方程思想在解三角问题中的运用

我在学习的过程中 ,发现一些三角函数问题可以利用方程的思想来解决 ,避免了由于公式不熟或其它原因造成的错误 .以下举例说明 .例 1　已知 2ｓｉｎ2 ｘ -ｃｏｓ2 ｘ +ｓｉｎｘｃｏｓｘ - 6ｓｉｎｘ +3ｃｏｓｘ =0 ,求解 2ｃｏｓ2 ｘ +ｓｉｎ2ｘ1+ｔａｎｘ 的值 .解　观察已知条件 ,可把等式看作关于ｃｏｓｘ的一个方程 :-ｃｏｓ2 ｘ + (ｓｉｎｘ + 3)ｃｏｓｘ + 2ｓｉｎｘ(ｓｉｎｘ - 3) =0 ,即 (-ｃｏｓｘ + 2ｓｉｎｘ) (ｃｏｓｘ +ｓｉｎｘ - 3) =0 .∵ｃｏｓｘ +ｓｉｎｘ - 3≠ 0 ,∴ -ｃｏｓｘ + 2ｓｉｎｘ =0 ,得ｔａｎｘ =12 .又由　…     

从几道北京高考题看数学思想的解题威力

问题是数学的核心 ,思想 (数学思想 )是数学的灵魂 .数学思想在数学解题中的自觉应用正在引起广大中学生的高度重视 .2 0 0 2年高考第一次北京市自主命题 ,现撷取其中题目加以评析 ,供读者欣赏 .一、( 2 )在平面直角坐标系中 ,已知两点Ａ(ｃｏｓ80° ,ｓｉｎ80°) ,Ｂ(ｃｏｓ2 0°,ｓｉｎ2 0°) ,则 |ＡＢ|的值是(　　 ) .(Ａ) 12 　 (Ｂ) 22 　 (Ｃ) 32 　 (Ｄ) 1解　 |ＡＢ|=(ｃｏｓ80° -ｃｏｓ2 0°) 2 +(ｓｉｎ80° -ｓｉｎ2 0°) 2=ｃｏｓ2 80° +ｓｉｎ2 80° +ｃｏｓ2 2 0°+ｓｉｎ2 2 0° - 2 (ｃｏｓ80°ｃｏｓ2 0° +ｓｉｎ80°…     

三角试题的优化解法与技巧

通过对三角习题的结构进行分析 ,在解题时考虑选择适当的方法 ,则可使复杂问题转化为简单问题 ,收到事半功倍的效果 .下面简要分析说明其解题常用的选优方法及技巧 ,供读者参考 .1　参数替换在三角函数问题中 ,若ｓｉｎｘ±ｃｏｓｘ与ｓｉｎｘｃｏｓｘ同时在一个函数式中出现 ,可设ｔ =ｓｉｎｘ±ｃｏｓｘ ,把问题转化为以ｔ为变量的二次函数 ,避开三角式讨论的麻烦 .例 1　求函数 ｙ =ｓｉｎｘｃｏｓｘ ｓｉｎｘ ｃｏｓｘ的最大值 .解　设ｔ =ｓｉｎｘ ｃｏｓｘ =2ｓｉｎ(ｘ π4 ) ,则ｓｉｎｘｃｏｓｘ =ｔ2 - 12 ,于是 ｙ =ｔ22 ｔ- …     

构造解析几何模型巧解三角问题

有些三角问题 ,若能根据已知式的结构 ,挖掘出它的几何背景 ,通过构造解析几何模型 ,化数为形 ,利用数学模型的直观性 ,则能简捷地求得问题的解 .　　一、构造“直线模型”例 1　已知ｃｏｓα -ｃｏｓβ=-23,ｓｉｎα -ｓｉｎβ=12 ,求ｃｏｓ(α + β)与ｃｏｓα +ｃｏｓβｓｉｎα +ｓｉｎβ的值 .解　Ａ(ｃｏｓα ,ｓｉｎα)、Ｂ(ｃｏｓβ ,ｓｉｎβ)是单位圆ｘ2 + ｙ2 =1上的点 .由已知可得直线ＡＢ的斜率ｋＡＢ =ｓｉｎα -ｓｉｎβｃｏｓα -ｃｏｓβ=-34.设直线ＡＢ的方程为 ｙ =-34ｘ +ｂ ,代入ｘ2 + ｙ2 =1得2 5ｘ2 -2 4ｂｘ + (16…     

