一个不等式猜想的证明

对于正数ai>0,i=1,2,…,n,k为给定的正整数,若∑ni=1ai=1,笔者在文[1]末提出了猜想:∏n-1i=1(1∑kj=1ai j-∑nj=k 1ai j)≥(nk kn-1)n(1)其中an i=ai(i=1,2,…,n-1),k为常数,且0相似文献   

一个猜想的证明

文 [1 ]提出了一个对称不等式 :已知x ,y ,z∈R+,且x+y+z=1 ,则( 1x -x) ( 1y -y) ( 1z -z) ≥ ( 83) 3 ( 1 )并在文末提出一个猜想 :设xi>0 ,i=1 ,2…n ,且 ni=1 xi=1 ,n≥ 3,则Πni=1 ( 1xi-xi) ≥ (n- 1n) n ( 3)本文将利用文 [2 ]中的结论 ,即下述引理 (审者注 :此引理由 [1 ]中定理 3,定理 4结合得出 )去证明这个猜想 .引理　设a 相似文献   

n元三次多项式不等式猜想的证明

猜想 [1]　设 x1,x2 ,… ,xn∈ R+ ,n为正整数 ,证明或否定 :n( n - 1 ) ∑ni=1x3 i + ( ∑ni=1xi) 3　≥ ( 2 n - 1 ) ∑ni=1xi∑ni=1x2i ( 1 )这是杨学枝老师近日提出的一个猜想 .经探讨发现 ,此猜想成立 .为证明 ( 1 )式成立 ,先给出如下引理 .引理 1　 x1,x2 ,… ,xn∈ R,n为正整数 ,则( ∑ni=1xi) 3 =∑ni=1x3 i + 3∑i≠ jx2ixj+ 6 ∑1≤ i相似文献   

不等式研究成果集锦(17)

20 2　设 xi >0 ,i =1,2 ,… ,n,n≥ 2 ,∑ni= 1xi =1,记 Ek(x) =Ek(x1 ,x2 ,… ,xn) =∑1≤ i1 <… 0 )时 ,有Ek(1x1 - m,… ,1xn - m)≥ Ckn(n - m) k.(续铁权 .2 0 0 1,1)2 0 3　设 Ai >0 ,λk>0　 (i =1,2 ,… ,n;k = 1,2 ,… ,n) ,∑ni=1Ai ≤π,n∈ N.(1)若 0≤λ≤ 1,有C2n(1-λ21 λ2 ) 2 (λπ) 2 ≤ (n - 1 cosλπ) .∑nk= 1cos2 λAk - cosλπ(∑ni=1cosλAi) 2 ≤ C2n(λπ) 2 ,等号同时成立当且仅当λ=0 .(2 )若 0≤λ≤ 1,有4λ2 C2ncos2 λ2 π≤ (n - 1 cosλ…     

一类加强不等式的推广

本文给出了 n个正数 x1 ,x2 ,… ,xn 的如下不等式 :∏nk=1( xαk+x-αk )≥ ( Aαn( x) +A-αn ( x) ) n ,每个 xk≤ xα,∏nk=1( xαk+x-αk )≤ ( Aαn( x) +A-αn ( x) ) n ,每个 xk≥ e.其中 α>0 ,xα=[4α2 +1 +2 α]12α ,常数 e=2 .71 81 82 81 8… ,An( x) =1n∑nk=1xk.     

一个多元绝对值函数的最小值

对于函数F(x1,x2,…,xn)=|a1x1 a2x2 … anxn A|,由绝对值的意义知F(x1,x2,…,xn)≥0.特别,当ai,xi,A∈Z(i=1,2,…,n)时,该函数有更精确的下界,本文将给出这个结论.定理设F(x1,x2,…,xn)=|ni=1aixi A|,ai,xi,ki,A,m∈Z,(a1,a2,…,an)=d,ai=kid,(k1,k2,…,kn)=1,A=md r,0≤r相似文献   

一类“数学问题”的统一证法

文[1]给出了不等式:已知x,y,z∈R+,m∈N+.求证:x/mx+y+z+y/x+my+z+z/x+y+mz≤3/m+2. 文[2]给出了不等式:已知xi＞0(i=1,2,…n),k＜1,求证: n∑i=1 xi/x1+x2+…+xi-1+kxi+xi+1+…+xn≥n/n+k-1. 文[3]给出了不等式:设ai＞0(i=1,2,3,…,n),p∈R,q＞0,且n∑i=1ai=A,Si=pai+q(A一ai)＞0(i=1,2,…,n),求证:     

一类积式不等式新证

1引言文[1]提出了一个猜想:设xi>0(i=1,2,…,n),且ni=1xi=1,k∈N,则有ni=1(1xi-xi)≥(n-1n)n.文[2],[3],[5]用不同的方法给出了证明.文[5]还给出了一类积式不等式的证明方法,并在文末提出了如下猜想:设ai>0(i=1,2…,n),ni=1ai=1,k∈N,则有∏ni=1(1aik-aik)≥(nk-1nk)n.本文利用     

