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近观这几年的高考数学试题 ,均有一定的高等数学背景 .2 0 0 2年高考数学 (理 )压轴题正是如此 .这个题目是 :设数列 {an}满足an + 1 =a2 n-nan+ 1,n =1,2 ,3 ,…(1)当a1 =2时 ,求a2 ,a3,a4 ,并由此猜出an 的一个通项公式 ;(2 )当a1 ≥ 3时 ,证明对所有的n≥ 1,有①an≥n + 2 ;② 11+a1 + 11+a2 +… + 11+an≤ 12 .解析 这是以数列和不等式的知识为载体 ,考查猜想、归纳、迭代、递推、放缩、推理以及分析问题和解决问题能力的一道好题 .这道题的入口较宽 ,问题 (1)及 (2 )中①都不难解决 ,(2 )中②却难倒了不少考… 相似文献
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近两年来 ,全国初中数学竞赛题中有几道几何题 ,使学生在解答时无从下手 ,找不到解题的途径 ,因而失分率较高 .从这几道题的题设和结论看 ,似乎与圆无关 ,若受定势思维的影响 ,就会对试题束手无策 .但只要借助辅助圆 ,就会使问题得以解决 .本文对这几道题作出解答 ,供同学们参考 .题 1 A1 A2 A3…A9是一个正九边形 ,A1 A2 =a ,A1 A3=b ,则A1 A5等于 ( ) .(A)a2 +b2 (B)a2 +ab +b2(C) 12 (a +b) (D)a +b(2 0 0 2年全国初中数学竞赛题 )剖析 这道题是一个正九边形 ,边数较多 ,一般情况下 ,只需作出正九… 相似文献
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题 1 已知实常数a >0 ,b >0 ,0 <θ <π2 ,求 y =asinθ+ bcosθ的最小值 .当我试图去解这道题时 ,几经努力都没成功 ,失败使我陷入深思中 .忽然 ,我头脑中浮现出我曾做过的一道题 :题 2 已知实常数a >0 ,b >0 ,且x + y=1,求 y =ax+ by 的最小值 .这道题可以这样来解 :y =ax+ by=(ax + by) (x + y)=a + ayx + bxy +b≥a + 2ab +b=(a +b) 2 .其中当且仅当ayx =bxy ,即 xy=ab 时等号成立 .题 1、题 2很相似 ,但题 2有变量约束条件x + y =1,而题 1隐含条件sin2 θ +cos2 θ … 相似文献
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我曾看过这样一篇文章 ,文中说一个两位数与它的倒转数的和都是 1 1的倍数 ,并且这个和除以 1 1的商 ,正好是这个两位数个位、十位上数字的和 .例如 :6 3+ 36 =( 6 + 3)× 1 1 .看完这篇文章后 ,我不禁想到这样一个问题 :既然两位数有上述规律 ,那三位、四位数是否也有类似规律可寻呢 ?那么就让我们一起来探讨一下吧 !如 :2 34+ 2 4 3+ 32 4 + 342 + 4 2 3+ 4 32 =1 998=2× ( 2 + 3+ 4 )× 1 1 1 ,348+ 384 + 4 38+ 4 83+ 834+ 84 3=3330=2× ( 3+ 4 + 8)× 1 1 1 .观察每个算式左边六个数 ,我发现每个加数都是相同数字组成的三位数在百位… 相似文献
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2010年高考数学福建卷理科第20题:观察下列等式:①cos2α=2 cos2α-1;②cos4α=8 cos4 α-8 cos2α+1;③cos6α=32 cos6α-48 cos4α+18 cos2α-1;④cos8α=128 cos8α- 256 cos6α+ 160 cos4α-32 cos2α+1;⑤cos10α=m cos10 α- 1280 cos8α+1120cos6α+n cos4α+p cos2α-1.可以推测,m-n+p=_____.这是一道在高考数学中少见的以考察合情推理能力立意的试题.从考试的角度,这道试题可能难了一点,一方面,解答本题要求考生具有较为丰富的合情推理的策略和较强的捕捉信息、加工信息的能力;另一方面,因为题月隐去了部分相关信息(本文后面将详细讨论),使得其中所蕴含的规律(特别是关于推测数值n的规律)隐藏的比较深而在短时间内难以被发现.然而,若从解题学习和培养学生发现创新能力的角度,这却是一道难得的好题,在这道题的解答中蕴含着丰富的数学思想方法,不但可以运用合情推理(归纳与类比)的方法来推测,也可以运用演绎推理的方法来计算. 相似文献
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在学习集合这一节时 ,老师布置了这样一道作业题 :“求集合 {1,2 ,3,4 }的所有非空子集的元素之和 .”当时我是这样做的 :先写出集合 {1,2 ,3,4 }的所有非空子集 :{1},{2 },{3},{4},{1,2 },{1,3},{1,4 },{2 ,3},{2 ,4 },{3,4 },{1,2 ,3},{1,2 ,4 },{1,3,4 },{2 ,3,4 },{1,2 ,3,4 }.然后再求出它们所有元素的和 :( 1 2 3 4 ) [( 1 2 ) ( 1 3) ( 1 4 ) ( 2 3) ( 2 4 ) ( 3 4 ) ] [( 1 2 3) ( 1 2 4 ) ( 1 3 4 ) ( 2 3 4 ) ] ( 1 2 3 4 ) =80 .做完这道题后 ,我考虑能否解决一般的问题 ,即“求… 相似文献
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正题目:已知f(x)=lnx,g(x)=mx-1.(1)若f(x)≤g(x)恒成立,求m的取值范围.(2)若n∈N*,n1,求证3/2~2+5/3~2+…+(2n-1)/n~22lnn.这道题表面是一道不等式题目,仔细深入挖 相似文献
