对一道不等式习题的探究性学习

人教版教材高中数学第二册 (上 ) (必修 )第30页有这样一道习题 :已知a >b>c ,求证 :1a -b 1b -c 1c -a>0 .这样一道看似普通的不等式习题 ,却蕴涵着丰富的教学功能 .笔者在教学中从这道习题出发 ,引导学生开展了一次数学探究活动 .探究 1　 变题题 1　已知a>b >c,求证 1a -b     

一道征解题的推广

《数学通讯》（上半月）2013年第9期问题征解150是一道不等式问题： 已知a,b,c∈R＋,试证：b3＋c3/a＋c3＋a3/b＋a3＋b3/c≥2（a2＋b2＋c2）＋3[（b-c）2＋（c-a）2＋（a-b）2].这道题的证明方法很多,下面我们先给出它的一种解答,然后用同样的证明方法证明此不等式的推广不等式.证明作差变形,并由三元均值不等式得（b3＋c3/a＋c3＋a3/b＋a3＋b3/c）-2（a2＋b2＋c2）     

从一道训练题谈数列积式不等式的证明策略

题目 (武汉市2011届高中毕业生五月供题训练(三)理科第21题)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=1/2na(n+1)(n∈ N+),其中a1=1.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bk＝(a1a3…a2k-1)/(a2a4…a2k)(n∈N+).证明:bn＜1/√2an+1这是一道融数列、不等式与函数为一体的综合问题,主要考查学生的思维能力.第(2)问的证明具有一定的难度,从证法上看,它注重通性通法,也不回避特殊技巧,既可用大众化的常规证法,也可用证明不等式的一些特殊技巧,很好地区分了考生思维的层次性.由第(1)问可知an=n,从而原不等式即为:1/2·3/4·5/6·…·.     

不等式证明的几种方法

不等式是初等数学的重要内容 ,是研究方程和函数的重要工具 .不等式的证明题型多变 ,方法多样 ,技巧性强 ,无固定程序可循 .常用的不等式证明方法有比较法、综合法、分析法、函数法、放缩法、代换法、反证法、数学归纳法等等 .一、比较法 :比较法主要有作差比较法和作商比较法两种 .1.作差比较法 (简称比差法 ) :a、b、c≥ 0 ,求证 :a3 +b3 +c3 ≥ 3abc .证明 :a3 +b3 +c3 - 3abc=(a +b) 3 - 3ab(a +b) +c3 - 3abc=(a +b +c) 3 - 3(a +b)·c (a +b) +c -3ab(a +b +c)=(a +b +c) (a2 +b2 +c2 -ab -bc -ca)=12 (a +b +c)· (a -b) 2 + (b -c) …     

不等式证明的求商比较法

介绍了求商比较法在证明不等式中的应用     

《几个猜想不等式的探究》一文的商榷

贵刊文[1]在对一道不等式再思考后提出了四个猜想,其中猜想2如下:猜想2若a3 b3 c3=3,a,b,c∈R,则a b c≤3,ab bc ca≤3,abc≤1.贵刊文[2]在探讨上述猜想2时,认为“在题设条件下,可以证明前两个不等式是成立的”,其证明过程应用了一个引理:引理设p>q>0,x1,x2,…,xn为正实数,则x1     

一个不等式的证明及引伸推广

贵刊 2 0 0 2年第 2期数学问题第 3题是 :设a、b、c ∈R ,且abc =1,求证 :a3(c b) (a c) b3(b c) (b a) c3(c a) (a b) ≥ 34( 1)一、关于不等式 ( 1)的证明原证明是在假定a≥b≥c的前提下运用排序不等式给出的 ,但由于不等式 ( 1)的左端不是关于a、b、c的对称式 ,故原证明有不妥之处 ,下面我们给出不等式 ( 1)的一个证明 .证明 :记不等式 ( 1)的左端为M ,由平均值不等式得a3(c b) (a c) c b8 a c8≥ 33 a364 =3a4,即 a3(c b) (a c) ≥ 5a -b-2c8.同理 ,b3(b c) (b a) ≥ 5b -c-2a8,c3(c a) (a b) ≥ 5c-2a -b8,以上三个不等式…     

课本中一习题的应用

<正>习题设a1,a2,…,an为实数,b1,b2,…,a2a2bn为正数,求证:a12/b1+a22/b2+...+an2/bn≥(a1+a2+...+an)2/b1+b2+...+bn.这是人教B版选修4-5《不等式选讲》第43页习题2-1第9题,这道习题看似简单却有着极大的潜在价值.本文向同学们介绍这道习题在教材、高考、自主招生与竞赛中的应用,希望为同学们扩宽眼界,带来一点帮助.说明这个习题的结论我们常把它称为柯西不等式的变式,其功能强大,威力无比,很多试题面对这个变式都"俯首称臣".     

