对一道几何题的教学管见

全日制初中课本《几何》第一册尸:‘。页第24题: 经过匕XOY的平分线上一点A、任作一直线与O万及Oy分别相交于尸、口,求证 尸Q_l~尸Q_O尸’二二r气二尸-.-尸甲二一—‘份尸一~,-二甲.一—口尸.AQ m AQ爪‘‘命+命等于定值。此题附有提示:作AC// OY,交O尸于C, 上式表明,。即为尸Q、AQ、d尸的第四比例项,自然我们会想到过点A作AC//OY交O尸于C,则m”OC,因为乙XOy为定角,,当点才选定,则AC、OC均为定值,从而证明命+命一命.旨梦+命一品为定值。 这一提示,就使这个问题变得很简捷,证完之后,学生却不会因此而满足。因为这时仍然存在一…     

第五届全国中学生数学冬令营竞赛试题及解答

第一天 (1990年l月12日8:30一13:30) 一、如图,在凸四i互形月刀CD中,.4刀与CD不平行,圆O、过,4声目.与边CD相切于P,圆O:过C、D且与边月刀相切于Q,圆O:与圆O:相交于刀、厂。求证:石尸平分线段尸口的充分<令(附一刀d)(,Ic一耐)二0、艺一:(显然了、·“,·必要条件是刀C犷通D. 证:如图,设尸Q与石F相交于K,延长PQ交圆O孟于P,,延长口p交圆口2于口,,则刃K·K尸二尸人{.K尸, 二口K·K口,(1) <卜今,.J.O沙刀C 二、设二是一个白然数,若一串自然数厂。=l,x:、二2、…,二,一,,、‘二x,亨两足:‘一,<:‘,二‘一:J:‘,i=l,2,…,l,则称{二。…     

一个古典几何定理的推广

统编教材《几何》二册有题: 内接于圆的四边形A刀CD对角线月c与刀D垂直相交于K.过K的直线与边摊D、BC分别相交于H和M.那么 (1)’若‘万土乃D,则c材一对B; (2)若C脚=MB,则式H土_月D. 其中(l)是卜拉美古塔(7世纪印度数学家)定理. 由于△B‘‘为直角三角形,所以M为△仪服的外心,因此可作如下推广: 定理过圆内接四边形两对角线交点作任一边的垂线,必过以其对边为一边、以交点为一顶点的三角形的外心.悔 证明如图l,设圆内接四边形月刀‘刀对角线韶、BD相交于尸点,过p作直线PH土AB于H,作DP中垂线交IlP于口,交Dp于刀.我们来证明Q为△…     

二次曲线的一种作法

,椭卿对、-雾·,的作图夕一 由曲线关于坐标轴和坐标原点对称可知,只须作出二>。,百>砧勺点(x,妇。作法如下:取OA二a犷O刀二b,ON二x,作AS上OX,BR‘LOXNT上OX,以口为圆心OA为半径画弧交NT于几作尸兀_LOY,交As于Q,连OQ交BR于M,,作M’M上NT,对为垂足,则M为砰十y,_,石‘犷一上D‘上的点(劣,妇。 作法的根据如下:在直角△口尸对中,由勾┌──┐│一卫││琳 ││夕 │└──┘股定理得,pN“=O尸么一ON“=a“一护。由△OM尹B冈△O口过得,口A OA五万了石=J刀,又口月二PN,砂一rM,B二MN研;、;二到兰_,,,仍形刀艺OA旦OB么’即…     

一道范例的教法所得

例:已知:如图l,O以约半径为,、(’‘唾直一J几直径A丑弄疏是仪撇中点,弦Bl心几么点.求B加勺长. 解:‘.’〔丫)土AB一丁七以点材是(丫冶勺中点,则〔’O=BO=r’ OM二C对二会,BM二了厂十(会)“ 再=万一r. (图l)-ADB与△M〔)刀为,,△, 方法一:(利用比例线 段求值)连结几I>.易有△且△ADBo。△MOB于是有器一儡,…BD一竿,几(图2) 万法二:(利用相交弦定理求值)如图2,延长〔丫玫③口f及 …伽一音,.’.材E二普。由相交弦定理得: I)叼·几fB一〔几I.M乙、导D、一奈I.…BD一BM+MD一零;一十典拿 ‘1气少 4裤I一二.不一’几r.D (图3)=…     

三角形的密克点相关的两个结论

<正>密克定理如图1,设△ABC中,如果在BC,CA,AB的所在直线上分别取任意的一点X,Y,Z,那么☉AYZ,☉BXZ,☉CXY共点.证明因为☉BXZ和☉CXY相交一点X,所以它们一定相交于另一点,设为O.连结OX,OY,OZ,则∠AYO=∠CXO=∠BZO,这就说明A,Z,O,Y四点共圆.由此可知☉AYZ,☉BXZ,☉CXY都经过点O,即这三个圆共点.     

