新题征展(27)

A　题组新编1 .( 1 )若函数 f ( x)的定义域为 [- 1 ,4 ],则 f ( x )的定义域为 ;( 2 )若函数 f ( x 1 )的定义域为[- 2 ,3) ,则 f ( 1x 2 )的定义域为 ;( 3)设 f ( 2 x - 1 ) =2 x - 1 ,则函数 f ( x)的定义域为 .2 .( 1 )已知 f ( x) =x2 2 x - 4,x∈[t,t 1 ],求 f ( x)的最小值 ;( 2 )已知 f( x) =( 4 - 3a) x2 - 2 x a,x∈ [0 ,1 ],求 f( x)的最小值 .(第 1～ 2题由陈廷茂供题 )3.( 1 )不等式 ( x - 3) x 3≥ 0的解集是 ;( 2 )不等式 | x2 - 9|≤ | x 3|的解集是;( 3)若 loga 16 x≤ loga 1( x2 9)对任意x∈ R恒成立 ,…     

对两种观点正误的分析

1　问题的提出在复合函数的有关问题中,对一类问题的解法经常有两种不同的观点.下面先看一些数学读物中的有关问题的解法.例1　已知函数f(x2-3)=lgx2x2-4,求f(x)的定义域(文[1])解　先求f(x)的表达式令x2-3=t,∵x2x2-4>0,∴x<-2或x>2.则x2=t 3,此时由抛物线的性质知t>1.∴f(t)=lgt 3t-1,即f(x)=lgx 3x-1此时f(x)的定义域就是t的取值范围.故f(x)的定义域为{x|x>1}例2　已知函数y=f(1x 1)的定义域为〔-23,-12〕,求函数f(x)的定义域(文〔2〕)解　∵-23≤x≤-12∴13≤x 1≤12∴3≥1x 1≥2∴函数f(x)的定义域为〔2,3〕例3　(1986年广东省高考题)…     

分割区间来解题,也是一种好方法!

高考题1(2010.福建.理.15)已知定义域为(0,+∞)的函数f(x)满足:(1)对任意x∈(0,+∞),恒有f(2x)=2f(x)成立;(2)当x∈(1,2]时,f(x)=2-x.给出如下结论:①对任意m∈Z,有f(2m)=0;②函数f(x)的值域为[0,+∞);③存在n∈Z,使得f(2n+1)=9;④"函数f(x)在区间(a,b)上单调递减"的充     

我为高考设计题目

题81定义:对于函数f(x),x∈MR,若f(x)相似文献   

关于复合函数的一个错误命题

文[1]称:若已知f[g(x)]的定义域为A,则f(x)的定义域就是函数g(x)(x∈A)的值域.错误!例1设函数f(x)=2x,函数g(x)=x2,则复合函数f[g(x)]=2x2.显然,复合函数f[g(x)]的定义域是R,函数g(x)(x∈R)的值域[0,+∞),但函数f(x)的定义域是R,而不是函数g(x)(x∈R)的值     

浅谈函数的单调性及应用

函数的单调性是函数的重要性质 ,应用十分广泛 ,必须认真学好 .那么 ,怎样学好这个性质呢 ?1　切实掌握概念 ,打好学习基础课本指出 :设函数 f(x)的定义域为I ,如果对于属于定义域I内某区间上任意两个自变量的值x1,x2 ,当x1f(x2 ) ,那么 f(x)在这个区间上是增函数 (或减函数 ) .这个概念的核心是任意性和恒定性 .任意性是指x1,x2 是函数定义域内任意两个自变量 ,恒定性是指不等式 f(x1) f(x2 )是在x1相似文献   

课外练习

高一年级1.已知m ,n ,p∈A ={x |x - 1|≤ 3且x∈Z}.试求logm +nP的不同值的个数 .2 .已知函数 f(x)为偶函数 ,对于定义域R内在任意x ,都有 f(x) =f( 4-x) ,且当x∈ [0 ,2 ]时 ,f(x)=1-x2 ,求x∈ [2 0 0 2 ,2 0 0 4 ]时f(x)的解析式 .3 .已知函数 f(x) =- 2x +2 ,x∈ [12 ,1] ,设 f(x)的反函数为y =g(x) ,a1 =1,a2 =g(a1 ) ,… ,an =g(an-1 ) ,求数列 {an}的通项公式高二年级1.已知函数f(x) =lg(log3 2 x -klog2 x +2 ) ,若f(x)在( 1,+∞ )上均有意义 .试求实数k的取值范围 .2 .设a∈k,函数 f(x) =ax2 +x -a ( - 1≤x≤ 1) .( 1)若 |a|≤ …     

一道新题征展问题的结论与证明的纠正

本刊2011年第2期新题征展(124)题7是一道有关导数应用的函数与不等式综合问题,原题如下:已知函数f(x)=2x+alnx(a∈R).(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求实数a的取值范围;(3)若函数f(x)的最小值为h(a),m,n为h(a)定义域A中的任意两个值,求证:h(m)+h(n)/2＞h(m+n/2).     

