初三代数第一学期期末自测题

Ａ组一 .选择题 (每小题 2分 ,共 2 4分 )1 .若关于ｘ的方程 (ｍ -2 ) 2 ｘ2 +(2ｍ +1 )ｘ +1 =0有两个不相等的实数根 ,则ｍ的取值范围是 (　 ) .Ａ .ｍ≤ 34　　　　　　Ｂ .ｍ <34Ｃ .ｍ≥ 34且ｍ≠ 2　Ｄ .ｍ >34且ｍ≠ 22 .在一元二次方程ａｘ2 +ｂｘ +ｃ =0 (ａ≠ 0 )中 ,若ａ与ｃ异号 ,则方程 (　 ) .Ａ .有两个相等的实数根Ｂ .有两个不相等的实数根Ｃ .没有实数根Ｄ .根的情况无法确定3 .若解分式方程 2ｘｘ +1 -ｍ +1ｘ2 +ｘ=ｘ +1ｘ 产生增根 ,则ｍ的值是 (　 ) .Ａ . -1或 -2　Ｂ . -1或 2Ｃ . 1或 2　Ｄ .1或 -24.用换元法解方…     

方程ax~2 b|x| c=0根的讨论

众所周知 ,对于一元二次方程ａｘ2 ｂｘ ｃ =0(ａ≠ 0 ,ａ ,ｂ,ｃ∈Ｒ) ,当Δ =ｂ2 - 4ａｃ≥ 0时 ,在实数集内有两根 ;当Δ <0时 ,在实数集内无根 ,但在复数集内有两根 .但对形如ａｘ2 ｂ|ｘ| ｃ=0 (ａ≠ 0 ,ａ ,ｂ,ｃ∈Ｒ)的方程 ,其根的情况与系数间的关系就复杂得多 .以下是关于此方程根的存在性情况的讨论 .1　在实数集内根的情况结论 1　对方程ａｘ2 ｂ|ｘ| ｃ =0 (ａ≠ 0 ,ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ) (Ⅰ )当ａ ,ｂ ,ｃ满足条件ｂ2 - 4ａｃ >0- ｂ2ａ>0ａｃ>0(1)时 ,在实数集内有四个根 ;当ａ ,ｂ ,ｃ满足条件ｂ2 - 4ａｃ >0ａｃ<0 (2 )时 …     

巧用韦达定理逆定理 妙解一类竞赛试题

韦达定理 :“若实数ｘ1 、ｘ2 是方程ａｘ2 +ｂｘ +ｃ =0 (ａ≠ 0 )的两个根 ,则有ｘ1 +ｘ2 =-ｂａ ,ｘ1 ·ｘ2 =ｃａ” .其逆定理是 :“若实数ｘ1 、ｘ2 满足ｘ1 +ｘ2 =-ｂａ,ｘ1 ·ｘ2 =ｃａ,则ｘ1 、ｘ2是方程ａｘ2 +ｂｘ +ｃ =0 (ａ≠ 0 )的两根” .韦达定理是初中数学中一个充满活力的定理 ,不但在历年的中考试题中是一个命题的热点 ,而且其逆定理在初中数学竞赛题中应用也较多 .现举例如下 :例 1　已知实数ａ、ｂ满足ａ2 +ａｂ +ｂ2 =1,且ｔ =ａｂ -ａ2 -ｂ2 ,那么ｔ的取值范围是.(2 0 0 1年ＴＩ杯全国初中数学竞赛试题 )解　由ａ2 +…     