一道数学高考题的巧解及推广

例1　求ｃｏｓ270° ｃｏｓ250° ｃｏｓ70°·ｃｏｓ50°的值.按常规解法,这道题一般是先降次,再和差化积,积化和差.但过程较繁,现给出一种解法如下.解　设ｘ=ｃｏｓ270° ｃｏｓ250° ｃｏｓ70°·ｃｏｓ50°,ｙ=ｓｉｎ270° ｓｉｎ250° ｓｉｎ70°·ｓｉｎ50°,则ｘ ｙ=2 ｃｏｓ20°(1)　ｘ-ｙ=ｃｏｓ140° ｃｏｓ100° ｃｏｓ120°=2ｃｏｓ120°ｃｏｓ20°-12=-ｃｏｓ20°-12(2)(1) (2)得2ｘ=32,即ｘ=34.∴ｃｏｓ270° ｃｏｓ250° ｃｏｓ70°ｃｏｓ50°=34.现在,我们把这道题推及一般.例2　求ｃｏｓ2α ｃｏｓ2β ｃｏｓαｃｏｓβ在…     

课外练习

高一年级1 .当函数 ｙ =2ｃｏｓｘ - 3ｓｉｎｘ取最大值时 ,求ｔａｎｘ的值 . 2 .求证 :ｔａｎ5=ｔａｎ2 +ｔａｎ3 +ｔａｎ2·ｔａｎ3·ｔａｎ5.3 .函数 ｆ(ｘ)是定义在 {ｘ|ｘ≠ 0 ,ｘ∈ｋ}上的奇函数 ,且 ｆ(ｘ)在 ( 0 ,+∞ )上为减函数 ,又ｆ( 3 ) =0 ,ｇ(θ)=ｃｏｓ2θ - 2ｍｃｏｓθ + 4ｍ ,θ∈ [0 ,π2 ] .若集合Ｍ ={ｍ| ｇ(θ) >0 },Ｎ ={ｍ| ｆ[ｇ(θ) ] <0 }.求Ｍ∩Ｎ .高二年级1 .已知不等式 1ｎ + 1 + 1ｎ + 2 +… + 12ｎ>11 2 ｌｏｇａ(ａ -1 ) + 23 对一切大于 1的自然数都成立 ,求实数ａ的取值范围 .(2 .已知 :△ＡＢＣ的顶…     

三角问题常见错解剖析

思维的严密性和深刻性是良好思维品质的基本特征 ,也是高考对学生思维能力的基本要求 .三角函数一单元中由于缺乏思维的严密性和深刻性而使问题错解的例子比比皆是 .本文拟举以下几种错解情形 ,并对此进行剖析、纠正 ,目的是引起同学们深入思考 ,周密考虑 ,以纠正和预防三角解题中的类似错误 .1　忽视三角函数的定义域而致错例 1　求函数 ｆ(ｘ) =ｓｉｎｘ +ｓｉｎ3ｘｃｏｓｘ +ｃｏｓ3ｘ的最小正周期 .错解 :∵ ｆ(ｘ) =ｓｉｎｘ +ｓｉｎ3ｘｃｏｓｘ +ｃｏｓ3ｘ=2ｓｉｎ2ｘｃｏｓｘ2ｃｏｓ2ｘｃｏｓｘ=ｔｇ2ｘ ,∴周期Ｔ =π2 .剖析　注意…     

用余弦定理构造三角形解题

余弦定理是解决有关三角形问题的有力工具 ,其实它还可用于非三角形问题的求解 .在数学解题中 ,常会碰到形如“ａ2 ｂ2 ｋａｂ =ｃ2 (ａ ,ｂ ,ｃ >0 ,|ｋ|<2 )”的结构 ,这时可类比余弦定理 ,进行几何代换 ,从而把代数问题转化为三角形问题 ,使比较隐蔽的关系直观化 ,实现了难题巧解 ,下面举例说明 .1　三角求值例 1　 (1995年全国高考题 )求ｓｉｎ2 2 0° ｃｏｓ2 50° ｓｉｎ2 0°ｃｏｓ50°的值 .解　ｓｉｎ2 2 0° ｃｏｓ2 50° ｓｉｎ2 0°ｃｏｓ50°=ｓｉｎ2 2 0° ｓｉｎ2 4 0° ｓｉｎ2 0°ｓｉｎ4 0°=ｓｉｎ2 2 0° ｓｉ…     