一道竞赛试题解法探究

例 1　 ( 1995年数学冬令营第五题 )设xi >0 ,∑ni =1xi=1(i =1,2 ,… ,n) ,求证 :∑ni =1xi1+ (x1+x2 +… +xi- 1)xi+xi+ 1+… +xn≤ π2 .证　令sinθi=∑ik =1xk ,θ0 =0 (i =1,2 ,… ,n) ( 0<θi≤ π2 ) ,则∑ni=1xi1+ (x1+x2 +… +xi - 1)xi+xi + 1+… +xn=∑ni =1sinθi-sinθi- 11+sinθi - 11-sinθi- 1=∑ni =12sin θi-θi - 12 cosθi+θi- 12cosθi - 1≤∑ni =12sinθi-θi - 12<∑ni =1(θi-θi - 1)=θn -θ0 =π2 .例 1的命制及解法均含有高等数学中的思想方法 ,为了说明问题 ,我们给出如下两个结论 .定理 1　设 f(x) 是区…     

关于n~(1/k)的不等式猜想的研讨

文 [1 ]给出了一个关于kn的不等式猜想 ,猜想的右侧不等式是 :正整数n ,k >1 ,则nk 2时 ,( 1 )式成立 .为证明上述结论 ,先给出两个引理引理 1　 [贝努利 (Bernoulli)不等式 ]若x >- 1且k是正整数 ,则 ( 1 +x) k≥ 1 +kx .等号当且仅当x =0时成立 .利用二项式定理易证引理 1 .引理 2 [2 ] 　若 - 1 相似文献   

连续函数的l凸性

在研究函数的性态时,笔者发现如下定义的l凸函数,它反映了函数中普遍存在的凸偏移现象.定义:设f(x)是定义在实数集D上的实值函数,常数l∈R,若对 xk∈M( D),pk≥ 0,k=1,2,…,n, (n∈N,n≥2),∑nk=1pk=1,都有f(∑ni=1pixi+l)≤∑ni=1pif(xi)则称f(x)为M上的l凸函数;当-f(x)为l凸函数时,称f(x)为M上的l凹函数.下面给出连续函数具有l凸性的两个判定定理:定理 1:设f(x)是定义在 [a,a+2l] (l>0)上的连续的增函数,则f(x)是 [a,a+l]上的l凹函数,也是[a+l,a+2l]上的(-l)凸函数.证明:设xi∈[a,a+l] (i=1,2,…,n),x1≤x2≤…≤xn,则xi+l∈[a+l,a…     

一类二次方程组的一个定理及其运用

定理　在方程组∑ni=1xi=A∑ni=1x2i=B中 ,A、B是实数 ,记Δ=n B-A2 .若 xi∈ R( i=1,2 ,… ,n) ,则Δ≥ 0 ,当且仅当x1 =x2 =… =xn=An时 Δ=0 .证明　 ∑1≤ i相似文献   

一个猜想不等式的推广及其简证

文[1]提出了一个猜想:设xi>0,i=1,2,…,n,且∑ni=1xi=1,n≥3,则∏ni=1(x1i-xi)≥(n-1n)n.(1)本文给出(1)的更一般形式,并加以证明.定理设xi>0,i=1,2,…,n,且∑ni=1xi=m,n≥3,m≤1,则∏ni=1(x1i-xi)≥(mn-nm)n.(2)证明1°n=3时,∏3i=1(x1i-xi)=(1-x12)(1x1-x2xx223)(1-x32)=x1x1     

两个代数不等式及应用

定理 1　对于 x ,y ,a ,b∈R ,则有　 (x -a) 2 + ( y -b) 2≥ (x2 + y2 -a2 +b2 ) 2 ( 1 )等号成立当且仅当x y =a b并且x与a同号 .证　将 ( 1 )左端减去右端得(x -a) 2 + ( y -b) 2 - (x2 + y2 -a2 +b2 ) 2=- 2 (ax +by) + 2 (x2 + y2 ) (a2 +b2 )≥ 0 (应用Cauchy不等式 ) .等号成立当且仅当x y =a b并且x与a同号 ,可见式 ( 1 )成立 .定理 2　对于 xi,yi∈R ,若当n≥ 2时存在x2 + y2 ≥∑ni=1xi2 + yi2 ,则有(x -∑ni=1xi) 2 + ( y -∑ni=1yi) 2　≥ (x2 + y2 -∑ni=1xi2 + yi2 ) 2 ( 2 )等号成立当且仅当 x1y1=x2y2=… =xnyn=xy 且x…     

一个不等式的推广

本刊文[1]给出如下姊妹不等式:若a,b,c是正数,且a b c=1,则有1b c-ac 1a-ba 1b-c≥673(1)当且仅当a=b=c=31时取等号.1b c ac 1a ba1 b c≥1613(2)当且仅当a=b=c=31时取等号.不等式(1)可改写为:11-a-a1-1b-b1-1c-c≥673(3)当且仅当a=b=c=31时取等号.本文将把不等式(3)推广为:命题设xi>0(i=1,2,…,n),∑ni=1xi=1,则∏ni=1(1-1xi-xi)≥(n-n1-1n)n(4)当且仅当x1=x2=…=xn=1n时等号成立.引理设f″(x)>0,则1n∑ni=1f(xi)≥f(1ni∑=n1xi)(5)此即著名的Jesen不等式.下面给出(4)式的证明.证设y=f(x)=ln(1-1x-x)(0相似文献   

