从求(limln→+∞nn√n!/n)说起

求(lim n→+∞ lnn√n!/n)是一个老题,同济大学数学教研室所编高等数学总习题5中收入了该题,并将它与另外两个可作定积分定义来求的极限问题放在一起.各色各样题解之类的书也都用定积分定义来求这个极限,使我感到有必要说几句话.     

例说n项和数列极限的几种求法

有限个数列和的极限一般可用"数列和的极限等于数列极限的和"的运算法则来计算,而对于n项和数列的极限不能采用和的运算法则.针对此问题,文中利用迫敛性、定积分、幂级数和函数性质以及Fourier级数和函数得到了求此类极限的方法.     

含有积分的一些极限问题的解法

在处理积分极限问题时 ,若将积分计算出来再求极限 ,有时候难以办到 ,如 ex2 、sinxx 、 cosx2等函数的原函数不能用初等函数表示 ,所以无法先积分再求极限 .实际上 ,往往也不需要如此 ,本文介绍几种处理此类问题的方法 .一、利用积分中值定理利用积分中值定理将积分号去掉 ,然后再求极限 ,这是一种常用方法 .例 1　求 limn→∞∫n ansinxx dx　 (a >0 ) .解　因 sinxx 在 [n,n a]连续 ,故依积分中值定理 ,存在ξn ∈ [n,n a],使得limn→∞∫n ansinxx dx =limn→∞ (a .sinξnξn) =limξn→∞ (a .sinξnξn) =0 .　　例 2　设函数 …     

关于n重积分对称性的一点思考

本文从多维度的视角通过定义n维空间两个点的对称以及两个集合(区域)的对称，把奇偶函数在对称区间求定积分的性质推广到了n维空间求n重积分，对定积分、重积分对称性计算公式在形式上进行了统一.利于n重积分的简便、快捷、正确计算.     

一道全国大学生数学竞赛决赛题的推广

解答一道全国大学生数学竞赛非数学类决赛试题,该试题涉及微分方程,定积分及一元函数求极限.针对以积分形式表示的函数求极限问题,将定义在[0,1]区间上特定的被积函数分别推广到单调连续函数、连续函数及[-1,1]区间上的连续函数这三种形式.利用夹逼准则、连续函数的定义及反常积分一致收敛的性质可证推广命题成立.     

一类和式极限问题的初等解法及推广

在高等数学学习中 ,我们求和式极限 :limn→∞ Σni=1fi( n)的途径大致有这么几种 :( 1 )先求和 :Σni=1fi( n) ,再求极限 ;( 2 )利用夹逼准则 ;( 3 )利用定积分的定义 ,把和式极限表示成定积分 ,通过计算定积分 ,求得和式的极限 ;( 4)综合运用 ( 1 )、( 2 )、( 3 )求出和式的极限。现在 ,我们考虑如下一类和式的极限问题 :例 1　求 limn→∞sin πnn+1 +sin2πnn+12+… +sinπn+1n;例 2　求 limn→∞cosπ2 n2 n+12+cos2π2 n2 n+14+… +cosπ22 n+12 n;例 3　求 limn→∞sin πnn+1n+sin2πnn+1n2+… +sinπn+1nn.当然 ,与此类似的题目 ,…     

lim(n→∞) sum from i=1 to n g(,n)的讨论

<正> 关于的计算问题,通常采用夹心法及化为定积分来计算。为对此类极限进行探讨,我们以如下特例考虑:     

关于一个积分不等式的证明

分别利用定积分的定义、Cauchy中值定理、积分变限函数、参数法以及二重积分等证明积分不等式∫01f2(x)dx≥∫01f(x)dx2,其中f(x)在闭区间[0,1]上连续.同时归纳出证明积分不等式的几种典型方法.     

n项和数列极限的若干求法及实例分析

文章从数列求和、夹逼准则、定积分的定义及幂级数的和函数等几个方面研究了n项和数列极限的求法，并分别对每种方法给出了对应的实例分析.     

微分学的几个重要概念

<正> 回顾连续函数部分,连续性是用极限定义的,间断和间断点的分类也是用极限的语言给出的.由极限的性质引进连续函数的性质.连续性作为极限过程它描述了函数在一点上变化的局部性质.在有界闭区间上连续的函数,具有有趣的总体性质.这些性质出自更深层次的极限理论.     