相交圆内接三角形的性质及应用

两圆相交于 A、D,过 D 任作割线分别交两圆于 B,C,我们称△ABC 为相交圆内接三角形.(见图1),相交圆内接三角形有下述三条性质.性质一相交圆内接三角形的三个内角均为定值.(证明略)这个性质揭示了相交圆内接三角形三内角的角度不变性,它对解决某类定值问题常常会有所启发.     

导数在证平几和解几题的应用

某些平面几何中的定值间题和平面解析JL何中的曲线系过定点问题,可利用导数知识求解。 例1从定弧A方上一点尸作尸口土OA、尸R土。,,口、R为垂足。则QR戈定值,并求出其定值。 证阴:如图、设匕AOB二白(定值、,连接O尸(定值少。又设止了,O刀二x(变量)且O簇:簇召,则匕AOP=8乙;O尺=OP eo:万,OQ=e、05(乡一丈)。在△。O斤中,口RZ二OP咨〔由余弦定理得eo:“x+eos忍(夕一尤)一Zco:xe己s(日一x)e乙:夕〕,令f(x)二QR“,则 f,(x),OP“〔一2 00 sx“i矛‘x+2:05(口一“):i”(口一x)+25玄林x‘云s(口一x)co:6一Zco sx:i”(8一x)eo:日〕二O…     

二倍角正切公式的一个几何推导

半径为‘一,切线刀万切于产阮|卜r|l卜.1.八vC,,下||旧、!‘l‘1 以O为圆心作半圆,圆于H点,过B作圆的另一切线刀C,交HO的延长线于C,切点为石(如图)。 设HC二人,刀H=刀刃二P,OH=O尸=场C刀=s,乙HBO二匕C方口二日,则匕HBC二又’:匕刀亡H公用,2夕…△C万O叻八CH几C万万OCH汀月_CO沛三=几 C刀~”hPh(h一了)/l一r百 P由此可得、了、7、1211Q山q合扮了、了‘、产r、s(s p)及sP二(2)一(1)得hr‘z=hZ一21乙于由(2)、(3)两式消去碍叮 尹二jlz一Zh:h=一竺一一 z一(二)2 夕两边同除以川毕 了 2(乡)1一(厂), P(一1) 一一心九一力占由图…     

角平分线的一个充要条件及其应用

定理:已知点P是角XOY内一点,过P的任意直线AB交OX于A,交OY于B,则OP是角XOY的平分线的充要条件是1/OA+1/OB为定值。证:(必要性)作PQ∥OA交OB于Q,则∠OPQ=∠AOP=∠BOP 故 OQ=QP= OP/2cos∠AOP为定     

平行四边形与平行六面体的两个性质

性质1若平行四边形的两条对角线长为定值且相交于点O,以O为圆心的圆半径为r,则该圆上任意一点与平行四边形各顶点连线的距离平方和为定值.证明如图1,不妨设AC=2a,DB=2b,则OA=OC=a,OB=OD=b,PO=r.     

一道中考试题的引伸

如图,是武汉市1987年的一道中考数学题巳知圆l).J接正六边形.通刀CD石F,P是,4F上 (’:匕E尸F十匕.峨PB二1 80。)P月+尸石P月+PF点~,P月+厂Cl)l]l—— j少_/了PC=2 X eos的值为___. 试题颇能启迪匕维,现加以探讨炸引仲出正多边形的一些性质和结论. 尸D2义1 80” 6注意到尸月+尸C PI兮一2·:。S‘{)。·可‘,。,1、如图2,尸是圆内接正三角形.组刀O扫.减C一上一点,则尽兴笠二2+尸C之P一月。.。。S塑里二z 3即尸且(猜想)若点P‘J汽.理近合,贝P_J+PC尸刀2、如图3,p是圆内接正方形.理BCD中月D侧互,若点尸一‘。点F乖合,4+尸C土一…     

不易发现的失误

(*)式不能用三角形任两边的和大于第三边,据用连结两点的线中线段最短这一重要性质。上述论证中,把“设PE交DD于F’’删去,(*)式改为邢 咫十ED>BD就完全正确了。 有这样一道几何题:△月刀c中,乙A=120。,p是△月zr内任一点,求证:PA PB 代,)月刀十AC。 一同学是这样证明的: 延长6A到D,使月刀=AC,乙BAC=1 200,…匕刀月口=600,:.△月C刀为等边三角形,…月C二摺。 以脚为一边向_,打尸五淤一、;图l上作正△尸C召,连DE,设PE交DD于F(如图l)。则彬二cE,AC~CD,匕尸口月=乙名‘刀,.,.△代悦望△召口刀,…PA二刀召, 丫产公十产孕,>那,护…     

