完善一道平几极值题的解法

题:要在一平直河岸l上建一抽水站P,供应l同侧两居民点A、B用水,试问站址P应选在l上的什么地方才能使铺设的水管总长最短(不考虑V形路径)? 这是一道著名的几何极值问题,在一般书刊上出现的解法大致是:     

从特殊到一般的一个数学探究案例

在一次课堂上完成了对题目“设直线l:y=x b和抛物线C:y=41x2,当抛物线C上存在关于直线l的对称点时,确定实数b的取值范围”的求解并获得结论:{b b>3}之后,善于思考的学生提出:对于直线l:y=kx b和抛物线C:x2=4y,k,b满足什么条件时,抛物线C上一定存在关于直线l的对称点?教师认为这     

关于Менъшов一定理的简单证明

本文利用了Valleé-Poussin引出的集合序列的上极限概念非常间潔地证明了Менъшов如下的一个定理:定理设{f_n(x)}n=1,2,…是定义在[α,b]上殆遍有限的可测函数列,又设F(x)是它的一个度量上极限,那末在[α,b]上殆遍成立着如下的不等式:     

基本加减法口诀、课堂教学例题及练习

一、直接的加和直接的减 1、直接的加:A、口诀:一上1、二上2、三上3、四上4、五上5、六上6、七上7、八上8九上9。 B、口诀解释;第一个数字表示要加上的加数。“上”字表示拨算珠靠梁,第二个数字表示在本档拨上的上下珠     

数的概念的发展

编者按:李邦河院士于2009年4月中国数学会厦门学术年会上荣获"华罗庚数学奖".本文是李院士在这次年会上所做的公众报告,他在报告中谈到一个重要的思想:数学玩的是概念,而不是纯粹的技巧.因为中小学数学里面的概念比较少,所以就在一些难题、技巧上下功夫,这恰恰是舍本逐末的做法,值得所有的数学教育工作者深思.     

微分中值定理的巧用

一定理:1°洛尔定理:若函数f(x)在[a,b]上连续;在(a,b)上可微且f(a)=f(b)=0,则存在ξ∈(a,b)使,f′(ξ)=0。 2°Cauchy定理:若函数f(x)及g(x)在     

体上线性映射的子空间的维数及其应用

本文给出体上左向量空间的线性映射的某些子空间的维数恒等式,并讨论了它在体上矩阵秩的理论上的应用,其中一个有趣的应用是,由体上矩阵秩的恒等式来刻划体上某些矩阵的特征性质。 以下设Ω是一个体。对Ω上左向量空间V映入Ω上左向量空间V′的线性映射σ:V V~σ,记σ的核空间为:     

追本溯源话是非

在一节高三复习课上,遇到下面一题: 圆x2+y2=a2交抛物线y=x2于A、B两点,O为坐标原点,且OA⊥OB,则a等于___. 不少学生填写的答案是不存在.讲评课上,我要求学生把过程板演在黑板上.结果如下:     

Sylvester问题的对偶命题及证明

1893年,英国数学家J.J.Sylvester(1814—1897)在《教育时报》(Educational Times)杂志上提出了如下问题:Sylvester问题:证明不可能在平面上放有限个点,使得每一条过其中任意两点的直线都经过第三点,除非这些点全在同一条直线上.(Prove that it isnot possible to arrange any f     

留个缺口给别人

一位著名企业家在作报告,一名听众问道:"你在事业上取得了巨大的成功,对你来说,最重要的是什么?"企业家没有直接回答,他拿起粉笔在黑板上画了一个圈,但没有画圆满,而是留下了一个缺口.他问道:"这是什么?"     

对一道课本习题的探究

人教版课标教材八年级上册第158页有一个习题:在纸上画五个点,使任意三点组成的三角形都是等腰三角形,这五个点应该怎样画? 教学参考书上给出的结果如图:     

对一个用料最省问题的探讨

文 [1 ]讨论了用矩形剪切扇形如何用料最省的问题 ,本文拟研究其对偶问题 :如何用扇形的材料剪切出一个面积最大的矩形 ?设扇形的半径为Ｒ ,圆心角为α( 0 <α≤π) ,则问题等价于求其面积最大的内接矩形 .为了便于讨论 ,先说明一个事实 :圆心角在 0～π间的扇形 ,其内接矩形的位置只有两类 .第一类 :矩形的两个顶点在圆弧上 ,另两个顶点分别在扇形的两条半径上 ,即矩形关于扇形的对称轴对称 (图 1 ) ;第二类 :矩形的两个顶点在扇形的同一条半径上 ,另两个顶点分别在圆弧及另一条半径上 (图 2 ) (可以用平面几何知识证明这一事实 ,限于篇幅 …     

