4ｃ) (2ａ 2ｂ -4ｃ)Ｄ .ｘ3 ｃｘ2 ｂｘ2 ｂｃｘ=ｘ(ｘ ｂ) (ｘ ｃ)2 .当ｘ-ｙ =1时 ,ｘ4-ｘｙ3 -ｘ3 ｙ -3ｘ2 ｙ 3ｘｙ2 ｙ4的值为 (　 ) .Ａ . -1　　Ｂ . 0　　Ｃ . 2　　Ｄ . 13 .若ｘ2 ｍｘ ｎ =(ｘ -1 ) (ｘ 2 ) ,则ｍ ,ｎ的值是 (　 ) .Ａ .ｍ =1 ,ｎ =2　　Ｂ .ｍ =1 ,ｎ =-2Ｃ .ｍ =-1 ,ｎ =2Ｄ .ｍ =-1 ,ｎ =-24.使分式 ｘ 22ｘ-6有意义的ｘ的取值是 (　 ) .Ａ .ｘ=3　Ｂ .ｘ=-2　Ｃ .ｘ≠ 3　Ｄ .ｘ≠ -25 .若ｘｎ-ｙｎ 可分解为 (ｘ ｙ) (ｘ -ｙ) (ｘ2 ｘｙ ｙ2 ) (ｘ2 -ｘｙ ｙ2 ) ,则ｎ的值是 (　 ) ...     

一个优美的代数不等式

文 [1 ]有一个优美的不等式猜想 :若ａｋ∈Ｒ (ｋ =1 ,2 ,… ,ｎ) ,则 ｎｋ=1ａｋ ｎｋ=11ａｋ ≥ｎ2 2ｎ 1≤ｉ<ｊ≤ｎ(2ｎ ａｊａｉ-2ｎ ａｉａｊ) 2 (1 )本文证明这个猜想 .记Ｆｎ=ｘｎ 1ｘｎ (ｘ∈Ｒ ,ｎ∈ Ｚ-) ,则Ｆｎ≥ 2 .容易验证有如下引理 1　若ｍ1,ｍ2 ∈Ｚ ,ｍ1≥ｍ2 ,则Ｆｍ1 ｍ2 =Ｆｍ1Ｆｍ2 -Ｆｍ1-ｍ2 .引理 2　当ｎ≥ 2时 ,Ｆｎ≥ 2ｎＦ1- 2 (2ｎ- 1 ) (2 )证明　当ｎ =2 ,3时 ,文 [1 ]已证 (2 )式成立 ,即有Ｆ2 ≥ 4Ｆ1- 6 ,Ｆ3≥ 6Ｆ1- 1 0 .假设ｎ <ｋ时 ,(2 )式成立 .则当ｎ =ｋ (ｋ≥ 4)时 ,1 )若ｋ为奇数 ,…     

三项式定理及其三项式系数塔

1　三项式定理(Ａ) (ａ ｂ ｃ) ｎ =∑ｎｍ=0ｃｍｎａｎ-ｍ∑ｍｋ=0ｃｋｍｂｍ-ｋｃｋ证明　首先在这ｎ个相同的因式 (ａ ｂ ｃ)中任取 (ｎ-ｍ)个ａ相乘 ,再将剩余的ｍ个因式 (ａ ｂ ｃ)中任取 (ｍ—ｋ)个ｂ相乘 ,最后再将剩余的ｋ个因式 (ａ ｂ ｃ)中的ｃ相乘 ,则由组合数理论知(ａ ｂ ｃ) ｎ =∑ｎｍ =0ｃｎ-ｍｎ ａｎ-ｍ∑ｍｋ =0ｃｍ-ｋｍ ｂｍ-ｋｃｋ=∑ｎｍ =0ｃｍｎａｎ-ｍ∑ｍｋ =0ｃｋｍｂｍ-ｋｃｋ(Ａ)式得证 .2　三项展开式的排序规律经探究 ,(Ａ)左右端展开式的诸项可以按照字典排列法有序地摆放成一结构对称的等边三角形 .…     

综合题新编选登

题 1 5　函数ｆ(ｘ) =11 ａ·2 ｂｘ的定义域为Ｒ ,且ｌｉｍｎ→∞ ｆ(-ｎ) =0 (ｎ∈Ｎ) .1 )求证 :ａ >0 ,ｂ <0 .2 )若 ｆ(1 ) =45 且ｆ(ｘ) 在 [0 ,1 ]上的最小值为 12 ,求证 :ｆ(1 ) ｆ(2 ) … ｆ(ｎ) >ｎ 12 ｎ 1- 12 (ｎ∈Ｎ) .证　 1 )∵ ｆ(ｘ) 的定义域为Ｒ ,∴ 1 ａ·2 ｂｘ≠ 0恒成立 ,即ａ≠ - 2 -ｂｘ,而 - 2 -ｂｘ<0 ,∴ａ≥ 0 ,若ａ =0 ,则ｆ(ｘ) =1与ｌｉｍｎ→∞ ｆ(-ｎ) =0矛盾 ,故ａ >0 .ｌｉｍｎ→∞ ｆ(-ｎ) =ｌｉｍｎ→∞11 ａ·2 -ｂｎ=1　　　 (0 <2 -ｂ<1 ) ,11 ａ　 (2 -ｂ=1 ) ,0　　　 (2 -ｂ>1 ) .∴ …     

