一类转迹问题的一般解法

关于“已知某直线过一定点 ,且与某二次曲线相交 ,求所得弦的中点的轨迹方程“一类问题 ,可视具体情况采取多种解法 .利用直线的参数方程中参数ｔ的几何意义 ,可较简捷地得到一般解法 .问题 1　设直线ｌ过定点 (ｍ ,ｎ) ,且与椭圆ｂ2 ｘ2 ａ2 ｙ2 =ａ2 ｂ2 相交 ,求所得弦的中点的轨迹方程 .解　设直线ｌ的参数方程为 :ｘ =ｍ ｔｃｏｓαｙ =ｎ ｔｓｉｎα (ｔ为参数 ) ,代入椭圆方程 ,得ｂ2 (ｍ ｔｃｏｓα) 2 ａ2 (ｎ ｔｓｉｎα) 2 -ａ2 ｂ2 =0 ,化简得到(ｂ2 ｃｏｓ2 α ａ2 ｓｉｎ2 α)ｔ2 2 (ｂ2 ｍｃｏｓα ａ2 ｎｓｉｎα…     

关于抛物线的两个命题的推广

许多资料证明了下列两个命题 :命题 1　过原点Ｏ引抛物线ｙ2 =2ｐｘ(ｐ>0 )的两条互相垂直的弦ＯＰ、ＯＱ ,则直线ＰＱ恒过定点Ｍ(2ｐ ,Ｏ)命题 2　设抛物线ｙ2 =2ｐｘ(ｐ>0 )和原点Ｏ ,过定点Ｍ(2ｐ,Ｏ)的动直线ｌ与抛物线相交于Ｐ、Ｑ两点 ,则∠ＰＯＱ恒为直角 .本文对这两个命题做一推广 .命题 1的推广　过抛物线ｙ2 =2ｐｘ(ｐ>0 )上的定点Ａ(ａ ,ｂ)引抛物线的两条互相垂直的弦ＡＰ、ＡＱ ,则直线ＰＱ恒过定点Ｍ(2ｐ ａ ,-ｂ) .证明　设Ｐ ｙ21 2ｐ,ｙ1 、Ｑ ｙ222ｐ,ｙ2 (ｙ1 ≠ｙ2 ) ,则直线ＰＱ的方程为(ｙ-ｙ1 ) ｙ222ｐ- ｙ21 2ｐ …     

综合题新编

题 2 4　已知平行四边形ＡＢＣＤ ,Ａ (-2 ,0 ) ,Ｂ(2 ,0 ) .且 |ＡＤ| =2 .1)求平行四边形ＡＢＣＤ对角线交点Ｅ的轨迹方程 .2 )过Ａ作直线交以Ａ ,Ｂ为焦点的椭圆于Ｍ ,Ｎ两点 .且 |ＭＮ| =832 ,ＭＮ的中点到ｙ轴的距离为 43,求椭圆的方程 .3)与Ｅ点轨迹相切的直线ｌ交椭圆于Ｐ ,Ｑ两点 .求 |ＰＱ|的最大值及此时ｌ的方程 .解　 1)设Ｅ(ｘ ,ｙ) ,连ＯＥ ,则ＯＥ 　∥=12 ·ＡＤ .∴ |ＯＥ| =1.∴ｘ2 ｙ2 =1(ｙ≠ 0 ) .2 )由圆锥曲线的统一定义可知 :|ＭＡ|=ａ ｅｘ1,|ＮＡ| =ａ ｅｘ2 .∴ |ＭＮ| =2ａ ｅ(ｘ1 ｘ2 ) =832 .∵ｃ=2 ,∴…     