绍兴市1999年高考模拟考试数学试卷

以下数据、公式供解题时选用 :2 =1.4 14,3=1.732 ,ｓｉｎ4 5°=0 .70 71,ｓｉｎ75° =0 .96 59,ｃｏｓ75° =0 .2 588.ｓｉｎα ｓｉｎβ =2ｓｉｎα β2 ｃｏｓα - β2 ,ｃｏｓα ｃｏｓβ=2ｃｏｓα β2 ｃｏｓα - β2 ,ｓｉｎα -ｓｉｎβ=2ｃｏｓα β2 ｓｉｎα - β2 ,ｃｏｓα -ｃｏｓβ=- 2ｓｉｎα β2 ｓｉｎα - β2 .选择题 :本大题共 14小题 ;第 1— 10题每小题 4分 ,第 11— 14题每小题 5分 ,共 6 0分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .1　已知集合Ｍ ={ｘ|ｘ≥ 33,ｘ∈Ｒ}及ａ =2 7,则下列各…     

一套易错的三角基础题

不少三角函数基础问题看似很简单 ,但稍不注意就会出错 .多做这样的习题 ,有利巩固基础知识和发展思维能力 .下面是汇集了经常发生在同学们练习中的一套容易做错的三角基础题 ,并在题后给出易错点的分析及解答 ,供同学们复习三角函数时参考 .判断下列命题的真假1.已知α ,β都是第一象限的角 ,且α >β ,则ｓｉｎα >ｓｉｎβ成立 .2 .已知ｓｉｎα >0 ,ｃｏｓα≤ 0 ,则α是第二象限的角 .3.若 0≤ｘ≤ 2π ,则函数ｙ =(ｓｉｎｘ +ｃｏｔｘ)(1+ｔａｎｘ) 的定义域为ｘ≠3π4 或ｘ≠7π4 .4 .函数ｙ ==ｃｏｓｘ在区间 [0 ,2π]上是偶函数 .5…     

类比正切的和角公式解题

在数学解题中 ,常会碰到形如“ｘ +ｙ1-ｘｙ”的结构 ,这时可类比正切的和角公式 ,进行三角代换 ,就能使比较隐蔽的关系显现出来 ,从而实现难题巧解 .下面举例说明 .例 1　已知非零实数ａ ,ｂ满足ａｓｉｎ π5 +ｂｃｏｓ π5ａｃｏｓ π5 -ｂｓｉｎ π5=ｔａｎ8π15 ,求 ｂａ 的值 .分析 :由ａｓｉｎ π5 +ｂｃｏｓπ5ａｃｏｓ π5 -ｂｓｉｎ π5=ｔａｎ π5 + ｂａ1- ｂａ·ｔａｎ π5,联想到两角和的正切公式 ,便有以下解法 .解　由题设 ,得ｔａｎ π5 + ｂａ1- ｂａ·ｔａｎ π5=ｔａｎ8π15 ,令 ｂａ =ｔａｎθ ,则　ｔａｎ π5 +ｔａｎ…     

对一道三角题的分析

题目　已知函数 ｆ(ｘ) =1+ｓｉｎｘ -ｃｏｓｘ1+ｓｉｎｘ +ｃｏｓｘ,试判断它的奇偶性 ,求函数周期、单调区间 .分析　首先来化简下式 :1+ｓｉｎｘ -ｃｏｓｘ1+ｓｉｎｘ +ｃｏｓｘ.解法一　 (由半角公式 )ｔａｎ ｘ2 =1-ｃｏｓｘｓｉｎｘ =ｓｉｎｘ1+ｃｏｓｘ.根据比例性质得ｔａｎ ｘ2 =1+ｓｉｎｘ -ｃｏｓｘ1+ｓｉｎｘ +ｃｏｓｘ,即　原式 =ｔａｎ ｘ2 .解法二　 (根据万能公式 )设ｔ=ｔａｎ ｘ2 ,则原式 =1+ 2ｔ1+ｔ2 -1-ｔ21+ｔ21+ 2ｔ1+ｔ2 + 1-ｔ21+ｔ2=2ｔ+ 2ｔ22 + 2ｔ=ｔ=ｔａｎ ｘ2 .解法三　 (根据倍角公式 )原式 =(1-ｃｏｓｘ)…     