等差数列的有趣性质

新教材第 117页练习 2 ( 2 )题是 :在等差数列中 ,已知ａ3=9,ａ9=3 ;求ａ12 的值 .这是一道很简单的等差数列问题 ,易求得ａ12 =0 ,但细看数字特征 ,会发现这是等差数列的一个有趣性质 .更一般地有 :在等差数列中若ａｍ=ｎ ,ａｎ=ｍ ,则ａｍ +ｎ=0 .证明一　ａｍ=ａ1+ (ｍ -1)ｄ =ｎ和ａｎ=ａ1+ (ｎ -1)ｄ =ｍ ,联合两式解方程组得ａ1=ｍ +ｎ -1和ｄ =-1.所以　ａｍ +ｎ=ａ1+ (ｍ +ｎ -1)ｄ =0 .证明二　ａｎ=ａｍ+ (ｎ -ｍ)ｄ ,即　ｍ =ｎ + (ｎ -ｍ)ｄ ,从而有ｄ =-1,所以ａｍ +ｎ=ａｍ+ (ｍ +ｎ -ｍ)ｄ =ｎ -ｎ =0 .这里巧用通项与某项的…     

等差数列中的线性关系及其功能挖掘

等差数列的通项公式为ａｎ=ａ1 (ｎ - 1)ｄ =ｄｎ (ａ1-ｄ) ,这表明ａｎ 与ｎ成线性关系 .它的前ｎ项和公式为Ｓｎ=ｎａ1 ｎ(ｎ - 1)2 ｄ ,变形后得 Ｓｎｎ =ｄ2 ｎ (ａ1- ｄ2 ) ,显然 ｆ(ｎ) =Ｓｎｎ 与ｎ也成线性关系 .从解析几何的观点看 ,点集 {Ｐｎ(ｎ ,ａｎ) }和{Ｑｎ(ｎ ,Ｓｎｎ) }中的点分别共线 ,把此关系与直线方程的形式作比较 ,不难得出关于ａｎ,Ｓｎｎ 的以下三种形式 :①ｄ =ａｎ-ａｍｎ -ｍ ;○1′ ｄ2 =Ｓｎｎ - Ｓｍｍｎ -ｍ .② ａｎ-ａｍｎ -ｍ =ａｋ-ａｎｋ -ｎ ;○2′Ｓｎｎ - Ｓｍｍｎ -ｍ =Ｓｋｋ - Ｓｎｎｋ -ｎ …     

一类无理不等式

近两年 ,各种中学数学刊物对于代数不等式中的分式不等式的讨论颇多 ,但对无理不等式的关注似乎较少 .本文将利用文 [1 ]的结论 ,即下述引理建立几个无理不等式 ,它们或推广或加强了已知不等式或给出已知不等式的反向估计 .引理　设ａ≤ｘｉ ≤ｂ ,ｉ=1 ,… ,ｎ ,ｎ≥ 2 ,ｘ1 … ｘｎ =ｓ,ｆ(ｘ)是 [ａ ,ｂ]上的连续的严格上凸函数 ,Ｆ(ｘ1 …ｘｎ) =ｆ(ｘ1 ) … ｆ(ｘｎ) ,则Ⅰ　Ｆｍａｘ =Ｆ ｓｎ,… ,ｓｎ =ｎｆ ｓｎ ,即当且仅当ｘ1 =… =ｘｎ 时Ｆ达到最大值 ;Ⅱ　Ｆｍｉｎ =Ｆ(ａ ,… ,ａ ,ｂ ,… ,ｂ ,ｃ) =ｕｆ(ａ) (ｎ - 1 -ｕ…     

一道数学奥林匹克问题的推广

《中等数学》2 0 0 0年第 4期中有数学奥林匹克问题高 97.　已知ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,求证 :(ａ 1 ) 3ｂ (ｂ 1 ) 3ｃ (ｃ 1 ) 3ａ ≥814.下面给出此题的证明 .证　左边≥ 3 (ａ 1 ) (ｂ 1 ) (ｃ 1 )3 ａｂｃ=3(ａ 12 12 ) (ｂ 12 12 ) (ｃ 12 12 )3 ａｂｃ≥ 3·33 ａ4·33 ｂ4·33 ｃ43 ａｂｃ =814.等号当且仅当ａ =ｂ =ｃ =12 时成立 .实际上 ,原命题可推广为 :ａ1,ａ2 ,… ,ａｎ∈Ｒ ,ｍ ,ｎ∈Ｎ ,求证 :　　(ａ2 1 ) ｍａ1 (ａ3 1 ) ｍａ2 … (ａ1 1 ) ｍａｎ≥ ｎｍｍ(ｍ - 1 ) ｍ -1.证　左边≥ｎ[(ａ2 1 ) (ａ3 1 )…     