圆锥曲线的定点弦性质

文 [1 ]给出下面三道命题 :命题 1　Ｍ(ｘ0 ,ｙ0 )为抛物线ｙ2 =2ｐｘ上的一个定点 ,过Ｍ任作两条互相垂直的弦ＭＰ、ＭＱ ,则直线ＰＱ必过定点Ｍ′(ｘ0 +2ｐ ,-ｙ0 ) ;命题 2　Ｍ(ｘ0 ,ｙ0 )为椭圆ｘ2ａ2 +ｙ2ｂ2 =1上的一个定点 ,过Ｍ任作两条互相垂直的弦ＭＰ ,ＭＱ ,则直线ＰＱ过定点Ｍ′ ａ2 -ｂ2ａ2 +ｂ2 ｘ0 ,- ａ2 -ｂ2ａ2 +ｂ2 ｙ0 ;命题 3　Ｍ(ｘ0 ,ｙ0 )为双曲线ｘ2ａ2 - ｙ2ｂ2 =1上的一个定点 ,过Ｍ任作两条互相垂直的弦ＭＰ、ＭＱ ,若ａ≠ｂ ,则直线ＰＱ过定点Ｍ′ ａ2 +ｂ2ａ2 -ｂ2 ｘ0 ,- ａ2 +ｂ2ａ2 -ｂ2 ｙ0 ;若ａ =ｂ ,…     

将方程组x=x_0 at y=y_0 bt(t为参数)化为标准式

对求直线ｌ:ｘ =1 2ｔｙ =2 - 3ｔ(ｔ为参数 )与抛物线ｙ2 =3ｘ相交所得弦长 |Ｐ1 Ｐ2 |的问题 ,发现有的同学采用了如下解法 :将直线ｌ的参数方程代入 ｙ2 =3ｘ ,整理 ,得9ｔ2 - 18ｔ 1=0 .其两根ｔ1 ,ｔ2 ,则|Ｐ1 Ｐ2 | =|ｔ1 -ｔ2 |=(ｔ1 ｔ2 ) 2 - 4ｔ1 ｔ2=2 2 - 4× 19=4 23.不难检验解答是错误的 ,正确的答案为|Ｐ1 Ｐ2 | =4 2 63.为什么会出现这种错误 ?这需要正本清源 ,从头说起 .大家知道 ,经过定点Ｍ0 (ｘ0 ,ｙ0 ) ,倾角为α的直线的参数方程为ｘ =ｘ0 ｔｃｏｓαｙ =ｙ0 ｔｓｉｎα (ｔ为参数 ) ( 1)( 1)式叫做直线的点斜…     

圆锥曲线的一个奇妙性质

熟知关于抛物线的一个命题 :过原点Ｏ任作抛物线ｙ2 =2ｐｘ的两条互相垂直的弦ＯＰ ,ＯＱ ,则直线ＰＱ过定点Ｍ′(2ｐ ,0 ) .对于抛物线上的任一点Ｍ(ｘ0 ,ｙ0 )来说是否也有同样的性质 ?探求如下 :设Ｍ(ｙ202ｐ,ｙ0 ) ,Ｐ(ｙ21 2ｐ,ｙ1 ) ,Ｑ(ｙ222ｐ,ｙ2 ) ,ＭＰ ⊥ＭＱ .ｋＰＱ =2ｐｙ1 ｙ2,直线ＰＱ的方程为(ｙ1 ｙ2 ) (ｙ-ｙ1 ) =2ｐ(ｘ - ｙ21 2ｐ) ,即2ｐｘ- (ｙ1 ｙ2 )ｙ ｙ1 ｙ2 =0 (1 )又由ＭＰ ⊥ＭＱ ,ｋＭＰ·ｋＭＱ =- 1 ,得2ｐｙ0 ｙ1 · 2ｐｙ0 ｙ2 =- 1所以ｙ1 ｙ2 =-ｙ0 (ｙ1 ｙ2 ) - 2ｐｘ0 - 4ｐ2 (2 )把 (2 )代…     

