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学过复分析的人都知道如下的 Euler公式 :eix =cos x isin x,其中 i2 =- 1 .由此我们可以解出sin x =eix - e-ix2 i ,cos x =eix e-ix2 ,这是两个基本的三角函数 ,其它的几个三角函数 tan x,cot x,sec x,csc x是次要的 ,它们可由 sin x和 cos x表示出来 .从这个观点看 ,这 6个三角函数都是 eix的有理函数 ,从而每个三角函数问题可以化归到 eix 的有理函数问题加以解决 ,这是一种高等数学的视野 .为说明这点 ,我们给出上述的三角函数表达式对几道三角赛题的应用 .例 1 设 n是大于 1的自然数 ,则cos2πn cos4πn cos6πn … cos2 nπn =0… 相似文献
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线性代数中关于线性方程组的理论有这样一个重要结论:定理[1]含有n个未知量n个方程的齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是该方程组的系数行列式等于零.这一结论不仅在线性代数中有广泛应用,而且在数学分析、解析几何等数学分支中也有不少应用.下面我们通过几个实例给予说明.例1设y=ex(C1sinx+C2cosx)(C1,C2为任意常数)是某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为.(全国2001年硕士研究生入学考试试题)解y=ex(C1sinx+C2cosx)两边对x分别求1阶及2阶导数,并整理,得(C1-C2)exsinx+(C1+C2)excosx-y′=0,(1)-2C2exsinx+2C1excosx-y… 相似文献
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求级数∑∞i=11i2 和的问题是由瑞士数学家伯努力在 1 8世纪 2 0年代首先提出的 ,但他未能解决 ,欧拉将三角函数方程与代数方程进行了大胆的类比 ,猜测结果应该为π26 ,后来人们用傅立叶级数的理论验证了欧拉的猜测 ,并为欧拉的这种大胆类比而惊叹不已 .本文将给出这一问题的初等证明 .引理 1 若 0 相似文献
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例 1 ( 1995年数学冬令营第五题 )设xi >0 ,∑ni =1xi=1(i =1,2 ,… ,n) ,求证 :∑ni =1xi1+ (x1+x2 +… +xi- 1)xi+xi+ 1+… +xn≤ π2 .证 令sinθi=∑ik =1xk ,θ0 =0 (i =1,2 ,… ,n) ( 0<θi≤ π2 ) ,则∑ni=1xi1+ (x1+x2 +… +xi - 1)xi+xi + 1+… +xn=∑ni =1sinθi-sinθi- 11+sinθi - 11-sinθi- 1=∑ni =12sin θi-θi - 12 cosθi+θi- 12cosθi - 1≤∑ni =12sinθi-θi - 12<∑ni =1(θi-θi - 1)=θn -θ0 =π2 .例 1的命制及解法均含有高等数学中的思想方法 ,为了说明问题 ,我们给出如下两个结论 .定理 1 设 f(x) 是区… 相似文献
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下面对 2 0 0 4年北京春季高考的客观题的速解作一点解及点评 ,希望对考生在复习迎考中有所帮助 .选择题1.在函数 y =sin2x ,y =sinx ,y =cosx ,y =tan x2 中 ,最小正周期为π的函数是 ( )(A) y =sin2x . (B) y =sinx .(C) y =cosx . (D) y =tan x2 .点通 回归公式 .由弦、切函数的最小正周期公式T =2π|ω|及T =π|ω|,即知仅 y=sin2x的最小正周期是π ,而选 (A) .点评 求三角函数的最小正周期是历年高考的一个热点 ,其解法是 :先化为标准型 y =f(ωx +φ)+k ,再由公式T =2π|ω|或T =π|ω|即得 .2 .当 23相似文献
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点到空间直线距离的一个公式 总被引:2,自引:1,他引:1
利用求条件极值的拉格朗日乘数法给出了空间中点P(x0,y0,z0)到直线A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0距离的一个公式d=|(A1x0+B1y0+C1z0+D1)n2-(A2x0+B2y0+C2z0+D2)n1|/|n1×n2|,其中ni={Ai,Bi,Ci},(i=1,2) 相似文献
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(工科 2 0 0 1级学生用 ,2 0 0 2年 7月 5日 )一、填空题 (共 2 4分 ,将答案填在横线上 )1 .设 u=xy,则 u x= [yxy- 1 , u y= [xylnx 。2 .曲面 z-ez+2 xy=3在点 ( 1 ,2 ,0 )处的切平面方程为 [2 x+y-4 =0 。3 .函数 u=ln( x2 +y2 +z2 )在点 M( 1 ,2 ,-1 )处的梯度 gradu|M= [26 i+46 j-26 k 。4.设平面曲线 L为下半圆 y =-1 -x2 ,则曲线积分∫L( x2 +y2 ) ds= [π 。5.设 f( x)是周期为 2的周期函数 ,它在区间 ( -1 ,1 ]上的定义为f ( x) =2 ,-1 相似文献
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《高等数学研究》2005,8(6):62-63
一、填空与单项选择题(每小题3分,共30分)1.已知当x→0时,无穷小1-cosx与asin2x2等价,则a=2.limx∞x-sinxx+sinx=3.12∫-12cosxln1+x1-xdx4.设f(x)的一个原函数是sinx,则xf∫′(x)dx=5.曲线y=e-x+2x上与直线x-y+2=0平行的切线方程是6.函数y=∫x0t(t-1)dt的极小值是()(A)0(B)-16(C)16(D)567.若连续曲线y=1f(x)与y=f2(x)在[a,b]上关于x轴对称,则b∫af1(x)dx+b∫af2(x)dx的值为()(A)2∫baf1(x)dx(B)2∫ba2f(x)dx(C)0(D)2∫ba[f(x)-f2(x)]dx8.设y=exsinx,则dy=()dex(A)sinx-cosx(B)sinx+cosx(C)ex(sinx-cos(x)D)ex(sinx+cosx)9.下列函数中(… 相似文献
