一道奥林匹克试题再探

2004西部数学奥林匹克试题第三题为:求所有的实数k,使得不等式a3 b3 c3 d3 1≥k(a b c d)对任意a,b,c,d∈[-1, ∞)都成立.文[1]给出它的解为k=34,从而上题可改叙如下:定理1对于任意a,b,c,d∈[-1, ∞),有a3 b3 c3 d3 1≥34(a b c d).进一步研究,又可得到如下的几个定理:定理2设k     

2014年全国高中数学联赛加试第一题及其“根”的探究

一、赛题的"根"2014年全国高中数学联赛A卷加试第一题(以下简称"赛题"):设实数a,b,c满足a+b+c=1,abc>0,求证:bc+ca+ab<1/4+(abc)(1/2)/2.(1)看赛题,笔者自然而然回想起了文1所述的一道竞赛题:(2010年全国高中数学联赛广东预赛第3题,以下简称"试题")设非负实数a,b,c满足a+b+c=1,求证:bc+     

巧放缩 求最值

2013年全国高中数学联赛湖北省预赛二年级卷第10题是：已知a,b,C,d∈[-＋∞],且a＋b＋c＋d=0,则a6＋6c＋cd的大值为_____。     

用函数思想辨析两道姐妹题

1问题引出 题1（2008年天津文科10）设a〉1,若对于任意x∈[a,2a],都有y∈[a,a^2]满足方程logax＋logay=3,这时a的取值的集合为（）     

等差和等比中项性质的另类应用

<正>等差中项和等比中项是数列的两个重要概念,分别有如下性质:1 b是a、c的等差中项2b=a+c;2 b是a、c的等比中项b2=a·c(b≠0).在题设条件具有"2b=a+c"或"b2=a·c"结构特征的一些非数列问题,利用上述性质来处理,新颖独特,别具一格.一、在代数求值中的应用例1已知a>b>1且logab+logba=(10)/3,     

一道全国高中数学联赛试题的简单解法

2002年全国高中数学联赛第二试第二题是: "实数a、b、c和正数λ,使得f(x)=x3 ax2 bx c有三个实根x1、x2、x3,且满足:     

第1714题的正确解答

数学通报等1714题:[1] 已知a,b,c∈R 且a b c=1,求征: a/b c2 b/c a2 c/a b2≥9/4.     

一道不等式题的多种解法及推广

题目:实数a,b,满足a2+b2=1,若c>a+b恒成立,求c的取值范围.解法1:三角换元法设a=cosα,b=sina,a∈[0,2π],则a+b=cosα+sinα=√2sin(a+π/4)……     

一组优美的不等式

俄罗斯杂志《中学数学》每期都有“新题”的专栏.笔者从2004年和2005年《中学数学》杂志中选择了若干有关不等式的新题,并给出了解法.这些新题大多具有优美的结构,并能用巧妙的方法进行解答,在数学教学中有较大的参考价值.题后括号内注明了该题的命题者.1设a,b,c>0,证明不等式(a b)(a c)>abc(a b c).(贝·伊·卡斯开维奇)证(a b)(a c)=a2 ab ac bc>ab ac bc=(ab ac bc)2=a2b2 a2c2 b2c2 2abc(a b c)>abc(a b c).2设a,b,c,d>0,证明不等式(ab cd)(ad bc)(a c)(b d)≥abcd.(阿·贝·斯米尔诺夫)证不影响结论的一般性,可认为ab cd≥ad bc,而此时…     

对一个由等式转向不等式问题的剖析

曾见这样一题:已知a、b、c∈R,a+b+c= 1.a2+b2+c2=1,求a的取值范围. 分析 这是一道由已知是"等式关系"推 导出"不等式范围"的问题,解题思路的寻找就 是构架起由已知通向未知的桥梁.由等式转向 不等式主要有三种方式:(1)△法(一元二次方 程有实根) (2)基本不等式法 (3)几何位 置关系法. 剖析1 用△法来解题:即△式子是一个关 于a的不等式,因此要构造一个系数有a的一元 二次方程,怎样去构造呢?由已知等式构造一个 b,c是方程两根的一元二次方程,由已知可得b +c=1-a,bc=a2-a,所以可得一元二次方程 x2-(1-a)x+a2-a=0,因此由△≥0得(1-     