欧拉不等式的加强式的几何意义

<正>本文探讨三角形的面积与其内切圆的一个内接六边形的面积之比,并由此得出欧拉不等式一种有趣加强式的几何意义,供同学们参考.命题如图,在任意△ABC中,若其内切圆的圆心为O,且它与三边的切点分别为P、Q、R,又设线段OA、OB、OC分别交内切圆于A1、B1、C1三点,△ABC的面积     

两圆相交的两条性质及应用

两圆相交为圆周角定理、圆内接四边形性质定理提供了用武之地.由此我们也获得了两相交圆的一系列重要性质.本文介绍其中的两条性质及应用的几个例子。下面的性质1及其推论也就是贵刊88年第5期中的《相交圆内接三角形的性质及应用》一文的三条性质.以一交点为一顶点,过另一交点的割线为对边的三角形叫两相交圆的内接三角形。性质1 相交两圆的内接三角形的三个内角均为定值.(如图1,△AEC为其内接三角形) 推论1 在相交两圆中,内接三角形都相似。推论2 在相交两圆中,若内接三角形的一边与公共弦垂直,则另两边必分别为两圆直     

2007年北京市中学生数学竞赛高一年级试题参考答案

一、选择题题号1 2 3 4 5答案B C A D A二、坡空题四、证明过Q，D，C三点作辅助圆，交尸Q于G点，连接CG，因为D，C，G，Q四点共圆，所以艺尸GC二匕QDC-题号1 2 3 4 5答案6 2犷2a万一1 2 1007012三、解设F(x，刃一ax b ay b一xy，由已知得F‘。，。，一2“、一奋，即F‘0，‘，一 2”、专F“，‘，一2· 2“一‘)一音，、1口多一下万匕①/ABC.所以尸，G，C，B四点共圆，有QFZ=QC·QB=QG·QP.又PE，=PC·PD=PG·PQ.相加得PEZ QFZ=PG·PQ 以;·QP一尸Q(代子 〔闷)=尸令.所以，以线段PE，QF，尸Q为边构成的三角形是…     

直角三角形的一个性质推广及应用

在直角三角形中,我们知道有 定理I宜角三角形中,斜边上高的倒数的平方等于两直角边倒数的平方和。 将其向空间推广,可得 定班2已知三棱锥C一ABC,匕AOB。乙BOC。乙CO才二0.,棱O刁、OB、OC分别为Rt△OAB中, 1一二土 O力名。.由定理l得+公:.(,,今7Ca、b、c, 证明h为高,则 又在Rt△ODC中,OE土DC,E为垂足,则 止_,*七+J_- O万,一O方:’玉:·将(1)代入上式,得(图1)才:一泰+小+二一人+ 命-,.’刁刀上OC典;+1.‘若C.作OD土A刀交月刀于D,则OC上OD,在,通刀止OD,.、AB土面ODC,从 少33而AB上O君,又O百一DC,.’.OE一面汉BC,即O…     

从一道中考题谈数学教学方法

前段时间看到某市一道数学中考的最后一道题,题目如下: 如图1,在直角梯形AOBC中,OC=(厂5),OB=5AC,OC所在的直线方程为y=2x,平行于OC的直线l为:y=2x+t,l由A点平移到B点时,l与直角梯形AOBC两边所围成的三角形的面积记为S.     

多面体和旋转体

一、选择题(l)正方体的对角线长为l,则它的全面积是( (2)设材二苦正四棱柱飞万二子长方休飞尹~f直四棱柱},Q二子正方体冬,则它们之问的关系是().(a)行才2(月)(D)22,(a) 召C)Q 0 PoN。材Q二N。奋。尸Q c M c Nc尸’广行 、尸、.户人C 沙‘才..,一34一)(丑为地球l一4’ 口)Qc=万二材CP (3)过单位正方体Ac’的顶点月、尸、D作平面区,设对角线A产C与平面.相交于材,则A,C与平面“的夹角是()则卫星离地面的高度应是半径) (A)盖,(B)及(C);,归)ZR(A)45。(C)90。(B)60“(D)120.2产5扩 (4)若斜平行六面体AaCD一E尸G万的底面AaCD是菱形…     

一道题的解法探究

题目若a渭、y均为锐角,且满足。osZa十 eosZ月+eosZy二1. 一起分享. 证法一 求证:eot,a+eotZ夕+eot, _、3 了‘多二丁. 乙 eosZa+CosZ夕+。0527=l eosZa=1一sinZa, 说明一般参考书上给出的解答为 5 inZa+sinZ月+SinZ下一2. 又5 inZa+eosZa=l, 巍 如图1,构造对角线 O尸长为1的长方体,a、 月、了分别为O尸与棱 OA、OB、(X二的夹角.并 设aA、OB、OC长分别 尸 :、、、 C 1+eotZa二 l 5 inZa‘ 际﹂ : ‘~-二~-一》 a y A 岁’ 3+eotZa+eotZ月+CotZ了 赢+病+病, 舞 为a、b、c, 则CotZa一 图1 (SinZa+sinZ月+SinZ下)( a2 b2 aZ+…