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<正> 利用Euler公式:cosx=(1/2)(e~((?)x)+e~(-ix)),sinx=(1/(2i))(e~(ix)-e~(-ix))来计算下列依赖于取正整数值的参数n和m均积分: 相似文献
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《高等数学研究》2003,6(1)
一、填空题 (本题共 6小题 ,每小题 4分 ,满分 2 4分 )( 1 ) limx→ 0 ( cosx) 1ln( 1+ x2 ) = 1e 。( 2 ) 曲面 z=x2 +y2 与平面 2 x+4 y-z=0平行的切平面的方程是 2 x+4 y-z=5 。( 3 ) 设 x2 =∑∞n=0ancosnx( -π≤ x≤π) ,则 a2 = 1 ( 4) 从 R2 的基 α1=10 ,α2 = 1-1 到基 β1=11 ,β2 =12 的过渡矩阵为 2 3-1 -2 。( 5) 设二维随机变量 ( X,Y)的概率密度为f ( x,y) =6x, 0≤ x≤ y≤ 1 ,0 , 其他则 P{ X+Y≤ 1 } = 14 。( 6) 已知一批零件的长度 X(单位 :cm)服从正态分布 N(… 相似文献
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《中学数学》1987,(5)
一本期问题 1 化简: 1+cosx/cosx+cos2x/cos~2x+cos3x/cos~3x+…+cosnx/cos~nx。湖南临澧一中沈文选提供 2 已知锐角△ABC的三边分别为a、b、c,外接圆圆心O到三边距离分别是x、y、z试证:abc≥243xyz~(2/2) 3 试证:由3~n个单位1组成的数必能被3~n整除(n∈N)。山东文登县广播电视大学褚学璞提供 4 设F_r=x~rsin(rA)+y~rsin(rB)+z~rsin(rC),其中x、y、z、A、B、C为实数,且A+B+C为π的整数倍,试证:若F_1=F_2=0,则对于一切正整数r有F_r=0: 浙江开化县中学方光雄提供 5 求19~(8~7)的末三位数。石家庄师范专科学校数学系冯祥树提供 相似文献
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导数是解决有关数学问题的有力工具,它的综合应用的多方面的,如求曲线上某点切线斜率、倾角、切线方程、判断单调性、求单调区间、函数的极值最值、运动物体速度、加速度等.而且导数与函数、三角、数列、不等式、向量、解析几何、立体几何等重要内容有密切的联系.一、求值例 1 若 |x|<12,求3arccosx-arccos(3x-4x3 )的值.分析:设原式为y,取x=0,得y=π,由此猜想原式的值为π,要证y=π只证yx=0即可解:设y为原式,取x= 0,得y=π,猜想y=π,欲证yx=0.证法一:y′=-31-x2+3-12x21-(3x-4x3 )2=31-4x2(1-x)(1+2x)2·(1+x)(1-2x)2 -11-x2=31-4x2(… 相似文献
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设Ω=[-πxπ,-πyπ],C(Ω)表示关于x,y均以2π为周期的连续函数空间.若f(x,y)∈C(Ω),取结点组为(xk,yl)=(2k+2n 1)π,(2l 2+m 1)πk=0,1,2,…,2n,l=0,1,2,…,2m,则我们获得一个二元三角插值多项式Cn,m(f;x,y)=M1N∑k=2n0∑l=2m0f(xk,yl).1+2∑nα=1cosα(x-xk)+2∑mβ=1cosβ(y-yl)+4∑nα=1∑mβ=1cosα(x-xk)cosβ(y-yl)其中M=2m+1,N=2n+1.为改进其收敛性,本文构造一个新的因子ρα,β,使得带有该因子ρα,β的二元三角插值多项式Ln,m(f;x,y)可以在全平面上一致地收敛到每个连续的f(x,y),且具有最佳逼近阶. 相似文献
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The problem of reconstructing a signal ψ(x) from its magnitude |ψ(x)| is of considerable interest to engineers and physicists.This article concerns the problem of determining a time-limited signal f with period 2π when |f(eix)| is known for x ∈ [-π,π].It is shown that the conditions |g(eix)| = |f(eix)| and |g(ei(x+b))-g(eix)| = |f(ei(x+b))-f(eix)|,b = 2π,together imply that either g = wf or g = vf,where both w and v have period b.Furthermore,if 2bπ is irrational then the functions w and v reduce to some constants c1 and c2,respectively;if 2bπ is rational then w takes the form w=eiαB1(eix)B2(eix) and v takes the form ei(x2πN/b+α)B1(eix)B2(eix),where B1 and B2 are Blaschke products. 相似文献
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文[1]给出了不等式:已知x,y,z∈R+,m∈N+.求证:x/mx+y+z+y/x+my+z+z/x+y+mz≤3/m+2.
文[2]给出了不等式:已知xi>0(i=1,2,…n),k<1,求证:
n∑i=1 xi/x1+x2+…+xi-1+kxi+xi+1+…+xn≥n/n+k-1.
文[3]给出了不等式:设ai>0(i=1,2,3,…,n),p∈R,q>0,且n∑i=1ai=A,Si=pai+q(A一ai)>0(i=1,2,…,n),求证: 相似文献