初三代数第一学期期中自测题

Ａ组一.填空题(每小题2分,共20分)1.方程ｘ2-5ｘ=0的根是.2.已知方程2ｘ2+ｋｘ-6=0的一个根为-3,则另一个根为;ｋ=.3.已知ｘ满足ｘ2-3ｘ+1=0,则ｘ+1ｘ的值为.4.已知三角形的两边长是4和7,第三边长是方程ｘ2-16ｘ+55=0的根,则第三边的长是.5.如果(3ｋ+1)ｘ2+2ｋｘ=-3是关于ｘ的一元二次方程,那么不等式ｋ-12≥4ｋ+13-1的解集为.6.把方程ｘ2-4ｘ-7=0的左边配成一个完全平方式时,得.7.已知ａ,ｂ,ｃ是△ＡＢＣ三条边的长,那么,方程ｃｘ2+(ａ+ｂ)ｘ+ｃ4=0的根的情况为.8.如果方程13ｘ2-2ｘ+ａ=0有实数根,那么ａ的取值范围是.9.若对任何实数ｘ,分…     

巧用一元二次方程的根与系数的关系解题

在初中代数里 ,一元二次方程的根与系数的关系 ,是一个很重要的知识 ,要求学生切实掌握 ,并能灵活应用 .下面三个例子 ,属于巧用类型 ,简化了计算 ,可能有助于开拓学生解题思路 .例 1　如果ａ、ｂ是方程ｘ2 + (ｍ- 1 )ｘ+ 2 =0的两个实数根 ,那么 (ａ2 +ｍａ+ 2 ) (ｂ2 +ｍｂ+ 2 )的值为 (　　 )(Ａ)　 6　　 (Ｂ)　 2　　 (Ｃ)　 4　　 (Ｄ)　 0解　由于ａ ,ｂ是方程ｘ2 + (ｍ- 1 )ｘ+ 2 =0的两个实数根所以ａ2 + (ｍ- 1 )ａ + 2 =0 ,　　ｂ2 + (ｍ - 1 )ｂ+ 2 =0所以ａ2 +ｍａ+ 2 =ａ ,ｂ2 +ｍｂ+ 2 =ｂ又因为ａ ,ｂ是方程ｘ2 + (ｍ- 1 )…     

一元二次方程的根的判别式的应用

一元二次方程的根的判别式是初中代数的重要内容之一 ,它在中学数学中有着广泛的应用 ,成为近几年全国各地中考的热点问题 .为了帮助读者更好地掌握好这部分知识内容 ,现对它在初中数学中的应用进行归纳 ,以餮读者 .应用一 :判断一元二次方程 (或二元二次方程组 )的根的情况 ;或已知根的情况 ,求方程 (或组 )中的待定系数的取值范围 .一元二次方程ａｘ2 +ｂｘ +ｃ =0 (ａ≠ 0 )的根的判别式为△ =ｂ2 - 4ａｃ,它与这个方程的根有着十分密切的关系 :( 1)△ >0 方程有两个不等的实数根 ;( 2 )△ =0 方程有两个相等的实数根 .( 3)△ <0 方程…     

巧构造 妙解题

构造法是一种重要的解题方法 ,是最富活力的数学转化方法之一 .恰当地运用这一方法解题 ,能收到以简驭繁、化难为易、事半功倍之效 .下面以各类竞赛题为例说明 .一、构造方程例 1　已知ａ ,ｂ ,ｃ三数满足方程组ａ +ｂ =8,ａｂ -ｃ2 + 82ｃ =48.试求方程ｂｘ2 +ｃｘ -ａ=0的根 .( 2 0 0 2年全国初中数学联赛题 )解　∵　ａ +ｂ =8,　ａｂ =ｃ2 -82ｃ +48,∴　ａ ,ｂ是方程ｘ2 -8ｘ +ｃ2 -82ｃ + 48=0的两根 ,则Δ =82 -4 (ｃ2 -82ｃ + 48)≥ 0 ,即　 -4 (ｃ -4 2 ) 2 ≥ 0 .∴　ｃ =42 .代入方程 ,得ｘ2 -8ｘ + 16=0 ,解之得ａ =ｂ =4.∴　…     

