有关椭圆的四个性质

文 [1]对椭圆的内接矩形进行了讨论 ,本文对此问题进行了拓展 ,并就椭圆中的“最大角”问题进行了探讨 .定理 1　设Ｐ0 (ｘ0 ,ｙ0 ) (ｘ20 + ｙ20 ≠ 0 )是椭圆 ｘ2ａ2+ ｙ2ｂ2 =1(ａ >ｂ >0 )内一点 ,则过点Ｐ0 的弦中 ,有且仅有一条以Ｐ0 为中点 .证　设过Ｐ0 的直线的参数方程为ｌ2 :ｘ =ｘ0 +ｔｃｏｓαｙ =ｙ0 +ｔｓｉｎα (α为倾角 ,ｔ为参数 ) ,代入 ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1,整理得(ａ2 ｓｉｎ2 α +ｂ2 ｃｏｓ2 α )ｔ2 + (2ａ2 ｙ0 ｓｉｎα +2ｂ2 ｘ0 ｃｏｓα)ｔ+ａ2 ｙ20 +ｂ2 ｘ20 -ａ2 ｂ2 =0 .若直线ｌ2 截椭圆 ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2…     

圆锥曲线间的有趣变换

文 [1 ]中给出了双曲线的一个有趣的性质 ,受此启发 ,进一步研究 ,得到圆锥曲线间的一个有趣的变换 .定理 1　设椭圆Ｃ :ｘ2ａ2 +ｙ2ｂ2 =1 (ａ>ｂ>0 ) ,ＰＰ′是Ｃ上的垂直于ｘ轴的一条弦 ,Ａ(-ａ,0 ) ,Ａ′(ａ,0 )是Ｃ的两个顶点 ,则直线ＰＡ与Ｐ′Ａ′的交点在双曲线ｘ2ａ2 -ｙ2ｂ2 =1上 .证明　设Ｐ(ａｃｏｓｔ,ｂｓｉｎｔ) ,则Ｐ′(ａｃｏｓｔ,-ｂｓｉｎｔ) ,直线ＰＡ :ｙｂｓｉｎｔ=ｘ+ａａｃｏｓｔ+ａ (1 )直线Ｐ′Ａ′:ｙ-ｂｓｉｎｔ=ｘ-ａａｃｏｓｔ-ａ (2 )由 (1 ) ,(2 )解得 ｘ=ａｓｅｃｔ,ｙ=ｂｔａｎｔ.所以ｘ2ａ2 -ｙ2ｂ2 =1…     

巧用共焦点的有心圆锥曲线系方程解题

与椭圆 ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1共焦点的圆锥曲线系方程为　　　　　　　　 ｘ2ａ2 -λ+ ｙ2ｂ2 -λ=1( )其中ａ >ｂ >0 ,λ <ａ2 ,且λ≠ｂ2 .当λ <ｂ2 时 ,方程 ( )表示椭圆 ;当ｂ2 <λ <ａ2时 ,方程 ( )表示双曲线 .对于焦点在 ｙ轴上的椭圆 ,亦有相应的方程与结论 .巧用上述方程解题 ,可减少不必要的许多中间环节 ,下面举一例说明 .例　给定椭圆 ｘ2ｂ2 + ｙ2ａ2 =1(ａ >ｂ >0 ) ,求与这个椭圆共焦点的双曲线 ,使得以它们的交点为顶点的四边形面积最大 ,并求出这个最大值 .解　设所求双曲线方程为ｘ2ｂ2 -λ+ ｙ2ａ2 -λ=1(ｂ2 <λ <ａ2 ) …     

