三法破解一道几何计算难题

<正>1原题呈现如图1,正方形ABG CD被两垂直的线段EF,GH分割成四个小矩形,P是EF和GH的交点.若矩形PFCH的面积恰好是矩形AGPE面积的2倍,则∠HAF=____.2利用图形的特殊情况,先求出∠HAF的值分析如图1,为计算方便,不妨取正方形的边长为6,且令E,F分别为AB,CD的中点,     

利用割补法 速解一习题

<正>贵刊2014年8月下课外初三练习题题目已知如图,正方形ABCD边长为2,从各边往外作等边三角形ABE、BCF、CDG、DAH,求四边形AFGD的面积.分析一眼看出割△FCG填补△ABF,则所求四边形面积等于     

“通法”虽好 “变”则更通——一道道模拟题引发的探究课与反思

题1 (2012温州二模)如图1,过点A(-1,0)的直线与抛物线y2=4x交于B,C两点,过点P(1,1)的直线交抛物线于另一点D,试问:直线CD是否过定点?若是,求出该定点;若不是,请说明理由. 题1是近期数学复习资料中的一道例题,选自温州第二次模拟考试卷,出乎意料的是做对的学生寥寥无几,不少学生一筹莫展,这引起笔者的思考.圆锥曲线中的定值问题是近几年高考中的热点题型.一般是在一些动态事物(如动点、动直线、动弦、动角、动圆、动三角形、动轨迹等)中,寻找某一个不变量即定值,由于这类问题涉及到的知识点多、覆盖面广、综合性强,因此,解题过程中应注重解题策略,要善于在动的"变"中寻求定值的"不变"性,常用特殊探索法(特殊值、特殊位置、特殊图形等)先确定出定值,再转化为有方向有目标的一般性证明题,从而达到问题的解决,而这种特殊探索法在求定值问题中往往是不可或缺的.笔者从课堂教学案例出发,对高三数学二轮复习做出思考.     

椭圆一性质的证法研究及推广应用

性质如图1,已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0),若直线l与椭圆相交于A,B,且OA上OB(O为坐标原点).则直线l与一个定圆相切. 1 解法探讨 解法1:根据椭圆的对称性以及△AOB绕原点旋转一圈都与椭圆有两个不同的交点,合理猜想所求定圆的圆心一定在原点,从而把问题转化为“原点到直线l的距离为定值”.     

特殊到一般 定值转定式——一道几何定值问题的探究思路及求解

<正>文[1]中的例4:如图1,设O是定圆的圆心,AB是直径,C是线段OA上的一动点,l是圆O的一条切线,设切点为D,过点C作l的垂线,垂足为E,当点C和切线变动时,求证(AC·BC+DC²)/CE为定值.所求定值式是一个复杂的分式,看似无从下手.解这一类问题的思路是,可以用动点的特殊位置对应图形猜出定值,然后再对一般的图形求解定值.     

几何定值题的参变量证法

几何定值问题是平面几何中的一个难点,难之所在,一是题设中某些几何量的任意可变性,给人一种不确定感;二是题断中定值究竞为何,是一个谜。通常的证法是,先由特殊情形探出定值,再证一般情形结论成立,若由题设中某些几何量的可变性,联想到代数中研究变量与常量的函数问题,则可考虑应用函数观点来处理几何定值问题,具体思路是:通过引入适当的几何变量x,利用几何定理、计算公式、三角法等,建立起所要研究的几何量y与变量x间的函数y=F(x),把问题转为研究、考察函数y=F(x)的值,是否与x无关,恒等于某一常数,下面略举数题说明。     

一道高考题的背景溯源

2005年上海春季高考有这样一道题:已知函数f(x)=x+xa的定义域为(0,+∞),且f(2)=2+22,设P是函数图像上的任意一点,过点P分别作直线y=x和y轴的垂线,垂足分别为M、N,(1)求a的值(2)问题|PM|·|PN|是否为定值,若是,则求出定值,若不是,则说明理由.(3)设O为坐标原点,求四边形OMPN的面积的最小值图一溯源我们知道:“双曲线上的任意一点到两渐近线的距离之积为定值”.与以上的命题是否有牵连?经探讨,答案是肯定的.即有以下的命题命题函数f(x)=x+xaa∈(0,+∞)的图像是双曲线图二证明设P(x,y)是函数f(x)=x+xa图像上的任意一点,将向量OP向顺时针…     

动点运动路线长求解

动点运动路线长求解,一般应先模拟运动方式判断动点运动的路线形状,然后根据相应图形形状进行求解计算.下面举例加以说明.一、圆弧型例1如图1,将边长为a的正方形ABCD沿直线L按顺时针方向翻滚,当正方形翻滚一周时,正方形的中心O所经过的路径长为多少?     