直线系和曲线系

1　直线系若直线ｌ1:Ａ1ｘ Ｂ1ｙ Ｃ1=0与直线ｌ2 :Ａ2 ｘ Ｂ2 ｙ Ｃ2 =0相交于Ｐ ,则ｌ1与ｌ2 的线性组合 (λ ,μ∈Ｒ ,且不全为零 )ｌ3 :λ(Ａ1ｘ Ｂ1ｙ Ｃ1) μ(Ａ2 ｘ Ｂ2 ｙ Ｃ2 ) =0表示过Ｐ点的所有直线 ,称为过Ｐ点的直线系方程 .特别地 ,当λ =0时 ,ｌ3 成为ｌ2 ;当 μ =0时 ,ｌ3成为ｌ1.对于ｌ1,ｌ2 以外的直线 ,我们往往只在ｌ3 中保留一个参数 ,而使另一个为 1,即为ｌ4 :Ａ1ｘ Ｂ1ｙ Ｃ1 λ(Ａ2 ｘ Ｂ2 ｙ Ｃ2 ) =0 .如果ｌ1与ｌ2 平行 ,这时ｌ3 表示与ｌ1平行的直线系方程 .例 1　求过直线ｌ1:2ｘ ｙ - 5 =0和…     

这个轨迹该如何检验?

求轨迹方程的最后一步检验 ,一般省略不写 ,因此致使许多学生干脆省略不想 .其实 ,这一步是不能省略不想的 ,有时甚至不太容易想清楚 ,比如下面两例 .例 1　已知双曲线方程为ｘ2 - ｙ2 =4,过点Ａ(3,7)的直线ｌ与该双曲线交于两点Ｐ1和Ｐ2 ,求线段Ｐ1Ｐ2 的中点Ｍ的轨迹方程 ,并说明轨迹是什么图形 .解　设Ｐ1(ｘ1,ｙ1) ,Ｐ2 (ｘ2 ,ｙ2 ) ,Ｍ (ｘ ,ｙ) ,则ｘ =ｘ1 ｘ22 ,ｙ =ｙ1 ｙ22 .由Ｐ1,Ｐ2 在双曲线上 ,有ｘ21- ｙ21=4,ｘ22 - ｙ22 =4,两式相减 ,可得ｘ21-ｘ22 =ｙ21- ｙ22 .当ｘ1≠ｘ2时 ,化为ｙ1- ｙ2ｘ1-ｘ2 =ｘ1 ｘ2ｙ1 ｙ2 =ｘ…     

二次曲线一类定向问题的统一结论

《数学通报》2 0 0 0年第 1 1期文 [1 ]介绍一类定向问题 ,很有启发 ,但只限于某些标准方程 .笔者通过曲线系的研究可对这类问题给出更为一般的结论和证明 ,方法简捷明快 ,特介绍如下 .命题 1　常态二次曲线　Φ :Ａｘ2 +Ｃｙ2 +Ｄｘ+Ｅｙ =0 ( )过原点作斜率互为相反数的两条直线ｌ1、ｌ2 ,交二次曲线Φ于Ｐ、Ｑ两点 ,则直线ＰＱ有定向 ,且ＫＰＱ=Ｄ/Ｅ(Ｅ≠ 0 ) ,若Ｅ=0时 ,则直线ＰＱ斜率不存在 ,此时ＰＱ的倾斜角为 90°.证　设ｌ1、ｌ2 和ＰＱ的方程分别为 :ｙ=ｋｘ,ｙ =-ｋｘ,ｙ=ｔｘ +ｍ(ｔ∈Ｒ ,ｍ≠ 0 )(若曲线Φ关于ｘ轴对称 ,Ｅ …     

圆锥曲线的一个性质

定理　设Ｐ为圆锥曲线Ｅ上的任一点 ,ｌ为过点Ｐ的切线 ,ＰＡ ,ＰＢ为倾斜角互补的动弦 ,则(Ⅰ )直线ＡＢ与ｌ的倾斜角也互补 ;(Ⅱ )线段ＡＢ中点的轨迹是与原曲线具有相同离心率的圆锥曲线 (当原曲线为圆时 ,ＡＢ中点的轨迹亦是圆 ) .证明　①当圆锥曲线为椭圆、圆或双曲线时 ,不妨设其方程为ｍｘ2 +ｎｙ2 =1 (其中ｍ >0 ,ｎ >0或ｍｍ <0 ) .又设Ｐ ,Ａ ,Ｂ的坐标分别为(ｘ0 ,ｙ0 ) ,(ｘ1 ,ｙ1 ) ,(ｘ2 ,ｙ2 ) ,直线ＰＡ的斜率为ｋ.(Ⅰ )由 ｙ-ｙ0 =ｋ(ｘ-ｘ0 )ｍｘ2 +ｎｙ2 =1 ,得(ｍ +ｎｋ2 )ｘ2 + 2ｎｋ(ｙ0 -ｋｘ0 )ｘ +ｎ(ｙ0 -ｋｘ0 …     