产品在不同市场中的定价

实际问题:一个垄断厂商生产的产品在一个分割的市场上出售,那么该厂商应如何制定产品的价格,使得其所获利润最大. 在日常生活中常见的事例有:汽车制造商在出口市场上的销售价格往往低于在国内市场销售的价格;电力公司把居民用电和商业用电、     

关于“问题征解”的解答

《数学学习》1990年第一期上刊登有“问题征解”一则:若u在有界闭区域D上连续,在D内部有一、二阶偏导数,满足且u在D边界上之值为0.试证u在D上只恒为0.     

关于三棱锥顶点在底面上射影的位置

在解决三棱锥的问题时,常常要作三棱锥的高。只要抓住了其垂足在底面上的位置,问题就较易解决。因此掌握在各种条件下的三棱锥顶点在底面上射影的位置是解决有关三棱锥问题的关键。现分以下几种情形讨论: 一、(如图):三棱锥P-ABC,当三条侧棱PA=PB=PC时,则顶点P在底面上射影点O为△ABC的外心。     

函数中几个易混问题的辨析

在函数学习中,我们经常会遇到一些形似而质异的易混问题,如不认真审题,仔细辨析,就难免使解题出现方法上的错误,现例析如下:一、定义域与有意义例1.已知函数f(x)=lg(4xa 2x 1)在(-∞,1)上有意义,求实数a的取值范围.解:函数f(x)在(-∞,1)上有意义,则不等式4xa 2x 1>0的解集包含(-∞,1),从而转化为在(-∞,1)上a>-[(21)x (41)x]恒成立,又由于g(x)=-[(21)x (14)x]在(-∞,1)上是增函数(应注意在(-∞,1)上并不能取到最大值),所以a≥-[(21) (14)]=-43为所求.辨析:若将题中“在(-∞,1)上有意义”改为“定义域为(-∞,1)”,则解答中应有:4xa 2x 1>0的…     

三角形的垂心的几个性质

文[1]介绍了三角形的垂心的如下性质:定理1三角形的垂心关于三边的对称点在这个三角形的外接圆上.本文以此为基础,提出如下性质:定理2三角形的垂心关于各边中点的对称点在三角形的外接圆上,且以这三个对称点为顶点的三角形与原三角形关于圆心中心对称.用符号语言表达即为:     

等腰三角形一条性质的多种证明与拓展

等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离和等于一腰上的高.已知:如图1,在△ABC中,AB=AC,点P是边BC上任意一点,     

数学教学与现代信息技术的整合课例--动点间距离最小值的探索

课堂实录 :画面 :海洋、小岛、海岸线 .画外音 :这是一座美丽的小岛 ,岛上各种资源非常丰富 ,为了开发利用 ,在海岸线上需要建造码头 ,如果不考虑其它因素 ,为确保小岛与码头的距离最短 ,那么码头应选在何处 ?(画面 :从小岛指向码头缓慢划出一道航线 ) .(分组讨论 )生 1 :我们认为 ,这是平面上一点到给定曲线上一动点的距离的最小值问题 ,它一定存在 ,但还看不出点P的特征 (图 1 )生 2 :老师 ,我们能否先考虑海岸线是直线 ,若是直线 ,则当AP垂直直线a时 ,AP最短 (图 2 ) ;再考虑海岸线是圆弧 ,则当AP延长线过圆心O图 3时 ,AP最短 (图 3)…     

遇到“中点”首先想到的

“中点”是几何题中经常出现的条件.在分析过程中,遇到“中点”我们首先想到的是: 一、遇到直角三角形斜边的中点,首先想到直角三角形斜边上的中线定理 例1 己知:如A图1,在△ABC中,∠B=2∠C,AD 是BC上的高,M是BC的中点,N是AC的中点. 求证:MD=MN. 证明连结DN.∵AD是BC上的高,N是AC的中点. ∴ DN=1/2AC=NC(直角三角形斜边上的中线定理),∴∠1=∠C.