构造平均值不等式证明不等式

平均值不等式是一组很重要的不等式 ,在证明不等式中有着广泛的应用 ,许多轮换对称不等式都可以通过构造出平均值不等式而获得简捷的证明 ,构造平均值不等式的基本原则是按照“权值平衡法”去录求相匹配的式子 ;此处我们把各个因式取值的比重叫做“权值” ,比如 :ａ ｂ =1,则ａ ,ｂ的权值都是 12 ,而 1ａ 的权值是 2 ,ａ2 1ｂ 的权值就是 14 2 =94 等等 ,要正确使用平均值不等式 ,就必须使每一个因式的权值达到均衡相等 ,这就是构造的出发点和目标 :例 1　已知ｘ ,ｙ ,ｚ∈Ｒ ,且ｘ ｙ ｚ =1,求证 :ｘ4ｙ( 1- ｙ2 ) ｙ4ｚ( 1-ｚ2…     

课本无理不等式的巧证及推广

高中《数学》第二册 (上 )第六章不等式中涉及到一类无理不等式的证明 ,本文先给出它们的一种巧证 ,然后将其作统一推广 .1　巧证引理　如果x≥ 0 ,那么x =x2 .例 1　 (P15例 1)求证 :3+ 7<2 5.证明　 3+ 7=( 3+ 7) 2=10 + 2 2 1<10 + 2 2 5=2 5.例 2　 (P16题 1)求证 :6 + 7>2 2 + 5.证明　 6 + 7=( 6 + 7) 2=13+ 2 4 2>13+ 2 4 0=( 8+ 5) 2 =2 2 + 5.例 3　 (P17题 4 )求证 :1) 3+ 5<4 ;2 ) 13+ 2 >5- 2 .证明　 1) 3+ 5=( 3+ 5) 2=8+ 2 15<8+ 2 16 =4 .2 ) 13+ 2 =2 - 3=( 2 - 3) 2=7- 43>7- 45=( 5- 2 ) 2 =5- 2 .说明　不等式 1)与 2…     

也解一道竞赛题

2008年全国高中数学联赛吉林省预赛最后一题：正数a．b,c满足2a＋4b＋7c≤2abc,求a＋b＋c的最小值． 正如文[1]所言,此题的难度非常大．笔者也有同感．所谓“难度非常大”可以理解为这个不等式证明的“技巧性相当的大、灵感要求也相当的高”．这就是不等式的特点,特别是数学竞赛的不等式试题．     

一类关于三角形不等式的证明方法

文[1]借助两个特殊不等式并应用代数变换证明了一类三角形不等式.本文给出这类不等式的三角证法.为行文方便,约定△ABC的三边长、半周长、外接圆半径、内切圆半径分别为a、b、c、,s,R,r;其中例题的证明要用到下列熟知的三角形恒等式:abc=4Rrs,∑bc=s2 4Rr r2,∑a2=2(s2-4Rr-r2)     

用构造法证明不等式

证明不等式时 ,从研究题目的条件与结论入手 ,巧妙构造方程、函数、不等式、数列、图形等 ,可以使不等式获得简捷证明 ,下面从四个方面谈谈怎样用构造法证明不等式 .1　寻觅题设或结论的固有规律进行“构造”例 1　已知a>b>c.求证 1a-b+ 1b-c+1c-a >0 .简析 :寻觅题设条件a >b>c的固有规律 ,若令x1>x2 >0 ,则必有a=x1+c,b=x2 +c .用构造方程a =x1+c ,b=x2 +c(x1>x2 >0 )去证明 ,简洁明快 .证明　因为a>b>c可构造方程a =x1+c,b =x2 +c(x1>x2 >0 ) ,将它们分别代入特征式 ,得 1a-b + 1b-c + 1c-a =1(x1+c) - (x2 +c) + 1x2 +c-c +1c- (x1+c) =…     