数学思想与方法在中考中的应用一例

数学思想和方法是数学的灵魂 ,是知识转化为能力的桥梁 ,信息社会越来越多地要求人们自觉运用数学思想来提出问题和解决问题 .近几年的各省市中考数学试题 ,越来越注重数学思想和数学方法的考查 ,这已成为大家的共识 .为帮助读者更好地理解和掌握常用的基本数学思想和数学方法 ,特用一例说明 .例　 ( 2 0 0 2年哈尔滨市中考题 ) .如图 ,抛物线ｙ =ａｘ2 ｂｘ ｃ与ｘ轴交于Ａ ,Ｂ两点 (点Ａ在点Ｂ左侧 ) ,与ｙ轴交于点Ｃ ,且当ｘ =0和ｘ =2时 ,ｙ的值相等 .直线ｙ =3ｘ - 7与这条抛物线相交于两点 ,其中一点的横坐标是 4 ,另一点是这条抛物线的顶点Ｍ .( 1)求这条抛物线的解析式 ;( 2 )Ｐ为线段ＢＭ上一点 ,过点Ｐ向ｘ轴引垂线 ,垂足为Ｑ .若点Ｐ在线段ＢＭ上运动 (点Ｐ不与点Ｂ ,Ｍ重合 ) .设ＯＱ的长为ｔ,四边形ＰＱＡＣ的面积为Ｓ.求Ｓ与ｔ之间的函数关系式及自变量ｔ的取值范围 ;( 3)在线段ＢＭ上是否存在点Ｎ ,使△ＮＭＣ为等腰三角形 ?若存在 ,请求出点Ｎ的坐标 ;若不存在 ,请说明理由 .解 :( 1)设这条抛物线的解析式为ｙ =ａｘ2 ｂｘ ｃ.∵ｘ=0和ｘ=...     

配方(下)

５　求抛物线的顶点、焦点、焦距和准线设ｌ是一条确定的直线,Ｆ是一个确定的点,距离ｌ和Ｆ等远的点的轨迹叫抛物线,为了描述抛物线,在平面上建立坐标系,设Ｆ点到直线ｌ的距离等于ｐ;再设Ｆ点的坐标是（０,１２ｐ）,直线ｌ的方程是ｙ＝－１２ｐ．那么抛物线上一点（ｘ,ｙ）就应该满足条件（ｘ－０）２＋（ｙ－ｐ２）２＝（ｙ＋ｐ２）．化简上式,得　ｙ＝１２ｐｘ２．（１３）（１３）就叫抛物线的方程,ｌ叫准线,Ｆ叫它的焦点,ｐ叫它的焦距,直线ｘ＝０是它的对称轴,而对称轴和抛物线的交点（０,０）叫它的顶点;图３　抛物线…     

综合题新编选登

题 1 1　已知复数 -4 ,4,ｚ0 分别对应复平面内的点Ａ ,Ｂ ,Ｃ ,ｚ0 不在实轴上 ,|ｚ0 |=8.1 )求△ＡＢＣ的外接圆圆心Ｍ的轨迹Ｃ ;2 )若Ｎ是圆 (ｘ -4 ) 2 ( ｙ -ｂ) 2 =4上的动点 ,求 |ＭＮ|ｍｉｎ=ｆ(ｂ)的最大值 ;3 )若二次方程 2ｘ2 ( 2ｍ 4 )ｘ ｍ2 4=0有实根 ,且抛物线 ( ｙ-ｎ) 2 =92 (ｘ ｍ)与轨迹Ｃ有两个不同的交点 ,求实数ｎ的取值范围 .解　 1 )设ｚ0 =ｘ0 ｙ0 ｉ (ｘ0 ,ｙ0 ∈Ｒ) ,则ＡＣ的中点坐标为 ( ｘ0 -42 ,ｙ02 ) ,∴ＡＣ边的中垂线方程为ｙ-ｙ02 =-ｘ0 4ｙ0(ｘ -ｘ0 -42 ) ( 1 )又ＡＢ边的中垂线方程为ｘ =0 …     