等腰梯形的一个优美特性

如果称椭圆ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1与双曲线 ｘ2ａ2 -ｙ2ｂ2=1为一对等轴圆锥曲线 ,那么 ,笔者经研究发现 ,等腰梯形具有下面的优美性质 :定理　等腰梯形底上的两对顶点在一对等轴圆锥曲线上 ,且其对角线的交点为等轴圆锥曲线的一个公共顶点 .证明　如图 ,设梯形ＡＢＣＤ的两腰与两条对角线分别相交于点Ｅ、Ｆ ,以ＥＦ中点为原点 ,ＥＦ所在直线为ｘ轴建立直角坐标系 ,则Ａ与Ｂ、Ｃ与Ｄ均关于ｘ轴对称设经过点Ａ ,Ｅ ,Ｂ ,Ｆ的椭圆方程为ｘ2ａ2 +ｙ2ｂ2 =1(ａ >ｂ >0 ) ,Ａ (ｘ1 ,ｙ1 ) ,Ｂ(ｘ1 ,-ｙ1 ) ,由Ｆ(ａ ,0 ) ,Ｅ(-ａ ,0 )得直线ＢＤ、…     

直线方程x0x/a2-y0y/b2=1的几何意义

文 [1 ]探讨了直线方程ｘ0 ｘａ2 +ｙ0 ｙｂ2 =1的三种几何意义 ,读后深受启发 ,作为文 [1 ]的继续本文探讨直线方程ｘ0 ｘａ2 -ｙ0 ｙｂ2 =1的几何意义 .定理 1　若点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )在双曲线ｘ2ａ2 -ｙ2ｂ2 =1上 ,则直线ｘ0 ｘａ2 -ｙ0 ｙｂ2 =1是经过点Ｐ的双曲线的切线 .这只要在已知条件下证明联立方程 ｘ2ａ2 -ｙ2ｂ2= 1与ｘ0 ｘａ2 -ｙ0 ｙｂ2 =1消去ｙ或ｘ后的一元二次方程的判别式等于零即可 .定理 2　若点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )在双曲线ｘ2ａ2 -ｙ2ｂ2 =1 (ａ>0 ,ｂ >0 )的外部 (不含焦点的部分 ) ,且点Ｐ不在双曲线的渐近线上 ,过点Ｐ引双…     

圆锥曲线焦点弦的一个有趣性质

笔者最近探得圆锥曲线焦点弦有一个统一的有趣性质 .定理 1　过椭圆一个焦点Ｆ的直线与椭圆交于两点Ｐ、Ｑ ,Ａ1 、Ａ2 为椭圆长轴上的顶点 ,Ａ1 Ｐ和Ａ2 Ｑ交于点Ｍ ,Ａ2 Ｐ和Ａ1 Ｑ交于点Ｎ ,则ＭＦ⊥ＮＦ .证明　如图1 .设椭圆方程为ｂ2 ｘ2 ａ2 ｙ2 =ａ2 ｂ2 (ａ>ｂ>0 ) ,Ｆ(ｃ,ｏ) ,Ｐ(ａｃｏｓα ,ｂｓｉｎα) ,Ｑ(ａｃｏｓβ ,ｂｓｉｎβ) .则Ａ1 Ｐ的方程为ｙ= ｂｓｉｎαａ(ｃｏｓα 1 ) (ｘ ａ) ,Ａ2 Ｑ的方程为 ｙ=ｂｓｉｎβａ(ｃｏｓβ - 1 ) (ｘ-ａ) .解这两个方程得ｘ =ａ[ｓｉｎα-ｓｉｎβ-ｓｉｎ(α β) ]ｓｉｎ(α- β…     