存在性问题的探索一例

<正>探索存在性问题往往以"是否存在""是否有"等疑问句出现,以示结论成立与否有待判断,且题目中往往接着有"若存在,找出它来;若不存在,请说明理由".解这类题目时,通常设出所求,含有未知数,根据所要求符合的条件进行推理计算.若能具体求出未知数,说明存在;若求不出未知数,矛盾无解,说明不存     

一道习题的延伸

旋转既可以表示物体(图形)运动的过程,也可以表示物体(图形)运动后最终的位置与原先位置的关系,在数学中被称为图形的一种变换.在学习旋转的过程中,同学们要主动参与实践操作去体验感受旋转的意义与旋转的特征,会从旋转的角度去思考有关图形的数学问题.下面让我们从一道习题的延伸过程去体验一下旋转中图形的形成过程.例1画一个三角形,使通过这个三角形的旋转得到一个正三角形,并指出这是一个什么三角形,旋转中心和每次旋转的角度,需要旋转多少次才能完成这个图形?①分析:这个题目给了我们一个由三角形制作正三角形的方法.②解:如图(1),给出…     

一类二次函数的运动与变化问题解析

在数学试卷中经常会遇到动态问题.常见的是在图形的运动和变化中探求定值、求最值,判断几何图形的特殊位置关系和数量关系以及建立函数模型.而近两年出现的求参数取值范围的试题引起了初中学生的关注,这类试题对学生的开放性思维品质、探究精神和创新能力是一个挑战.本文通过一例解析这类题目的解题方法.图1已知:直线y=kx-3交y轴于D点.记⊙T与y轴相切于D,与x轴相交于B,C两点,设过B,C,D三点的抛物线y=ax2+bx+c的顶点为H,且H在直线y=kx-3上.(1)请指出圆心T一定在哪条直线上运动?(2)请说明并求出过B,C,D三点的抛物线的顶点H的横坐标不可能在哪个范围内变化?(3)设点D、A关于x轴对称,记过A且平行于x轴的直线为l,当⊙T变化到与直线l正好相切时,试问,你能否求出此时的k值,若能,请求出k值;若不能,请说明理由.(4)设点D、A关于x轴对称,记过A且平行于x轴的直线为l,且G为l上位于第一象限内一点,AG=6.当过B、C、D三点的抛物线y=ax2+bx+c与线段AG有交点时,试问,你能否求出此时k的取值范围,若能,请求出这个范围;若不能,请说明理由.(此题为原创题)解析(1)∵⊙T切y轴于D,故...     

等腰直角三角形大比拼

<正>星期三下午第三节是活动课,数学兴趣小组的成员小明向其他成员说出了他的困惑:在爸爸为他购买的《智力大比拼》上看到这样一道题目:如图1所示,四边形ABCD、CDEF、EFHK均为边长相等的正方形,你能求出∠AFB+∠AHB的度数吗?小明绞尽脑汁,百思不得其解,他认为∠AFB和∠AHB都不是特殊角,无法求出它们的具体度数,因而也就无法求出这两个角的和.小明诚恳小组其他成员能够帮他解答.     

一道三角形最值题的多视角求解

<正>题目在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=2b,△ABC的面积为2,则边a的最小值为___.分析1本题是一道限制条件下的三角形最值问题,主要考查余弦定理和三角形面积问题,通常情况下求解本题从正余弦定理与三角形面积公式的解题视角入手,凭借已知条件确定所求量的关系式,然后根据所学知识采取相应的解题方法求出最值即可.     