定比分点、直线的方程、两条直线的位置关系

选择题1　已知点Ｍ (ａ ,- 8)和△ＡＢＣ的三个顶点Ａ(2 ,3) ,Ｂ(6 ,- 5 ) ,Ｃ(- 5 ,- 7) ,Ｇ为△ＡＢＣ的重心 ,若点Ｍ ,Ａ ,Ｇ在同一直线上 ,则ａ的值是(　　 )(Ａ) 116 .　 (Ｂ) - 116 .　 (Ｃ) 16 .　 (Ｄ) - 16 .2　已知点 (12 ,- 1)在直线ｌ上的射影为 (- 1,12 ) ,则直线ｌ的方程是 (　　 )(Ａ) 2ｘ 2 ｙ 1=0 .　 (Ｂ) 2ｘ - 2 ｙ 3=0 .(Ｃ) 2ｘ - ｙ 1=0 .　 (Ｄ)ｘ - 2 ｙ 2 =0 .3　已知直线ｌ1的方程为ｘ·ｓｉｎα 2 ｙ =1,直线ｌ2的方程为 2ｘ ｙｓｉｎα =2 ,且直线ｌ1到ｌ2 的角为6 0°,则ｓｉｎα的值为 (　　 …     

明修栈道暗渡陈仓

教师们在用《几何画板》制作课件时 ,是否感到 :由于《几何画板》不能作曲线 (圆除外 )与其它曲线的交点 ,因此很难实现长度为定值的线段的两端点在曲线上的运动 .这里介绍一种方法 ,使《几何画板》能演示这一运动 .下面以长度为ｌ的线段ＡＢ的两端点在抛物线 ｙ =ｘ2 上的移动为例 ,说明制作过程 ,供参考 .根据Ａ、Ｂ的移动求线段ＡＢ的中点Ｍ的轨迹 ,这是一个常见的数学问题 (1 987年高考题中有求ＡＢ的中点Ｍ到ｘ轴距离的最小值 ) ,我们可以先求出点Ｍ的轨迹方程 .解法如下 :设点Ｍ的坐标为 (ｘ0 ,ｙ0 ) ,直线ＡＢ的倾斜角为θ,由于｜Ａ…     

构造线段,虚拟交点,探求问题

众所周知 ,二元一次方程是一次函数 ｙ=ｋｘ ｂ(或ｘ =ｘ0 )定义域ｘ∈Ｒ ,如限制ａ≤ｘ≤ｂ ,则图象为线段 .线段与直线 ,这对定义域限制与放开的矛盾 ,在高中数学解题中能达到和协的统一 .1　与定比分点联系 ,虚拟交点 ,求变量图 1　例 1图的范围例 1　直线ｌ过点Ｐ(-1,2 ) ,且与以Ａ(-2 ,-3) ,Ｂ(3 ,0 )为端点的线段ＡＢ相交 ,求直线ｌ的斜率范围 .解　设直线方程为 ｙ -2 =ｋ(ｘ 1) .虚拟与线段ＡＢ的交点Ｍ ,且Ｍ分ＡＢ比为λ ,λ≥ 0 ,则Ｍ (-2 3λ1 λ ,-31 λ) .代入直线方程化简有ｋ =2λ 5-4λ 1,∴ｋ≥ 5或ｋ <-12 .注…     