抛物线内接等腰三角形的一个性质

抛物线ｙ =ａｘ2 +ｂｘ+ｃ如果与ｘ轴有两个交点 ,以这两点及与ｙ轴交点为顶点的三角形是等腰三角形的充分必要条件是ｂ =0或者ｂ2 =ａｃ(ａｃ+3 ) 2ａｃ+2 .下面加以分析 :(1 )不难证明当ｂ=0时 ,△ＡＢＣ为等腰三角形 (ＡＣ =ＢＣ) .当ＡＣ =ＢＣ时 ,ｂ=0 .图 2图 1(2 )如图 2 ,设Ａ(ｘ1 ,0 ) ,Ｂ(ｘ2 ,0 ) .Ｃ点坐标为 (0 ,ｃ) .因此　ｘ1 =-ｂ- ｂ2 - 4ａｃ2ａ ,ｘ2 =-ｂ +ｂ2 - 4ａｃ2ａ .又∠ＢＯＣ =90°由勾股定理知ＢＣ2 =ＯＢ2 +ＯＣ2= -ｂ+ｂ2 - 4ａｃ2ａ2 +ｃ2 而ＡＢ=ｂ2 - 4ａｃａ(这里以ａ>0为例 ) .当ＡＢ =ＢＣ时 ,则ｂ2 -…     

待定系数法求直线方程应注意的

一、关于截距一般地 ,已知直线与坐标轴上的截距有关 ,常设截距式 .但截距式不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线 ,故用截距式求直线方程时 ,要注意检验过原点及与坐标轴垂直的直线 .例 1　求经过直线 7ｘ + 8ｙ =38及 3ｘ -2 ｙ =0的交点且在两坐标轴上的截距相等的直线 .解　易得两直线交点为 ( 2 ,3) ,设所求直线方程为　 ｘａ + ｙａ =1 ,∵　点 ( 2 ,3)在直线上 ,∴　 2ａ+ 3ａ=1 ,　∴　ａ =5 .因此所求方程为　ｘ + ｙ =5 .许多同学往往解题到此结束 .显然题解中漏掉过原点的情况 ,即　 3ｘ -2 ｙ =0 .从上题我们知道 ,解此类问题 ,…     

综合题新编选登

题 39　 已知椭圆Ｃ的方程为ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1(ａ>ｂ >0 ) ,双曲线 ｘ2ａ2 - ｙ2ｂ2 =1的两条渐近线为ｌ1,ｌ2 ,过椭圆Ｃ的右焦点Ｆ作直线ｌ,使ｌ⊥ｌ1,又ｌ与ｌ2交于Ｐ点 ,设ｌ与椭圆Ｃ的两交点从左到右依次为Ｂ ,Ａ(如图 1) .图 1　题 39图求|ＰＢ||ＰＡ| 的最大值及取得最大值时椭圆Ｃ的离心率ｅ的值 .解　设Ｃ的半焦距为ｃ,由对称性 ,不妨有ｌ1:ｙ =- ｂａｘ ,ｌ2 :ｙ =ｂａｘ .由ｙ =ｂａｘ ,ｙ =ａｂ(ｘ -ｃ) ,得Ｐ ａ2ｃ ,ａｂｃ .知点Ｐ在椭圆的右准线ｘ =ａ2ｃ上 .设点Ａ内分有向线段ＦＰ的比为λ ,由定比分点坐标公式求出点Ａ的…     

圆锥曲线焦半径的一个性质

定理 1　Ａ1 ,Ａ2 为椭圆长轴上的顶点 ,Ｆ为椭圆的焦点 ,ｌ为椭圆的与Ｆ对应的准线 ,Ｐ是椭圆上任一点 (除Ａ1 、Ａ2 外 ) ,设Ａ1 Ｐ、Ａ2 Ｐ分别与ｌ交于Ｍ、Ｎ ,则①ＭＦ⊥ＮＦ ,②以ＭＮ为直径的圆与ＰＦ相切于Ｆ ,③ＦＭ平分∠ＰＦＡ2 (如图 1 ) .图 1证明　①设椭圆方程为ｂ2 ｘ2 +ａ2 ｙ2 =ａ2 ｂ2 (ａ >ｂ>0 ) ,Ｐ(ａｃｏｓα ,ｂｓｉｎα) ,Ｆ(ｃ ,0 ) ,ｌ:ｘ =ａ2ｃ,Ａ1 (-ａ ,0 ) ,Ａ2 (ａ ,0 ) .则Ａ1 Ｐ :　　ｙ=ｂｓｉｎαａ(ｃｏｓα +1 ) (ｘ+ａ) ,Ａ2 Ｐ :　　ｙ =ｂｓｉｎαａ(ｃｏｓα - 1 ) (ｘ -ａ) ,容易求得Ｍ ａ2ｃ…     