权方和不等式的应用

1　权方和不等式设ａｉ,ｂｉ∈Ｒ+(ｉ=1,2 ,… ,ｎ) ,实数ｍ >0 ,则∑ｎｉ=1ａｍ +1ｉｂｍｉ≥∑ｎｉ=1ａｉ ｍ +1∑ｎｉ=1ｂｉ ｍ (1)其中等号当且仅当 ａ1ｂ1=ａ2ｂ2=… =ａｎｂｎ时成立 .这就是权方和不等式 ,文 [1]给出了它的一种简单证明 ,文献 [2 ]证明它当ｍ <- 1时也成立 .此处不再重复它的证明了 .权方和不等式的一个显著特征是 ,其中出现的每一个分式 ,分子的幂指数都比分母的幂指数恰好大 1.在运用权方和不等式 (1)证题时 ,关键是必须注意按照它的这一特征去进行配凑 .就是说 ,要善于创造条件去运用它 .2　权方和不等式的应用权…     

全国高中数学联赛一例

20 0 2年全国高中数学联赛试题第 15题 :设二次函数 ｆ(ｘ) =ａｘ2 +ｂｘ +ｃ　 (ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,ａ≠ 0 )满足条件 :(1)当ｘ∈Ｒ时 ,ｆ(ｘ -4 ) =ｆ(2 -ｘ) ,且ｆ(ｘ)≥ｘ ;(2 )当ｘ∈ (0 ,2 )时 ,ｆ(ｘ)≤ (ｘ + 12 ) 2 ;(3)ｆ(ｘ)在Ｒ上的最小值为 0 .求最大的ｍ(ｍ >1) ,使得存在ｔ∈Ｒ ,只要ｘ∈ [1,ｍ ] ,就有 ｆ(ｘ +ｔ)≤ｘ .解　ｆ(ｘ -4 ) =ｆ(2 -ｘ) ,∴　函数 ｆ(ｘ)的图象关于直线ｘ =-1对称 ,∴　 -ｂ2ａ=-1,即ｂ =2ａ①令　ｇ(ｘ) =(ｘ + 12 ) 2 ,则直线 ｙ =ｘ与抛物线 ｇ(ｘ) =(ｘ + 12 ) 2图 1相切于点Ａ(1,1) .又当ｘ∈…     

谈虚根成双定理的类比——中学数学笔谈之十六

我们都知道,对于一个代数方程ｆ(ｘ)≡Ａ0ｘｎ Ａ1ｘｎ-1 … Ａｎ=0(Ａ0≠0,ｎ≥2)(1)有下面的虚根成双定理:定理1　设方程(1)的系数都∈Ｒ(实数集),如果(1)有一根ｘ0=ａ0 ｂ0ｉ∈Ｃ(复数集),其中ａ0,ｂ0∈Ｒ,ｉ=-1是虚数单位,则ｘ0=ａ0-ｂ0ｉ也是(1)的根.在“笔谈”十五...     

一个定理的别证及推广

文 [1 ]的定理 2为 :设ａ ,ｂ∈Ｒ+,若ａ+ｂ≤ 2 ,则ａ+ｂ2 +2ａ+ｂ ≤ａｂ +1ａｂ若ａｂ≥ 1 ,则ａ+ｂ2 +2ａ +ｂ≥ ａｂ+1ａｂ其证明方法是作差比较法 ,现用函数的单调性证明之 .证明　易证函数ｆ(ｘ) =ｘ +1ｘ 在 (0 ,1 ]上递减 ,在 [1 ,+∞ )上递增 .因为 ａ +ｂ2 ≥ ａｂ ,故当 ａ+ｂ2 ≤ 1时 ,ｆ ａ+ｂ2 ≤ｆ(ａｂ) ,当ａｂ≥ 1时 ,ｆ ａ +ｂ2 ≥ｆ(ａｂ) ,即当ａ +ｂ≤ 2时 ,ａ+ｂ2 +2ａ+ｂ≤ ａｂ+1ａｂ.当ａｂ≥ 1时 ,ａ +ｂ2 +2ａ+ｂ≥ ａｂ+1ａｂ.推广　设ｘｋ >0 (ｋ =1 ,2 ,… ,ｎ) ,若∑ｎｋ=1ｘｋ ≤ｎ ,则1ｎ∑ｎｋ =1ｘｋ+…