直线参数方程中参数的几何性质及运用

众所周知 ,过定点Ｍ0 (ｘ0 ,ｙ0 )、倾斜角为α的直线ｌ的参数方程为 ｘ =ｘ0 +ｔｃｏｓαｙ =ｙ0 +ｔｓｉｎα(ｔ为参数 ) ,其中ｔ表示直线ｌ上以定点Ｍ0 为起点 ,任意一点Ｍ (ｘ,ｙ)为终点的有向线段Ｍ0 Ｍ的数量Ｍ0 Ｍ ,由这个几何意义出发 ,易得出参数ｔ具有如下性质 :性质　对于上述直线ｌ的参数方程 ,设ｌ上两点Ａ、Ｂ所对应的参数分别为ｔＡ、ｔＢ,则1 .Ａ、Ｂ两点之间的距离为 |ＡＢ|=|ｔＡ-ｔＢ|,特别地 ,Ａ、Ｂ两点到点Ｍ0 的距离分别为 |ｔＡ|、|ｔＢ|.2 .Ａ、Ｂ两点的中点所对应的参数为ｔＡ+ｔＢ2 ,若点Ｍ0 是线段ＡＢ的中点 ,…     

怎样想数学问题

问题　已知以点Ｃ(2,0)为圆心的圆Ｃ与两射线ｙ=±ｘ(ｘ≥0)相切,动直线ｌ与圆Ｃ相切且与射线ｙ=±ｘ(ｘ≥0)分别交于Ａ,Ｂ两点,求ＡＢ的中点的轨迹方程.分析:1)首先细审题意,分清已知条件与求解目标,明确问题结构.已知几何条件有三点:①圆心为Ｃ(2,0)的圆与两射线ｙ=±ｘ(ｘ≥0)相切;②直线ｌ与圆Ｃ相切;③ｌ与两射线ｙ=±ｘ(ｘ≥0)分别交于Ａ,Ｂ两点.所求是适合上述三个几何条件的线段ＡＢ中点的轨迹2)充分运用综合分析法.首先从求解目标出发逆推:①动点Ｍ的确定依赖于线段ＡＢ两端点Ａ与Ｂ的位置.若考虑到ＡＢ与圆Ｃ相切,则可知若Ａ,Ｂ两…     

从点到直线的距离公式的推导谈起

在全日制普通高级中学教科书 (试验本 )《数学》第二册 (上 ) (1 997年 1 2月第 1版 )中 ,用向量方法推导了点到直线的距离公式 .本文用向量方法给出两种新的推导方法 ,并由此引发了对教材编写的一点建议 ,供讨论 .1　公式的推导已知 :Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 ) ,直线ｌ:Ａｘ+Ｂｙ +Ｃ=0 ,求点Ｐ到直线ｌ的距离ｄ解法 1　设点Ｐ在ｌ上的射影为Ｑ(ｘ1,ｙ1) ,则ＰＱ⊥ｌ,因为直线ＰＱ的方向向量为ｖ→ =(Ａ ,Ｂ) ,所以ＰＱ→ =ｔｖ→ 　 (ｔ∈Ｒ)因此 (ｘ1-ｘ0 ,ｙ1-ｙ0 ) =ｔ(Ａ ,Ｂ) ,即 ｘ1=ｘ0 +Ａｔｙ1=ｙ0 +Ｂｔ又点Ｑ在ｌ上 ,所以Ａ(ｘ0 +Ａｔ) +…     

面积法解题举隅

对于一些涉及三角形的解析几何题 ,灵活地引用三角形面积公式 ,可以优化解题过程 ,请看下面的例图 1子 .例 1　在△ＡＢＣ中 ,∠Ａ= 6 0° ,Ｓ△ＡＢＣ=8,试求ＢＣ边的中点Ｍ的轨迹方程 .解　以Ａ为原点 ,直线ＡＣ为ｘ轴 ,建立如图 1所示的直角坐标系 ,设Ｍ (ｘ,ｙ)(ｘ>0 ,ｙ >0 ) ,则　ＡＣ =2 (ｘ - 33ｙ) ,　ＡＢ =2·2 33ｙ ,∵　Ｓ△ＡＢＣ=12 ·ＡＣ·ＡＢ·ｓｉｎ∠ＢＡＣ =8,∴　 12 ·2 (ｘ - 33ｙ)·2·2 33ｙ·ｓｉｎ6 0°=8.故点Ｍ的轨迹方程是ｘｙ - 33ｙ2 =4　 (ｘ≥4 42 73,轨迹是双曲线在第一象限内的一支 ) .图 2例 2　如…