关于曲线的离心率

1　求离心率的值对于求曲线的离心率的值的题目 ,应从曲线的性质入手 ,通过距离之间的关系 ,来求离心率 .例 1　 ( 1999年全国高考题 )设椭圆 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1(ａ >ｂ >0 )的右焦点为Ｆ1 ,右准线为ｌ1 .若过Ｆ1 且垂直于ｘ轴的弦的长等于点Ｆ1 到ｌ1 的距离 ,则椭圆的离心率是 .解　设Ｆ1 (ｃ ,0 ) ,则右准线为ｌ1 :ｙ =ａ2ｃ ,将ｘ =ｃ代入椭圆方程 ,得ｙ =±ｂ· ａ2 -ｃ2ａ2 =± ｂ2ａ .即过Ｆ1 的弦长为 2 |ｙ| =2ｂ2ａ .∴ ａ2ｃ -ｃ =ａ2 -ｃ2ｃ =2·ｂ2ａ=2·ａ2 -ｃ2ａ .故　ｅ=ｃａ =12 .例 2　根据下列条件分别求出各圆锥曲线…     

要重视圆锥曲线的范围

我们知道 ,平面解析几何研究的主要问题之一就是通过方程研究平面曲线的性质 ,而在我们用方程研究圆锥曲线间的相关位置时 ,圆锥曲线的范围就不容忽视 .先看下面一个比较熟悉的例子 .题目　设椭圆的中心是坐标原点 ,长轴在ｘ轴上 ,离心率ｅ =32 .已知点Ｐ 0 ,32 到这个椭圆上的点的最远距离是 7,求这个椭圆的方程 ,并求椭圆上到点Ｐ的距离等于 7的点的坐标 .在同学们中有如下一种比较流行的解法 :解　由题意可设椭圆方程为ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1 (ａ >ｂ >0 ) ,∵ｅ =ｃａ=32 ,∴ａ =2ｂ,从而椭圆方程为 ｘ24ｂ2 + ｙ2ｂ2 =1 ( 1 )又以点Ｐ 0 ,…     

对"椭圆和双曲线第二定义"教材处理的几点建议

人民教育出版社出版的高中数学高级中学课本《平面解析几何》全一册 (必修 ) (以下简称课本 )第 78页 ,是这样引入椭圆第二定义的 :图 2 -18“例 3　点Ｍ(ｘ ,ｙ)与定点Ｆ(ｃ,ｏ)的距离和它到定直线Ｌ:ｘ =ａ2ｃ 的距离的比是常数ｃａ(ａ >ｃ>0 ) .求点Ｍ的轨迹 (图 2 -1 8) .解　设ｄ是点Ｍ到直线Ｌ的距离 .根据题意 ,所求轨迹就是集合Ｐ =Ｍ ＭＦｄ =ｃａ ,由此得 (ｘ-ｃ) 2 +ｙ2ａ2ｃ -ｘ=ｃａ 将上式化简 ,得 :(ａ2 -ｃ2 )ｘ2 +ａ2 ｙ2 =ａ2 (ａ2 -ｃ2 ) ,设ａ2 -ｃ2 =ｂ2 (ｂ>0 ) ,就可化成ｘ2ａ2 +ｙ2ｂ2 =1 .这是椭圆的标准方程 ,所…     