一道平几题的多种证法

乘积转化为同一三角形二边的乘积。谊偏妹、一份 经过艺XOY的平分线上的一点A,线与OX及OY分别相交于p、Q。求证:等于定值。(提示:作AC//OY,交O尸于c,证明冬+熟二熟)。(」。。1年1月版初中《几何》洲O厂‘OQ OC‘’‘-一色一‘一’一““’第一册总复习题) 其实,我们引导学生从运动的角度考虑,选定图中可变动部分的特味位置来探索,题目中所 分析一同乘以OC,OC OC(1)两边只需证;二~十,一;:口厂七尽 如图2,利用等量代换以及相似三角形的·挤提示的定值晶是不难确定的。如图1,过滩作直线f’Q‘」_O且与OX及OY分别相交于尸、酬,则O…     

理科(21)题文科(22)题别解

试题已知常数a＞0,在矩形ABCD中,AB=4,BC=4a,O为AB中点,点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动,且(BE)/(BC)=(CF)/(CD)=(DG)/(DA),P为GE与OF的交点(如图8).问是否存在两个定点,使P到这两点的距离和为定值?若存在,求出这两点的坐标及此定值;若不存在请说明理由.     

在网格中求一个角的三角函数值的常用方法

<正>题目如图1,在边长相同的小正方形组成的网格中,点A、P、C、D、E、F都在这些小正方形的顶点上,AP的延长线交CD相交于点B,求sin∠CPB的值.解析求一个角的三角函数值一般有哪些方法?由三角函数不难联想到直角三角形.方法一构造一个所求角为内角的直角三角形.     

特殊化猜想 三角形求证

周成武老师的这篇文章很好.文章介绍的方法是"先猜后证"——先通过特殊情形猜出结果,再对一般情形进行证明.先猜:因为是对特殊情形(包括退化情形和极端情形),条件多了,容易得到结果;后证:因为有了明确的目标(具体定值),证明起来相对容易了.这种方法不仅对解决几何中的定值问题适用,而且对解决代数中的定值问题,同样也适用,是证明定值问题的一般方法.在一类平面几何探索性问题中,题目以开放型的形式出现,要求探索猜想出结论,然后再加以证明.将问题先作特殊化(又称退化或极端化)处理,即作特殊位置、特殊结构等处理,是探索结论的一条有效途径;对探索出的结论再用三角形证之.下面予以说明.     

江西省2005年中考数学试卷

一、填空题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)1.计算:(-2)×(-4)=2.如图,一轴对称图形画出了它的一半,请你以点画线为对称轴画出它的另一半.3.计算:-2a2 4a2=4.已知a<2,则(a-2)2=5.收音机刻度盘的波长l和频率f分别是用米(m)和千赫兹(kHz)为单位标刻的.波长l和频率f满足关系式f=300l000这说明波长越大,频率f就越6.若方程x2-m=0有整数根,则m的值可以是(只填一个)7.如图,在⊙O中,弦AB等于⊙O的半径,OC⊥AB交⊙O于C,则∠A BC=度8.如图,正方形ABCD中,AB=1,点P是对角线AC上的一点,分别以AP、PC为对角形作正方形,则两个小正方形的周长…     

思想碰撞闪烁智慧火花 方法交流展示思维风采

题目已知点C(1,0),点A,B是⊙O:x2+y2=9上任意两个不同的点,且满足AC·BC=0,设P为弦AB的中点.(Ⅰ)求点P的轨迹T的方程;(Ⅱ)试探究在轨迹T上是否存在这样的点:它到直线x=-1的距离恰好等于到点C的距离?若存在,求出这样的点的坐标;若不存在,说明理由.     

勾股定理验证方法赏析

同学们在学习了勾股定理的知识后,已经知道勾股定理是描述直角三角形三边之间数量关系的一个重要定理,体现了数与形的和谐统一,是数形结合思想的典范.课本上已经进行了生动的验证,下面再列举几种通俗易懂的验证方法,供同学们参考. 方法一:旋转法 用两个全等的直角三角形纸板拼成如图1(a),使两条直角边a、b在同一直线上.将△ABC绕着A点旋转到△AFG的位置,△BDE绕着E点旋转到△FHE的位置,由图1(b)中不难看出:由以b为边长的正方形与以a为边长的正方形面积之和等于以c为边长的正方形面积,从而得出a2+b2=c2.