一个含参数根式不等式链

文[1]给出了如下含参数根式不等式： 定理1设ai∈R＋，i=1，2，…，n，且n∑i=1；=k，λ〉0，μ≥0。     

一个不等式的再改进及证明

文[1]给出了如下定理及其证明： 定理 设a1,a2,…,an∈R^＋,且a1＋a2＋…＋an=s,k∈N,k≥2，则有     

一个不等式的加强

法国LouisPasteur大学的MohammedAassila教授 ,在 1 998年 9月的CruxMathematicorumWithMathematicalMayhem杂志P30 4 上提出了一个初等的不等式 :设a、b、c>0 ,则 :1a( 1 +b) + 1b( 1 +c) + 1c( 1 +a) ≥ 31 +abc. ( 1 )笔者在仔细研读后 ,觉得不等式 ( 1 )虽然形式简洁 ,但左右两边不是齐次的 ,其实该不等式可以进一步加强为 :设a、b、c>0 ,则 :1a( 1 +b) + 1b( 1 +c) + 1c( 1 +a) ≥33 abc 1 + 3 abc . ( 2 )证明　设 3 abc=k(k >0 ) ,则abc=k3,故可设a=k·a2a1,b=k·a3a2,C=k·a1 a3(a1 、a2 、a3>0 )代入 ( 2 ) ,则只须证 :1k·a2…     

一个不等式的另一简证

定理 设a1，a2,…，an∈R^＋且a1＋a2＋…＋an=S，k≤0，则有a1^k/S-a1＋a2^k/S-a2＋…an^k/S-an≥Sn^k-1/（n-1）n^k-2,当且仅当a1=a2=…=an时取等号．     

关于Hilbert不等式及其应用

设a,b为任意复数,证明了如下的不等式:其中A=A(a,b)为一实数。此不等式显然为Hilber不等式有意义的改进。 若b=a,则上述不等式中可取。应用此结果,立即得到Fejer-Riesz型不等式。     

Kantorovich不等式的几个推广的矩阵形式

Kantorovich inequalities are old results. In this paper we give several Kantorovich-type matrix inequalities.     

一个分式型不等式定理及其应用

引理　若xi∈R ,i=1,2,…,n,则1)　1nΣni=1xαi≥1nΣni=1xiα(α≥1或α<0)2)　1nΣni=1xαi≤1nΣni=1xiα(0<α<1)注　此引理可由琴生(Jensen)不等式推出.因篇幅有限,这里不再赘述,读者可参阅参考文献〔1〕和〔2〕.定理1　若ai、bi∈R ,i=1,2,…,n,γ≥2或γ<0,β>0,则Σni=1aribβi≥n1-r β.Σni=1airΣni=1biβ证明　由已知和柯西不等式,得Σni=1bβiΣni=1aribβi=Σni=1bβi2Σni=1aγibβi2≥Σni=1bβi.aγibβi2=Σni=1aγ2i2(1)由引理1)和2),得Σni=1aγ2i2≥n2-γΣni=1aiγ及Σni=1bβi-1≥n-1 βΣni=1bi-β(β≥1或0<β<…     

用二项式定理证明不等式

二项式定理应用很广泛 ,其中在证明幂不等式和组合不等式方面具有独特的作用 ,下面分类举例说明 :1　利用二项展开式进行放缩例 1　已知函数ｆ(ｘ) =2 ｘ- 12 2 1.证明 :对于任意不小于 3的自然数ｎ ,都有 ｆ(ｎ) >ｎｎ 1.证　当ｎ≥ 3时 ,ｆ(ｎ) >ｎｎ 1 1- 22 ｎ 1>1- 1ｎ 1 2 ｎ>2ｎ 1,∵ 2 ｎ=(1 1) ｎ=Ｃ0 ｎ Ｃ1ｎ Ｃ2 ｎ … Ｃｎ -1ｎ Ｃｎｎ>Ｃ0 ｎ Ｃ1ｎ Ｃｎ -1ｎ =1 ｎ Ｃ1ｎ=2ｎ 1,∴ ｆ(ｎ) >ｎｎ 1(ｎ≥ 3)成立 .注　对于 (1 ｘ) ｎ= ｎｋ =0 Ｃｋｎｘｋ 常利用整体大于它的部分产生不等关系 .例 2　求证Ｃｎ2ｎ -1…     

一个不等式猜想的推广及证明

在文 [1]中 ,宋庆、宋光在证明下面两个不等式 :若ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,则(ａ ｂ) (1ａ 1ｂ)≥ 4 4 (4 ｂａ -4 ａｂ) 2 (1)(ａ ｂ ｃ) (1ａ 1ｂ 1ｃ)≥ 9 6 [(6ｃｂ -6ｂｃ) 2 (6ａｃ -6ｃａ) 2 (6ｂａ -6ａｂ) 2 ](2 )后 ,提出了下面的猜想 :若ａｋ∈Ｒ (ｋ=1,2 ,… ,ｎ) ,则 ｎｋ =1 ａｋ ｎｋ =11ａｋ≥ｎ2 2ｎ 1≤ｉ <ｊ≤ｎ(2ｎ ａｊａｉ-2ｎ ａｉａｊ) 2(3)并作注 :采用上述“步步为营”的方法 ,可繁笨地证明ｎ =4,5等时 (3)式正确 .下面我们将不等式 (3)进行推广 ,得到了比不等式 (3)更强的结果 .定理 1　若ａｋ∈Ｒ (ｋ=1,…     