判别式法求值域要注意的问题

对于形如 ｙ =ａ1 ｘ2 +ｂ1 ｘ +ｃ1 ａ2 ｘ2 +ｂ2 ｘ +ｃ2(ａ1 ａ2 ≠ 0 )的函数的值域 ,我们一般采用判别式法求解 ,但在用这种方法求解的时候 ,有一个问题需要加以注意 ,否则 ,将会得到错误的结论 .例 1　求函数 ｙ =ｘ2 -3ｘ + 2ｘ2 -1的值域 .错解　将原函数变形ｙ(ｘ2 -1) =ｘ2 -3ｘ + 2 ,整理成关于ｘ的方程(ｙ -1)ｘ2 + 3ｘ -(ｙ + 2 ) =0 ,1.ｙ -1=0 ,即ｙ =1,也即　ｘ2 -3ｘ + 2ｘ2 -1=1,该方程无解 ,故ｙ≠ 1.2 .ｙ -1≠ 0 ,即 ｙ≠ 1,得到关于ｘ的一元二次方程 .要使方程有解 ,则Δ =32 + 4 (ｙ -1) (ｙ + 2 )≥ 0 ,即 (2ｙ + 1…     

负侧相加正侧减 异侧取正同侧负

应用焦半径解题 ,在高考中屡见不鲜 ,怎样又快又准地写出焦半径公式呢 ?笔者在教学中总结其方法如下 :设Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )是椭圆 ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1(ａ >ｂ >0 )上的任意一点 ,Ｆ1(-ｃ,0 ) ,Ｆ2 (ｃ,0 )是焦点 ,易知椭圆的焦半径公式是 |ＰＦ1| =ａ +ｅｘ0 ,|ＰＦ2 | =ａ -ｅｘ0 .设Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )是双曲线 ｘ2ａ2 - ｙ2ｂ2 =1(ａ >0 ,ｂ >0 )上的任意一点 ,Ｆ1(-ｃ ,0 ) ,Ｆ2 (ｃ ,0 )是焦点 ,易知双曲线的焦半径公式是 |ＰＦ1| =|ａ +ｅｘ0 | ,|ＰＦ2 | =|ａ -ｅｘ0 | .椭圆和双曲线的焦半径公式均是 :当焦点Ｆ1在负半轴上时 ,公式为“ａ +ｅ…     

关于近地点与远地点的补充证明

现行高中课本《平面解析几何》(必修 )Ｐ75 例 2 ,求我国第一颗人造卫星的轨道方程 .在解答中默认了近地点Ａ与远地点Ｂ就是椭圆长轴的两个端点 .但这一结论在课本中并没有证明 ,严格说来是不够严谨的 ,同时也容易让同学们产生疑惑 ,现给予补证 ,供同学们参考 .命题　椭圆 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1(ａ >ｂ >0 )中 ,长轴右(左 )端点到右 (左 )焦点距离最短 ,到左 (右 )焦点距离最长 .证法 1　设Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )为椭圆 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1(ａ >ｂ>0 )上任意一点 ,则 ｘ20ａ2 ｙ20ｂ2 =1,又设右焦点为Ｆ2 (ｃ,0 ) ,从而有|ＰＦ2 | =(ｘ0 -ｃ) 2 ｙ2…     

椭圆“特征焦点三角形”的一个性质

椭圆的两个焦点和其短轴的一个端点构成的等腰三角形称为椭圆的一个特征焦点三角形 .下面给出关于椭圆特征焦点三角形顶角的一个比较有用的性质及其应用 ,以引起同学们的注意 .性质　椭圆特征焦点三角形的顶角是椭圆上所有的点对椭圆两焦点所成张角中最大的角 .证明　不妨设椭圆方程为 ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1(ａ>ｂ >0 ) ,两焦点Ｆ1 (-ｃ ,0 ) ,Ｆ2 (ｃ,0 ) ,α为椭圆特征焦点三角形的顶角 ,Ｐ是椭圆上的任意一点 ,则 0 <α <π ,|ＰＦ1 | + |ＰＦ2 | =2ａ ,|Ｆ1 Ｆ2 | =2ｃ.当Ｐ与椭圆长轴的端点重合时 ,∠Ｆ1 ＰＦ2=0 ,显然α >∠Ｆ1 ＰＦ2 .…     