不等式研究成果集锦(15)

178　设 xi>0 ,yi>0 (i=1 ,2 ,… ,n,n≥2 ) ,实数 p≥ 2 ,如果 ∑ni=2x2i ≤ x21,∑ni=2y2i ≤ y21,那么[(xp1- ∑ni=2xpi) (yp1- ∑ni=2xpi) ]1p ≥ x1y1-∑ni=2xiyi- ∑ni=2|y1xi- x1yi|,当且仅当 p =2 ,x1y1= x2y2=… =xnyn时取等号 .(文家金 .2 0 0 0 ,5～ 6)1 79　设 b1,b2 ,… ,bn是实数 ,而 a1≥ a2 ≥…≥ an >0 ,又设 ∑kj=1aj≤ ∑kj=1bj(k=1 ,2 ,… ,n- 1 ) .∑nj=1aj ≥ ∑nj=1bj,则当 0

相似文献   

对《一个猜想的证明》一文的商榷

文 [1 ]提出了一个猜想 :设xi>0 ,i=1 ,2 ,… ,n ,且 ∑ni=1xi=1 ,n≥ 3,则　∏ni=11xi-xi ≥n - 1nn ( 1 )文 [2 ]利用下述引理“设a相似文献   

一道不等式试题的再推广

题目　给定正数a ,b ,c ,d ,证明 :a3 b3 c3a b c b3 c3 d3b c d c3 d3 a3c d a d3 a3 b3d a b　≥a2 b2 c2 d2 ( 1 )(美国大学生竞赛试题 )文 [1 ]探讨了这道不等式试题的背景 ,并将其推广为 :设xi∈R (i =1 ,2 ,… ,n) ,记Sn= ni=1xin 1,Gn= ni=1xi,Tn= ni=1xin,则　 Sn-x1n 1Gn-x1 Sn-x2 n 1Gn-x2 … Sn-xnn 1Gn-xn ≥Tn ( 2本文将把 ( 2 )式进一步推广为 :命题　设α ,β∈R ,且 β(α - β) >0 ,xi∈R (i=1 ,2 ,… ,n) ,则x2 α x3 α … xnαx2 β x3 β … xnβ x1α x3 α … xnαx…     

不等式a~2/b≥2a-b(b&gt;0)的变式

高中《代数》下册给出的二元均值不等式是 :如果 a、b∈ R,那么　　　　 a2 +b2≥ 2 ab 1当且仅当 a =b时取“=”号 .此不等式可变形为 :定理　如果 a∈ R,b∈ R+,那么　　　　　　 a2b ≥ 2 a - b. 2当且仅当 a =b时取“=”号 .下面谈谈对不等式 2的思考 .变式 1　不等式 2的特征是左边是商式 ,右边是差式 ,即不等式从左到右的“缩小”过程是一个“裂项”的过程 ,在此我们不妨把不等式 2叫做裂项不等式 .如果结合数列中裂项—叠加求和的方法 ,那么可以编拟许多不等式的题目 .在不等式 2中 ,若分别用 xi 代 a,xi+1代 b,i = 1,2 ,… ,n.其中 xn+1=x1,则有x21x2≥ 2 x1- x2 ,x22x3≥ 2 x2 - x3,… ,x2nx1≥ 2 xn - x1,相加可得　　 x21x2 +x22x3+… +x2n- 1xn +x2nx1≥ x1+x2 +… +xn.这样得到 :题 1　如果 x1,x2 ,… ,xn都是正数 ,那么x21x2 +x22x3+… +x2n- 1xn +x2nx1≥ x1+x2 +… +xn.这是一道 1...     

幂不等式及其应用

定理:设p、q、x、y是正数,则px qy≥(p q)xp pqyp qq,当且仅当x=y时等号成立.证明:因为lgx是上凸函数,由琴生不等式得lgppx qqy≥plgpx qqlgy,整理即可得证.推广:设ai,xi∈R (i=1,2,…,n),s=∑ni=1ai,则∑ni=1aixi≥s∏ni=1xisai,当且仅当xi=xj时等号成立.一、证明轮换无理对称不等式1.设a,b是正数,求证:a a3b b b3a≥1证明:设a a3b≥kana nbn(k>0),则(1-k2)a2n 2(ab)n b2n≥3k2ba2n-1(1)由幂不等式,上式的左边≥(4-k2)a2n(41--kk22)(ab)42-nk2b42-nk2=(4-k2)a2n4(2--k2k2)b44-nk2(2)令(1)(2)式的右边相等,解得k=1n=43,所以a a3b≥a43a 4…