单调函数及其应用

设 f为定义在D上的函数 ,若对于D中任意两个数x1,x2 ,当x1f(x2 )时 ,称 f为D上严格递减函数 .递增函数和递减函数统称为单调函数 ,函数的单调性是函数的重要性质之一 ,利用函数的单调性 ,可以比较函数值的大小 ,证明一些不等式以及解决某些方程问题和函数极值问题 .例 1　证明 |x1+x2 +… +xn|1+|x1+x2 +… +xn|≤ |x1|1+|x1|+|x2 …     

一道联考试题的讨论

湖北省部分重点中学 2 0 0 3届第一次联考数学试卷上有这样一道题 :已知 f(x) =ax2 +bx +c,如果x∈ [-1 ,1 ]时 ,均有 | f(x) |≤ 1 .1 )求证 :|c|≤ 1 ;2 )当x∈ [- 1 ,1 ]时 ,试求 g(x) =|cx2+bx +a|的最大值 ;3)试给出一个这样的 f(x) ,使 g(x)确实取到上述最大值 .命题者的解答如下 :解　∵x∈ [- 1 ,1 ]时 ,| f(x) |≤ 1恒成立 ,令x =0 ,得 |c|≤ 1 .2 )∵g(x) =|cx2 +bx +a|=|cx2 -c+c+bx +a|≤ |cx2 -c| + |c+bx +a|=|c| ( 1 -x2 ) + |c +bx +a|≤ |c| + |c+bx +a| ,由于函数 φ(x) =|c +bx +a|在 [- 1 ,1 ]的端点处取到最大值 .所以…     

新题征展(55)

A 题组新编 1.函数f(x)=2x-a/x的定义域为(0,1](a为实数). (1)若a=-1时,求函数y=f(x)的值域; (2)若函数y=f(x)在定义域上是减函数,求a的取值范围;     

对一类函数不等式的讨论

一、问题的来源例 :已知 :当 |x|≤ 1时 ,有 |ax2 +bx +c|≤ 1 .证明 :当 |x|≤ 1时 ,有 |2ax +b|≤ 4 .以上为一匈牙利奥数竞赛题 ,综观各类文献 ,其典型的证法有以下两种 :证法一 :记f(x) =ax2 +bx+c,g(x) =2ax+b.因函数 g(x)在 [- 1 ,1 ]上单调 ,故只要证明在已知条件下有 |g(1 ) |=|2a+b|≤4且|g(- 1 ) |=|- 2a+b|≤ 4即可 .易知2a+b=32 (a +b +c) +12 (a -b +c) - 2c=32 f(1 ) +12 f(- 1 ) - 2f(0 ) .于是由 |f(- 1 ) |≤ 1 ,|f(0 ) |≤ 1及|f(1 ) |≤ 1 ,知 |2a +b|≤ 32 |f(1 ) |+12 |f(- 1 ) |+2 |f(0 ) |≤32 +12 +2 =4,即 |2a +b|…     

一道高考题的背景溯源

2005年上海春季高考有这样一道题:已知函数f(x)=x+xa的定义域为(0,+∞),且f(2)=2+22,设P是函数图像上的任意一点,过点P分别作直线y=x和y轴的垂线,垂足分别为M、N,(1)求a的值(2)问题|PM|·|PN|是否为定值,若是,则求出定值,若不是,则说明理由.(3)设O为坐标原点,求四边形OMPN的面积的最小值图一溯源我们知道:“双曲线上的任意一点到两渐近线的距离之积为定值”.与以上的命题是否有牵连?经探讨,答案是肯定的.即有以下的命题命题函数f(x)=x+xaa∈(0,+∞)的图像是双曲线图二证明设P(x,y)是函数f(x)=x+xa图像上的任意一点,将向量OP向顺时针…     

一道练习题的推广

原题已知函数f(x)=ax2 bx c(a≠0),满足当|x|≤1时,总有|f(x)|≤1,则|f(2)|≤8.该题的结论可以推广到一般情形,即当(|n|>1,n∈R时),|f(n)|≤2n2-1.首先看一个引理.引理1已知函数f(x)=ax2 bx c,(a≠0),对任意给定的常数m,f(m)可以写成f(1),f(-1),f(0)的线性组合.证由于f(m)=am2     