判别式法求值域要注意的问题

对于形如 ｙ =ａ1 ｘ2 +ｂ1 ｘ +ｃ1 ａ2 ｘ2 +ｂ2 ｘ +ｃ2(ａ1 ａ2 ≠ 0 )的函数的值域 ,我们一般采用判别式法求解 ,但在用这种方法求解的时候 ,有一个问题需要加以注意 ,否则 ,将会得到错误的结论 .例 1　求函数 ｙ =ｘ2 -3ｘ + 2ｘ2 -1的值域 .错解　将原函数变形ｙ(ｘ2 -1) =ｘ2 -3ｘ + 2 ,整理成关于ｘ的方程(ｙ -1)ｘ2 + 3ｘ -(ｙ + 2 ) =0 ,1.ｙ -1=0 ,即ｙ =1,也即　ｘ2 -3ｘ + 2ｘ2 -1=1,该方程无解 ,故ｙ≠ 1.2 .ｙ -1≠ 0 ,即 ｙ≠ 1,得到关于ｘ的一元二次方程 .要使方程有解 ,则Δ =32 + 4 (ｙ -1) (ｙ + 2 )≥ 0 ,即 (2ｙ + 1…     

用“若a+b=0,则ab≤0”解竞赛题

如果两实数ａ ,ｂ满足ａ +ｂ =0 ,则ａｂ≤0 .应用这个结论解答一些竞赛题十分简捷 .现举例说明 .例 1　ｘ ,ｙ ,ｚ均为实数 ,解方程组ｘ + ｙ =2ｘｙ -ｚ2 =1①②(1987年上海市初中数学竞赛 )解　由①得　 (ｘ -1) + (ｙ -1) =0 .∴ (ｘ -1) (ｙ -1) =ｘｙ-(ｘ + ｙ) + 1≤0 ③①、②代入③得　 (ｘ -1) (ｙ -1) =ｚ2 ≤ 0 ,∴　ｚ =0 ,　ｘ -1=ｙ -1=0 .故方程组的解是　ｘ =1,ｙ =1,ｚ =0 .例 2　已知实数ａ ,ｂ ,ｃ满足ａ +ｂ +ｃ =0 ,ａｂｃ=8.求ｃ的取值范围 .(第一届“希望杯”初二数学竞赛 )解　由已知 (ａ + 12 ｃ) + (ｂ + 12 ｃ)…     

一元二次方程根的判别式应用举例

初中数学中一元二次方程根的判别式的应用相当广泛 ,为使同学们在复习中系统地掌握其应用 ,现将它们归纳如下 ,供同学们参考 .应用一 :不解方程 ,判断方程的根的情况例 1　不解方程 ,判定方程 ( 3ｘ - 5) (ｘ - 3 ) =1 0的根的情况 .解 :整理原方程 ,得　　　 3ｘ2 - 1 4ｘ + 5=0 .∵△ =( - 1 4 ) 2 - 4× 3× 5>0 ,∴原方程有两个不等的实根 .说明 :用判别式△ =ｂ2 - 4ａｃ时 ,方程一定要化为一般形式ａｘ2 +ｂｘ +ｃ=0 (ａ≠ 0 ) .应用二 :确定方程 (组 )中未知字母的取值或取值范围例 2　ｍ取何值时 ,方程 ( 2ｘ - 2 ) (ｘ - 2 ) =ｍ无…     

谈判别式的应用

<正>1判别式的概念实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2-4ac．当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根;当Δ=0时,方程有两个相等的实数根;当Δ<0时,方程没有实数根．以上结论,反之亦成立．2二次型三者之间的关系     

韦达定理的另探

从另一角度审视一元二次方程 ,引出根与系数关系 .不妨设ａｘ2 +ｂｘ +ｃ=0 (ａ≠ 0 )有两个不为 0的根ｘ1、ｘ2 ,且ｘ1≠ｘ2 .∵　ａｘ2 +ｂｘ +ｃ=0 (ａ≠ 0 ) ,∴　 ｃａ·1ｘ=-ｂａ-ｘ .令ｙ =ｃａ·1ｘ,则ｙ =-ｂａ-ｘ .画它们的图像如图 .　　由于它们的图像都关于直线 ｙ =ｘ对称 ,所以 ,可设两图像交于Ｍ (ｘ1,ｙ1) ,Ｎ(ｘ2 ,ｙ2 )点 .则　ｘ1=ｙ2 ,　ｘ2 =ｙ1,所以　ｘ1+ｘ2 =ｘ1+ｙ1=-ｂａ.ｘ1·ｘ2 =ｘ1·ｙ1=ｃａ.这就证明了韦达定理 (当ｘ1、ｘ2 均不为零的情况 ) .其它情况也可得出相应结论韦达定理的另探$山东省单县孙六张黄…     