条件不等式证明中的次数平衡原则

在不等式的证明中,条件不等式的证明是一个难点,对于一类特殊的条件不等式的证明,次数平衡是一种行之有效的办法．什么是所谓的“次数平衡”呢？大家可能做过这道题：     

一个不等式问题的换元法证明

有一道不等式的证明题:对于所有的正实数a,b,证明（a/（a+3b））^1/2+（b/（3a+b））^1/2≥1（*）在《数学通报》2005年第4期由提供人用反证法给出了证明,如果我们另避蹊径,还可得到以下证明方法:解法1由式子的结构通过联想,字母轮换对称,被开方式子都是一次比例式,为求计     

一个引理和两道竞赛不等式的证明

本文先介绍一个引理,然后用它证明两道不等式赛题． 引理如果a,b是正数,则 3√a^3＋b^3/2≤a^2＋b^2/a＋b.     

解题新发现

奥数课上,老师给我们出了这样一道题:证明:形如a4 4的数(a为任意整数,a≠±1)是一个合数.此题的证明是个因式分解问题.证明a4 4=a4 4a2 4-4a2 =(a2 2)2-4a2 =(a2 2a 2)(a2-2a 2).     

一个不等式的加强及其推广

笔者在翻阅文[1]时,看到如下问题问题1已知x12 x22 … x2100=300,求证:x1 x2 … x100≤200.文[1]指出,可以构造多项式x2-2x 1=(x-1)2≥0进行证明.读完文[1],笔者就想,既然可以构造(x-1)2≥0和(x-3)2≥0来进行证明,那么用其他形如(x-a)2≥0的表达式进行证明行吗?经过试验可知,取a=12时达不到目的,只能得出i1∑=001xi≤325;而当取a=2时,得到了不等式∑100i=1xi≤7400<200,这不仅证明了问题1,而且还把所要证明的不等式∑100i=1xi≤200进一步加强为∑100i=1xi≤7400.因此,我们有理由猜想,在所有不等式1∑00i=1xi≤Bt中,只要选择适当的a,利用(x-…     

对一个不等式的深入思考

问题　在△ＡＢＣ中 ,角Ａ ,Ｂ ,Ｃ的对边分别为ａ ,ｂ ,ｃ ,若Ａ +Ｃ≤ 2Ｂ ,求证 :ａ4+ｃ4≤ 2ｂ4.这是《数学教学》2 0 0 1年第 6期问题栏的一道新题 ,我们的深入思考是 :从次数方向探索 ,对自然数ｎ ,此题有无推广的新题呢 ?推广 1　在△ＡＢＣ中 ,角Ａ ,Ｂ ,Ｃ的对边分别为ａ ,ｂ ,ｃ ,若Ａ +Ｃ≤ 2Ｂ ,求证 :1 )对于 1≤ｎ≤ 4 (ｎ∈Ｎ) ,不等式ａｎ+ｃｎ≤ 2ｂｎ 均成立 ;2 )对于ｎ >4 (ｎ∈Ｎ) ,不等式ａｎ+ｃｎ≤2ｂｎ不能成立 .证　 1 )由原不等式ａ4+ｃ4≤ 2ｂ4的证明过程易知 ,其等号当且仅当ｃｏｓＢ =12 ,且ｂ2 =ａｃ,即ａ =…     

两个不等式的三角证法及其推广

在一些刊物上 ,常讨论下述不等式 :设a >1,b>1,c>1,则a3b2 - 1+ b3c2 - 1+ c3a2 - 1≥ 92 3(1)a5b2 - 1+ b5c2 - 1+ c5a2 - 1≥2 56 15 (2 )本文就这两个不等式给出统一的三角证法 ,并给以推广 .首先给出下面引理 .引理　若θ∈ 0 ,π2 ,k是正整数 ,则sin2 θ·cos2k - 1θ≤ 2 (2k - 1) 2k - 1(2k + 1) 2k +1.当且仅当secθ =2k + 12k - 1时 ,等号成立 .证　由均值不等式得 :(2k - 1) (sin2 θ +cos2 θ) =(2k - 1)sin2 θ2 +(2k - 1)sin2 θ2 +cos2 θ+cos2 θ +… +cos2 θ(2k - 1)项≥ (2k +1)·2k + 1(2k - 1) 24 (sin2 θ·cos2k - 1…