谈谈黎曼积分

数学史上,第一个提出用分割区间作和式的极限来定义积分的要推柯西。他考察的积分对象是在[a,b]上的连续函数,并用连续函数的中值性质来推导积分的存在性。(他还提出用极限来定义函数在无界区域上的积分以及函数具有瑕点的积分)。     

一类定积分的计算

对于一类在积分区间上除可数个点外处处连续的函数求定积分的问题，可将其转化为有关各连续子区间上的原函数的级数得到解决。     

高等数学中的逆向思维

逆向思维的基本特点是 :从已有思路的相反方向去思考问题 .如 ,考虑使用间接方法 ,考虑逆推 ,考虑研究逆命题 ,考虑问题的不可能性 ,等 .它有利于克服思维定势的保守性 ,常常可帮助人们寻求新的思路、新的方法 ,开拓新的知识领域 ,在高等数学教学中 ,不少内容都可以用来培养学生的逆向思维能力 ,作者在工科高等数学教学实践中曾对这一问题作过探讨 ,以下我们将从几个主要方面来说明这一问题 .1　利用定义的可逆性(1 )利用定积分的定义求极限例 1　设 ｆ(ｘ)在 [0 ,1 ]上连续 ,且 ｆ(ｘ) >0 ,求极限ｌ=ｌｉｍｎ→∞ ｆ(1ｎ) ｆ(2ｎ)…ｆ(ｎ -…     

关于数列{Γ(n+1/2)/√nΓ(n/2)}+∞n=1的极限

用单调有界定理证明了数列{Γ(n+1/2)/√nΓ(n/2)}+∞n=1的奇子列和偶子列极限的存在性,并给出了该数列的极限为1/√2.本文所得结果对帮助学生更好理解概率统计论中t分布密度函数的极限函数的证明有一定指导作用.     

概率方法在分析中的若干应用

用概率方法可解决解决数学分析中诸多问题,如证明不等式,求极限,求积分,求多重积分极限,求无穷级数的和,解决函数逼近问题.     

无穷级数在求极限中的应用

求极限的方法虽然很多，但有一些极限题目求解仍然很困难，例如极限式是连乘积或和式形式，极限式含有n！或n的指数项等。在学习了无穷级数后；我们可以用无穷级数理论来求某些数列和函数的极限，这些方法为求极限问题提供了一种新的解题思路。本文用例题说明这些方法的应用。一、利用级数收敛的必要条件来极限一个数列Un的极限不易求出，如能将此看成某级数的通项，而对此级数收敛性的判定又较容易，则可由级数收敛的必要条件得出这个数列的极限为零。这种思路曾用于证明函数e“、sinx等幂级数展式中余项是趋于零的。对那些含有n！项、n的…     

用摄动方法求一类广义振荡积分的值

摄动方法中求定积分所定义的函数的渐进展开式的各种方法被用来求一类广义振荡积分的近似值 ,而且多数情况下得到的是精确值     

一类曲面积分的解法

本文对定义在柱面上的一类函数给出了用定积分求曲面积分的方法 ,并证明了方法的可行性 .     

一类函数列积分的性质

首先探讨了闭区间上非负连续函数列积分构成的数列极限问题,给出了极限值与函数最值有关的结论.然后利用此结论,研究了闭区间上非负连续函数列积分的第一积分中值定理"中间点"构成数列的单调性与敛散性,得到了一系列结论.     

定积分教学的新探索

学生在学习定积分时,都遇到了一个困难,那就是定积分的概念不好理解.因为定积分的概念作为极限,不同于通常的极限.然后,还要证明一些关于可积性的定理及有关性质,最后才能对一些初等积分进行计算.然而,我们可以试图先引进连续函数的定积分及其计算,从而再进一步推广定义一般函数的定积分,从特殊到一般.并且,还可把关于连续函数的定积分的内容分散到连续函数、函数的导数及不定积分等相关章节学习,并作为其直接的推论.这样,便于学生学习、分散理解及消化,最后再推广到一般的定积分的概念.