一道初中几何题与国内外竞赛题

题1　在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4,求证:1a=1b 1c.这是一道常见的平面几何题,证法如下:延长CB到D,使BD=c,∴　∠D=∠BAD,　　∠CBA=2∠D.∵　∠CBA=2∠CAB,　∴　∠CAB=∠D.∵　∠C公共,　∴　△CAB∽△CDA,∴　CACD=CBCA,　即　ba c=ab,则有　　　　　　b2-a2=ac,(1)同理可证　　　c2-b2=ba.(2)(1) (2)得　c2=ac ab a2=a(a b c),∴　1a=a b cc2=a bc2 1c=a bab b2 1c,∴　　　　1a=1b 1c.(3)下面把题1引申,由于(1)式的证明步步可逆,立得　　题2　在△ABC中,若b2-a2=ac,则∠B=2∠A.由(3)式得　　　　bc=ac ab,(4)(…     

简解一道高考题

大纲卷高考题(2011.重庆.文.15)若实数a,b,c满足2a+2b=2a+b,2a+2b+2c=2a+b+c,则c的最大值是.(答案:2-log23.)简解设x=2a,y=2b,z=2c,得该题等价于"已知正实数x,y,z满足x+y=xy,x+y+z=xyz,求z的最大值".由"正实数x,y,z满足x+y=xy"及     

一个数列通项公式的多种求法

《中学生数学》2003年12月上期高一课外练习中,有这样一题:已知函数f(x)=-2x 2,x∈[0.5,1],设f(x)的反函数为y=g(x),a1=1,a2=g(a1),…,an=g(an-1),求数列{an)的通项公式. 由于g(x)=1-1/2x,此题实质上就是:已知a1=1,an=1-1/2a-1,求an. 我在解答这一题时,是依次求出{an}的前     

一个四元不等式猜想的构造证明

2004年第16届亚太地区数学奥林匹克试题第5题[1-2]的内容为:证明:对于任意正实数a,b,c,均有(a2+2)(b2+2)(c2+2)≥9(ab+bc+ca).     

两个不等式的统一推广与应用

2004年第16届亚太地区数学奥林匹克试题第5题[1]的内容为 证明:对任意正实数a,b,c,均有 (a2 2)(b2 2)(c2 2)≥9(ab bc ca)     

两个简单不等式的应用

我们知道对于a,b,c∈R有a2 b2≥2ab, b2 c2≥2bc,c2 a2≥2ca以上三式相加得:结论1 a2 b2 c2≥ab bc ca．等号当且仅当a=b=c时成立．上述不等式虽简单,但在竞赛中却占有很重要的地位．很多赛题若能巧妙的引用此结论往往给问题带来巧解、别解．     

一道函数竞赛题的另解及探讨

第五届“创新杯”全国数学邀请赛（复试）高二年级试题的第19题为： 已知二次函数f（x）=ax^2＋bx＋c，若对一切x∈[-1，1]，有｜f（x）｜≤1，求证： 1）x∈[-1，1]时，｜2ax＋b｜≤4； 2）x∈[-1，1]时，｜cx^2-bx＋a｜≤2．     

对一道IMO试题的发散性研究

1赛题与启示 第24届IMO试题: 设a,b,c是三角形的边长,试证a2b(a-b) b2c(b-c) c2a(c-a)≥0(1)     

一个新的加强的不等式——一道国际竞赛题的推广

第六届IMO第2题,是一道耐人寻味的问题,即证明a~2(b+c-a)+b~2(c+a-b)+c~2(a+b—c)≤3abc.原题还要求a、b、C能构成一个三角形,而事实上条件还可以放宽,即只需a、b、c≥0即可.现在当然还看不出它有何奥妙之处,田延彦把这个不等式转化为一个完全等价的形式:     

两个不等式的统一推广与应用

2004年第16届亚太地区数学奥林匹克试题第5题[1]的内容为证明:对任意正实数a,b,c,均有(a2 2)(b2 2)(c2 2)≥9(ab bc ca)(1)而2004年美国第33届数学奥林匹克试题第5题[2]的证明包含下列不等式(a3 2)(b3 2)(c3 2)≥(a b c)3(2)其中a,b,c∈R .本文对此类不等式进行了统一推广,构造了一个含有三个参数的不等式,并且给出了一些重要应用(推论).定理对于a,b,c∈R ,λ,μ,γ∈R ,n∈R ,则有(1λa3 2n)(1μb3 2n)(1γc3 2n)≥3n2(a b c)3λ μ γ(3)为证明定理需要引用两个引理.引理1对于a,b,c∈R ,n∈R ,有(a3 2n)(b3 2n)(c3 2n)≥3n2(a3/2 b3/2 …