关于谢邦杰的一个定理的推广

本文采用[1]的术语.1978年,谢邦杰将著名的Hadamard不等式推广到四元数体上,即:设A=(a_ij)_n×n为四元数体上可中心化的非奇异矩阵,则等号成立当且仅当A的各行广义正交.本文给出关于四元数体上长方阵的不等式(2).当m=n,且A是可中心化的非奇异矩阵时,(2)式即为(1)式.     

某类泛函微分不等式的控制定理

在研究高阶泛函微分方程和泛函微分方程组的解的振动性问题时,往往将它们转化为判定一个一阶泛函微分不等式无最终正解的问题。因此,对它的定性研究很早就引起了人们的重视。文献[5、6]用不同的方法对多个离散时滞不等式研究了它与其相应的方程的关系,建立了比较定理。本文拟将建立具有连续分布变偏差的微分不等式     

关于一个不等式推广的商榷

关于一个不等式推广的商榷宋灵宇（甘肃平凉师范７４４０００）《数学通报》１９９６年第７期“一道不等式习题的推广”一文．作者将不等式（ａ＋ｂ２）２ａ２＋ｂ２２逐步推广，最后得到．命题１０设ａｉ∈Ｒ，Ａｉ∈Ｒ＋，且ｍｉ＝１Ａｉ１，（ｉ＝１，２，…，ｍ...     

一个不等式的推广、加强及应用

文[1 ] 给出了一个不等式 :2 (n + 1 - 1 ) <∑nk=11k<2n - 1 (n>1 )……(Ⅰ)本文对 (Ⅰ )式进行推广并且给出 (Ⅰ )式的一种加强形式 ,最后指出其应用 .定理 1 :已知 {an}为等差数列且a1 >0 ,公差d >0 ,则 2d(an+1 - a1 ) <∑nk=11ak<2d(an - a1 ) + 1a1.证 :因为a1 >0 ,d>0 ,所以 {an}为严格递增正数列 .因为ak - ak- 1 =dak+ak- 1>d2ak(k≥ 2 ) ,所以 1ak<2d(ak -ak- 1 ) . (A)又因为ak+1 - ak =dak+1 + ak2d(ak+1 -ak) . (B)由 (A)式知 ∑nk =11ak<1a1+ 2d[(a2 -a1 ) + ( a3- a2 ) +… + ( an- an- 1 ) ]=2d(an - a1 )…     

一个分式型不等式定理及其应用的注记

读《数学通报》2 0 0 0年第 6期《一个分式型不等式定理及其应用》一文 (以下简称原文 ) ,发现有以下三处错误应予修正 .1　原文定理 1的修正原文定理 1　若ａｉ、ｂｉ∈Ｒ ,ｉ =1 ,2 ,… ,ｎ ,γ≥ 2或γ <0 ,β>0 ,则∑ｎｉ=1ａγｉｂβｉ≥ｎ1 -γ β·∑ｎｉ=1ａｉγ∑ｎｉ=1ｂｉβ(1 )原文证明的不妥之处 :“ ∑ｎｉ=1ｂβｉ- 1 ≥ｎ- 1 β· ∑ｎｉ=1ｂｉ- β(β≥ 1或 0 <β <1 )” .其实 ,当ｂｉ>0 (ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ) ,β>1时应有∑ｎｉ=1ｂβｉ- 1 ≤ｎ- 1 β ∑ｎｉ=1ｂｉ- β.(1 )式反例 :在 (1 )式中令ｎ =2 ,ａ1 =1 ,ａ2 =8,…     

一个优美不等式的再推广

瓦西列夫不等式： 设n，b，c〉0，n＋b＋c=1，则a^2＋b/b＋c＋b^2＋c/c＋a＋c^2＋a/a＋b≥2.     

一类幂平均不等式的完善

设n≥2,n∈N,β>θ>0,a∈R_+~n,r∈R,M_r(a)为a的r次幂平均,将确定参数λ,使(G(a))~(1-λ)(Mβ(a))~λ≤M_θ(a)成立.此结果推广了一些已知结论.     

一类新的排序不等式

以微分中值定理为工具,建立了一类新的排序不等式,而经典的排序不等式仅是它的一个简单特例.     

拓扑型截口定理及应用*

本文给出一个新型的KKM定理,并用它得到拓扑型截口定理,在第四节至第五节应用此截口定理给出了Browder-Hartman-Stampacchia变分不等式[3].隐变分不等式[8],抽象形式变分不等式[19]的解的存在性定理,和一个集值映射的不动点定理。其结果不仅包含TBrowder[3]中的主要结果为特例,而且,改进和发展了引文[1～19]中的相应结果。