例说简单无理方程中参数取值范围的求法

无理方程的求解 ,既要考虑如何把问题转化成“有理”的 ,又要考虑根式有意义的条件 ,因而求解的难度较大 ,若是方程中出现参数问题就变得更加复杂 .这里通过两个例题的评析 ,介绍几种求解简单无理方程中参数取值范围的方法 .例 1　若方程 2ｘ 1=ｘ ａ有两个不同的实数根 ,求满足条件的ａ的取值范围 .思考 1　能否去掉根号 ?于是想到两边平方 ,同时注意到根式要有意义 .因此 ,有下面解法 1所示的控制增根的方法 .解法 1　原方程两边平方得2ｘ 1=(ｘ ａ) 2 (1)即ｘ2 (2ａ - 2 )ｘ ａ2 - 1=0 .Δ =(2ａ - 2 ) 2 - 4 (ａ2 - 1) >0 ,解得ａ…     

一元二次方程根的判别式应用三例

大家都知道,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式是b2-4ac,用符号Δ表示,当Δ>0时,方程有两个不相同的实数根;当Δ=0时,方程有两个相等的实数根;当Δ<0时,方程没有实数根.反过来也正确.在一些具体问题中如果依条件枃造一元二次方程再运用根的判别式,可以巧妙地解决问题.     

根的判别式教与学的尝试

一元二次方程根的判别式是人教版第十二章第三节的知识内容 ,这些知识比较重要 ,它既可以根据根的判别式判断一元二次方程根的情况 ,还可以利用这些知识来研究一元二次函数、一元二次不等式 .特别是各年中招考试命题中 ,这些知识占有一定的比重 .因此 ,笔者就此谈一些肤浅的看法 ,以期求教同行 .一、不解方程 ,判断方程的根的情况△ =b2 - 4ac称为一元二次方程ax2 +bx +c=0 (a≠ 0 )的根的判别式 ,根的判别式与根的个数的关系是 :( 1)△ =b2 - 4ac >0 方程有两个不相等的实数根 ;( 2 )△ =b2 - 4ac =0 方程有两个相等的实数根 ;( 3)△ =b2…     

二次三项式训练题

1　求证:对于所有的ａ,方程(ａ3-2ａ2 7ａ)ｘ2-(ａ3 4ａ2 9ａ 6)ｘ 5ａ2 4=0至少有一根.2　求证:如果2ａ 3ｂ 6ｃ=0,那么二次方程ａｘ2 ｂｘ ｃ=0在区间(0,1)内至少有一根.3　令ｘ1,ｘ2是方程ｘ2 ａｘ ｂ=0的二根,ｂ≠0.求方程ｂｘ2 ａ(ｂ 1)ｘ (ｂ-1)2 ａ2=0的根.4　在ａ,ｂ,ｃ间有何种关系时,方程组ａｘ2 ｂｘ ｃ=0ｂｘ2 ｃｘ ａ=0ｃｘ2 ａｘ ｂ=0有解?5　求证:如果ａ,ｂ,ｃ是一个三角形的边长,那么方程ｂ2ｘ2 (ｂ2 ｃ2-ａ2)ｘ ｃ2=0没有实根.6　求证:ｓ=ｐ1 ｐ2 … ｐｎ 1时,ｎ个方程ｘ2 ｘ ｐ1=0,ｘ2 ｘ ｐ2=0,…,ｘ2 ｘ ｐｎ-1=0,ｘ2 …     