一个三角等式的探索过程

笔者在探究光的反射和弹性碰撞问题时 ,发现了如下三角公式 :ｓｉｎαｃｏｓ4αｃｏｓ3α ｓｉｎαｃｏｓ3αｃｏｓ2α ｓｉｎαｃｏｓ2αｃｏｓα ｓｉｎαｃｏｓα=ｔｇ4α ( 0°<α <2 2 .5°) ( 1)本文将展开与 ( 1)式相关的思维过程 .1　 ( 1)式的成因　图 1　原线拆射图1.1　问题的提出　如图 1,假设两平面镜ＯＡ ,ＯＰ成 15°角 ,一束光线从Ａ点与ＯＡ成 30°角射出 ,经ＯＰ反射后 ,反射光线ＢＣ又经ＯＡ反射 ,然后ＣＤ经ＯＰ第二次反射 ,此时的反射光线ＤＥ必垂直于镜面ＯＡ(Ｅ为ＤＥ与ＯＡ的交点 ) ,此时再反射 ,光线就按原路返…     

名校基础知识自测

★高一年级北京师大二附中 (10 0 0 88)　汪燕铭一、选择题1.ｓｉｎ15°·ｓｉｎ3 0°·ｓｉｎ75°的值等于 (　　 ) .(Ａ) 34 　 (Ｂ) 38　 (Ｃ) 18　 (Ｄ) 142 .ｃｏｓ2 75° +ｃｏｓ2 15° +ｃｏｓ75°·ｃｏｓ15°的值等于 (　　 ) .(Ａ) 62 　 (Ｂ) 32 　 (Ｃ) 54 　 (Ｄ) 1+343 .ｃｏｓ(α +β)·ｃｏｓ(α- β) =13 ,则ｃｏｓ2 α -ｓｉｎ2 β的值是(　　 ) .(Ａ) - 23 　 (Ｂ) - 13 　 (Ｃ) 23 　 (Ｄ) 134 .ｃｏｓ4 0° +ｃｏｓ60°+ｃｏｓ80°+ｃｏｓ160°等于 (　　 ) .(Ａ) 0　 (Ｂ) 12 　 (Ｃ) - 1　 (Ｄ) 15.ｃｏｓ π12 -ｃ…     

一类反三角恒等式的几何证法

证明反三角恒等式的常用方法是三角法与复数法.然而有许多反三角恒等式蕴含丰富的几何直观,此时若能以数思形,数形结合,便可开辟解题新径.现举例如下,望同学们能举一反三,灵活应用.例1　设0<ｘ<1,求证:ａｒｃｓｉｎ1-ｘ21 ｘ2 ａｒｃｃｏｓ2ｘ1 ｘ2 2ａｒｃｔｇ2ｘ1-ｘ2=π.证　构造Ｒｔ△ＡＢＣ,使∠Ｃ=90°,ＡＣ=2ｘ,ＢＣ=1-ｘ2,则ＡＢ=1 ｘ2,如图1所示.图1　例1图于是在Ｒｔ△ＡＢＣ中,ｓｉｎＡ=1-ｘ21 ｘ2,ｃｏｓＡ=2ｘ1 ｘ2,ｔｇＢ=2ｘ1-ｘ2.∴∠Ａ=ａｒｃｓｉｎ1-ｘ21 ｘ2,∠Ａ=ａｒｃｃｏｓ2ｘ1 ｘ2,∠Ｂ=ａｒｃｔｇ2ｘ1-ｘ2.又2(∠…     

课外练习

高一年级1.在△ＡＢＣ中 ,∠Ａ =2 0° ,ＡＢ =ＡＣ =ｂ ,ＢＣ=ａ .求证 :ａ3 +ｂ3 =3ａｂ2 .2 .若 π6 ≤ｘ≤ π3,求函数 ｙ =ｔａｎｘ -ｓｉｎ2 ｘｔａｎｘ +ｓｉｎ2 ｘ的最大值和最小值 .3 .若函数ｆ(ｘ)在 (-∞ ,3]上是减函数 ,且ｆ(ａ2 -ｓｉｎｘ)≤ｆ(ａ+ 1+ｃｏｓ2 ｘ)对一切ｘ∈Ｒ恒成立 ,求实数ａ的取值范围 .高二年级1.在棱长为ａ的正方体ＡＢＣＤ -Ａ1 Ｂ1 Ｃ1 Ｄ1中 ,过ＢＤ1 的截面分别交ＡＡ1 、ＣＣ1 于Ｅ、Ｆ两点 ,求四边形ＢＥＤ1 Ｆ面积的最小值 .(北京　含　笑 )2 .已知 :ｘ ,ｙ∈Ｒ+ ,且ｘ + ｙ =1.求ｕ =1ｘ3 +12ｙ的…     