新题征展(55)

A　题组新编1 .函数 f ( x) =2 x - ax 的定义域为( 0 ,1 ]( a为实数 ) .( 1 )若 a =- 1时 ,求函数 y =f ( x)的值域 ;( 2 )若函数 y =f ( x)在定义域上是减函数 ,求 a的取值范围 ;( 3)若 a≥ 0时 ,判断函数 y =f ( x)的单调性并证明 ;( 4 )求函数 y =f ( x)在 x∈ ( 0 ,1 ]上的最大值及最小值 ,并求出函数 y =f ( x)取最值时 x的值 ;( 5)若 f ( x) >5在定义域上恒成立 ,求 a的取值范围 .2 .设 f ( x) =ax2 bx c( a >b>c) ,f ( 1 ) =0 ,g( x) =ax b.( 1 )求证 :函数 y =f ( x)与 y =g( x)的图像有两个不同的交点 ;( 2 )设 y =f ( x)…     

对一道联考题的思考

近期在互联网上浏览部分重点中学的联考试卷,注意到如下的一道问题及解答:已知集合MD是满足下列性质的函数f(x)的全体:若函数f(x)的定义域为D,对于任意的x1,x2∈D(x1≠x2)有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|.     

综合题新编选登

题 6 7　 已知函数 f(x) =x2 - 2tx + 1,其定义域为 {x| 0≤x≤ 1或 7≤x≤ 8} .1)f(x)在定义域内是否一定有反函数 ?2 )当 f(x)在定义域内有反函数 ,求t的范围 .3)在 2 )的条件下 ,求反函数 f- 1(x) .解　 1)取t =12 ,有 f(0 ) =f(1) =1.∴f(x)在其定义域内不一定有反函数 .2 )∵f(x)在x∈R时其对称轴为x =t.当t≤ 0时 ,f(x)在其定义域内为增函数 ,∴此时 f(x)有反函数 ;同理 ,当t≥ 8时 ,f(x)在其定义域内也有反函数 .图 1　题 6 7图当 1≤t≤ 4时 ,f(x)图象在x∈ [0 ,1]的一段比在x∈ [7,8]的一段更靠近对称轴 .那么要使 f(x)有反函数 ,…     

一元n次多项式函数对称性的充要条件

二次函数具有轴对称性已是初中知识,三次函数具有中心对称性也逐渐成为高中数学的寻常知识.一般的实系数一元n(n≥4)次多项式函数的对称性如何?它们具有对称性的充要条件是什么?笔者试为探讨并给出结论.首先,根据文献[1][2],给出下面两个重要的定理.1定义域为R的可导函数对称性的充要条件定理1定义域为R的可导函数y=f(x)图象关于点(a,f(a))中心对称的充要条件是它的导函数y=f′(x)图象关于x=a轴对称.     

错在哪里?--一道判断函数奇、偶性习题的错解分析

例　已知函数 f( x)定义域为 R,且对于定义域内任意一个 x,都有 | f( - x) | =| f ( x) | .则函数 f ( x)的奇、偶性是 (　　 ) .( A)必为奇函数( B)必为偶函数( C)或为奇函数或为偶函数( D)不一定是奇函数也不一定是偶函数错解　学生在解这道题时 ,由定义域为R,关于原点对称 ,又易由 | f( - x) | =| f ( x) |去绝对值直接得 f( - x) =± f( x)从而判断函数 f( x)或为奇函数或为偶函数 .从而选择答案 ( C) .错因分析　其实这个答案是错误的 .其原因是由 | f ( - x) | =| f ( x) |可得 f ( x) =f( - x)或 f ( x) =- f( - x)成立 ,但满足两…     

辨析函数中易混淆的三对概念

1函数的定义域为A与函数在A上恒有意义两个概念十分相似,易误认为是同一个问题,事实上“函数在A上恒有意义”中的A是f(x)的定义域的一个子集,是不等式恒成立问题;而“函数的定义域为A”中的A是函数的定义域,其解法是已知不等式的解集求参数问题.例1(1)已知函数f(x)=1 2x 3xa的定义域为(-∞,1],求a的值;(2)已知函数f(x)=1 2x 3xa在(-∞,1]上恒有意义,求a的取值范围.解(1)由题意,不等式1 2x 3xa≥0的解集为(-∞,1],即a≥-[(31)x (23)x]的解集为(-∞,1],令g(x)=-[(31)x (32)x],易知g(x)在(-∞, ∞)上是单调增函数,∴g(x)max=g(1),所以不等式…