椭圆特征焦点三角形的一个性质及应用

椭圆的两个焦点和其短轴的一个端点构成的等腰三角形称为椭圆的一个特征焦点三角形 .下面给出关于椭圆特征焦点三角形顶角的一个比较有用的性质及其应用 ,以引起同学们的注意 .性质　椭圆特征焦点三角形的顶角是椭圆上所有的点对椭圆两焦点所成张角中最大的角 .证　不妨设椭圆方程为ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1 (ａ >ｂ>0 ) ,两焦点Ｆ1( -ｃ ,0 ) ,Ｆ2 (ｃ ,0 ) ,α为椭圆特征焦点三角形的顶角 ,Ｐ是椭圆上的任意一点 ,则 0 <α <π ,|ＰＦ1| + |ＰＦ2 | =2ａ ,|Ｆ1Ｆ2 | =2ｃ.当Ｐ与椭圆长轴的端点重合时 ,∠Ｆ1ＰＦ2 =0 ,显然α >∠Ｆ1ＰＦ2 .当Ｐ…     

圆锥曲线的定点弦性质

文 [1 ]给出下面三道命题 :命题 1　Ｍ(ｘ0 ,ｙ0 )为抛物线ｙ2 =2ｐｘ上的一个定点 ,过Ｍ任作两条互相垂直的弦ＭＰ、ＭＱ ,则直线ＰＱ必过定点Ｍ′(ｘ0 +2ｐ ,-ｙ0 ) ;命题 2　Ｍ(ｘ0 ,ｙ0 )为椭圆ｘ2ａ2 +ｙ2ｂ2 =1上的一个定点 ,过Ｍ任作两条互相垂直的弦ＭＰ ,ＭＱ ,则直线ＰＱ过定点Ｍ′ ａ2 -ｂ2ａ2 +ｂ2 ｘ0 ,- ａ2 -ｂ2ａ2 +ｂ2 ｙ0 ;命题 3　Ｍ(ｘ0 ,ｙ0 )为双曲线ｘ2ａ2 - ｙ2ｂ2 =1上的一个定点 ,过Ｍ任作两条互相垂直的弦ＭＰ、ＭＱ ,若ａ≠ｂ ,则直线ＰＱ过定点Ｍ′ ａ2 +ｂ2ａ2 -ｂ2 ｘ0 ,- ａ2 +ｂ2ａ2 -ｂ2 ｙ0 ;若ａ =ｂ ,…     

综合题新编

题 2 4　已知平行四边形ＡＢＣＤ ,Ａ (-2 ,0 ) ,Ｂ(2 ,0 ) .且 |ＡＤ| =2 .1)求平行四边形ＡＢＣＤ对角线交点Ｅ的轨迹方程 .2 )过Ａ作直线交以Ａ ,Ｂ为焦点的椭圆于Ｍ ,Ｎ两点 .且 |ＭＮ| =832 ,ＭＮ的中点到ｙ轴的距离为 43,求椭圆的方程 .3)与Ｅ点轨迹相切的直线ｌ交椭圆于Ｐ ,Ｑ两点 .求 |ＰＱ|的最大值及此时ｌ的方程 .解　 1)设Ｅ(ｘ ,ｙ) ,连ＯＥ ,则ＯＥ 　∥=12 ·ＡＤ .∴ |ＯＥ| =1.∴ｘ2 ｙ2 =1(ｙ≠ 0 ) .2 )由圆锥曲线的统一定义可知 :|ＭＡ|=ａ ｅｘ1,|ＮＡ| =ａ ｅｘ2 .∴ |ＭＮ| =2ａ ｅ(ｘ1 ｘ2 ) =832 .∵ｃ=2 ,∴…