一个三角函数的最小上界

第 1 9届全俄中学生数学奥林匹克竞赛中有一个三角不等式问题 :求证 :对任意的实数ｘ,ｙ,ｚ,有下面的不等式ｓｉｎ2 ｘｃｏｓｙ+ｓｉｎ2 ｙｃｏｓｚ+ｓｉｎ2 ｚｃｏｓｘ<32 (1 )成立 .文[1 ]对(1 )做了推广 ,给出一个一般性的结果 :命题 1　设ｘ,ｙ,ｚ∈ 0 ,π2 ,ｍ ,ｎ∈Ｎ ,则ｓｉｎｍｘｃｏｓｎｙ+ｓｉｎｍｙｃｏｓｎｚ+ｓｉｎｍｚｃｏｓｎｘ<1 +ｍｍｎｎ(ｍ+ｎ) ｍ+ｎ (2 )并根据 (2 )将 (1 )加强为ｓｉｎ2 ｘｃｏｓｙ +ｓｉｎ2 ｙｃｏｓｚ +ｓｉｎ2 ｚｃｏｓｘ<1 +2 39≈ 1 3 85 (3 )本文进一步将 (3 )加强为ｓｉｎ2 ｘｃｏｓｙ+ｓｉ…     

一道三角题的另几种解法

《中学生数学》(2 0 0 2年 4月上期中刊登的《一道三角题的几种解法》)给人启示很大 .今给出该题与另外几种解法与大家共享 .题目　若 0 <θ <π2 ,且 3ｓｉｎθ+4ｃｏｓθ =5 ,求ｔａｎθ .一、向量模型解解　由向量内积的坐标表示我们可以构造ａ—→ =(3 ,4) ,ｂ—→=(ｓｉｎθ ,ｃｏｓθ) ,设ａ—→ 与ｂ—→ 的夹角为α .由ａ—→·ｂ—→=|ａ—→||ｂ—→|ｃｏｓα得5 =3ｓｉｎθ +4ｃｏｓθ =5× 1×ｃｏｓα ,得　ｃｏｓα =1 (0°≤α≤ 1 80°) ,　∴　α =0°,即ａ—→ 与ｂ—→ 共线 ,　∴　ｔａｎθ=34.二、解析几何模型解解法…     

关于sinα±cosα的符号规律

在解三角问题时 ,经常要确定“ｓｉｎα±ｃｏｓα”的符号 ,通常的方法是利用三角函数的图象或单位圆中的三角函数线 ,既费时又繁琐 .那么是否有简单易行的方法呢 ,答案是肯定的 .下面就介绍一种方便、实用的确定“ｓｉｎα±ｃｏｓα”符号的方法 ,供同学们参考 .在直角坐标系中作出直线 ｙ =ｘ (或 ｙ=-ｘ) ,则1)当α角的终边落在直线 ｙ =ｘ(或 ｙ =-ｘ)的上方时 ,ｓｉｎα -ｃｏｓα >0 (或ｓｉｎα ｃｏｓα >0 ) .2 )当α角的终边落在直线 ｙ =ｘ(或 ｙ =-ｘ)的下方时 ,ｓｉｎα -ｃｏｓα <0 (或ｓｉｎα ｃｏｓα <0 ) .3)当α角…     

三角函数及其恒等变形

三角函数及其恒等变形是高中数学的基本内容 .它所涉及的知识面广 ,内容丰富多彩 .三角恒等变形常见的形式有化简、求值、恒等式证明等等 .由于三角变换公式多 ,方法灵活 ,因此 ,必须达到某个目标的三角恒等变形 ,常常会让我们感到难于掌握 .三角恒等变形的主要目的在于化简三角式 .下面我们以三角式的化简为主 ,介绍三角恒等变形的原则、方法和技巧 .例 1　证明3- 4ｃｏｓ2α +ｃｏｓ4α3+ 4ｃｏｓ2α +ｃｏｓ4α=ｔａｎ4 α .思路分析 :在题设所给式子左端有 2α ,4α两种不同的角 ,而右端为α一种角 ,为此我们通过化简左端 ,并从减少角的…