一道三角题的三种解法

题目　方程 3ｓｉｎｘ ｃｏｓｘ =ｍ在 ( 0 ,π)内有两个不相等的实数解 ,求实数ｍ的范围 .图 1　解法 1图解法 1　 (数形结合思想 )原方程可变为ｓｉｎ(ｘ π6) =ｍ2 .设 ｙ1=ｓｉｎ(ｘ π6) ,ｘ∈ ( 0 ,π) ,ｙ2 =ｍ2 .在同一直角坐标系中作出其图象 (如图 ) .原方程在 ( 0 ,π)内有两个不相等的实数解等价于两函数的图象有两个交点 .则有 12 <ｍ2 <1,∴ 1<ｍ <2 .解法 2　 (函数思想 )设ｃｏｓｘ =ｔ,∵ｘ∈ ( 0 ,π) ,∴ｔ =ｃｏｓｘ∈ ( - 1,1) ,ｓｉｎｘ =1-ｃｏｓ2 ｘ =1-ｔ2 .原方程变为 3· 1-ｔ2 ｔ=ｍ .∴ 3( 1-ｔ2 ) =ｍ -…     

一元二次方程与一类高次方程之间的有趣结论的推广

文 [1]介绍了一元二次方程与一类高次方程之间的有趣结论。本文将该结论作出推广 .为了方便 ,首先抄录文 [1]的结论 :“定理　若ｘ0 是方程ｘ2 -ｂｘ -ｃ =0的根 ,则ｘ0 也一定是方程ｘｎ-ａｎ 1 ｘ -ａｎｃ =0的根 (其中ａｎ,ａｎ 1 是数列 {ａｎ}中的第ｎ项和第ｎ 1项 ,数列{ａｎ}满足递推关系ａｎ 1 =ｂａｎ ｃａｎ-1 ,ａ1 =0 ,ａ2 =1,ｎ∈Ｎ ,ｎ≥ 2 ) .”上述定理的推广如下 :定理 1　若ｘ0 是方程ｘ2 -ｂｘ -ｃ =0的根 ,则ｘ0 必是方程ｘｎ-ａ2 ｎ 1 ｘ -ａ2 ｎｃ=0的根 ,其中ａｎ 和ａｎ 1 是数列 {ａｎ}中的第ｎ项和第…     

一元二次方程根的判别式的应用

<正>一元二次方程根的判别式是初中数学的重要内容,本文以近年中考中所考查的题型为例,归纳整理如下,供同仁们参考.一、求待定字母的取值范围(1)已知方程根的情况,求待定字母的取值范围例1若关于x的方程(k-1)x2+2(k)^(1/2)x+1=0有两个不相等的实数根.求k的獉獉取值范围.析解由题意"方程有两个不相等的实数獉獉根"可知:该方程是一元二次方程,且Δ>0,即     

课外练习

高一年级1 .已知集合Ａ ={ｍ ,ｎ},问集合Ｂ ={ｘ|ｘ∈Ａ},Ｃ ={ｘ|ｘ Ａ}中的元素分别是什么 ?(贵州开阳县教育局教研室 (5 5 0 3 0 0 )　张廷均 )2 .已知ａ—→ 与ｂ—→不共线 ,试判断关于ｘ的方程ａ—→·ｘ2 +ｂ—→·ｘ+ｃ—→=0—→ 的实数解的个数 .(河北石家庄四十二中 (0 5 0 0 61 )　于润兴 )3 .设函数ｆ(ｘ) =1 -2ｘ1 +ｘ ,若将ｙ=ｇ(ｘ)的图像与函数ｙ =ｆ- 1(ｘ +1 )的图像关于直线ｙ =ｘ对称 ,求ｇ(2 )的值 . (山东沂水县第二中学 (2 7640 0 )　沈　韦华)高二年级1 .已知函数ｆ(ｘ) =2 ｘ-2 -ｘ,数列 {ａｎ}满足ｆ(ｌｏｇ2 …