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两道国际数学竞赛题的推广 总被引:2,自引:0,他引:2
第 4 2届 (2 0 0 1年 )国际数学奥林匹克试题第 2题为 :对所有正实数a ,b ,c,证明aa2 + 8bc+ bb2 + 8ca+ cc2 + 8ab≥ 1.文 [1]将其推广为 :设x1>0 ,x2 >0 ,x3 >0 ,3 x1x2 x3 ≥ 8,则 11+x1+ 11+x2+ 11+x3 ≥ 31+ 3 x1x2 x3.文 [1]还指出 ,上式可以推广为n个正数的情况 ,条件是 n x1x2 …xn ≥n2 - 1,第 4 0届 (1991年 )国际数学奥林匹克的一个备选题为 :设r1,r2 ,… ,rn为大于或等于 1的实数 ,证明1r1+ 1+ 1r2 + 1+… + 1rn+ 1≥ nnr1r2 …rn+ 1.这两道题有类似之处 ,其分母一个为 12 次幂 ,一个为 1次幂 .本文进一步考虑分母… 相似文献
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人民教育出版社出版的全日制普通高级中学教科书 (试验本 )数学第二册 (上 ) (必修 )中 ,有以下几道例、习题 :1)已知a ,b ,c都是正数 ,求证 :(a +b) (b +c) (c +a)≥ 8abc(P11练习第 1题 )(1)2 )已知a ,b ,c是不全相等的正数 .求证 :a(b2 +c2 ) +b(c2 +a2 ) +c(a2 +b2 ) >6abc(P14例 5 )(2 )3)如果a ,b ,c为正数 ,那么 a3+b3+c3≥ 3abc (3)当且仅当a =b =c时上式取“ =”号 (P2 4阅读材料 :n个正数的算术平均数与几何平均数 ) .4 )已知a ,b ,c是正数 ,且不全相等 ,求证 :2 (a3+b3+… 相似文献
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所谓“题眼”就是题的“关键点” ,它通常是解题时的切入点 .一道数学题能否正确、迅速、合理获解 ,其前提是是否认真审题 ,找准了“题眼” .下面通过几例来说明如何寻找“题眼” .1 审视“题眼” ,找准关键词例 1 已知某数列前n项和为n3 ,并且前n个偶数项的和为n2 ( 4n + 3) ,那么前n个奇数项的和为 ( )(A) - 3n2 (n + 1 ) . (B)n2 ( 4n - 3) .(C) ( 2n - 1 ) 3 . (D) ( 2n- 1 ) 2 ( 8n + 1 ) .错解 :由Sn=S奇 +S偶 ,则S奇 =n3 -n2 ( 4n + 3) =- 3n3 - 3n2=- 3n2 (n + 1 ) .选 (A) .错因 :审视“… 相似文献
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本刊 2 0 0 3年第 1期刊载的朱启文老师“巧用辅助圆解竞赛题”一文 ,我认为有一道竞赛题答案虽然正确 ,但解法使用了余弦定理 ,超出了初中知识范畴 .原题及解法摘抄如下 :题 A1 A2 A3 …A9是一个正九边形 ,A1 A2 =a ,A1 A3 =b ,则A1 A5等于 ( ) .(A)a2 +b2 (B)a2 +ab +b2(C) 12 (a +b) (D)a +b(2 0 0 2年全国初中数学竞赛题 )解 作圆内接正九边形A1 A2 A3 …A9(如图 ) .连结A1 A3 ,A1 A4,A1 A5.易知A1 A2 =A2 A3 =A3 A4=A4A5=a ,且知A1 A3 =b .由正九边形的定义可知 ,∠A1 A2 A3 =14 0° .∴∠A2 A3 A1 =2 0… 相似文献
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初二、初三年级的同学都解过这道题 ,但这道题究竟是两解 ,还是多解 ?在许多同学心中至今还是个谜 .下面笔者与大家共同对这道题作一研究 .题目 若一元二次方程的两根之比是2∶3 ,其判别式的值等于 4,求这个方程 .分析 一般同学们的解法是先将方程的两根分别设为 2k、3k .利用韦达定理作一个一元二次方程 .利用已知条件Δ =4,建立关于k的方程 ,从而求解 .解法一 设所求方程的两根为 2k、3k .故所求方程为x2 -(2k + 3k)x + 2k·3k =0 ,即 x2 -5kx + 6k2 =0 .因为 Δ =4,所以 2 5k2 -4× 6k2 =4,即 k2 =4,所以 k =± 2 .所以所求的方… 相似文献
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在第二届美国数学奥林匹克竞赛中 ,有一道求方程组根的名题 :x+y +z=3x2 +y2 +z2 =3x3+y3+z3=3,虽然这道题有丰富的内涵 ,同时它可用许多巧妙的方法解答 ,但方程组中有一个方程是多余的 .我们利用任意两个方程就可得出答案了 ,只不过要求我们具有极强的发散思维 ,同时注重细节 .为了简便 ,这里仅取前两个方程来先讲解再说明这些解法的由来 .解方程组 x+y+z =3x2 +y2 +z2 =3( 1 )( 2 )方法 1 经观察 ,发现 ( 1 ) =( 2 ) ,首先 ,( 1 ) ,( 2 )两边分别除以 3得x +y+z3 =x2 +y2 +z23=1 ,然后将 x2 +y2 +z23 开方得 ,x2 +y2 +z23= 1 =x+y +z3 ,… 相似文献
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《中学生数学》2017,(14)
<正>阅读贵刊2015年3月下刊登课外练习题,笔者通过不同途径,另解其中两道题.题一(初一(2)1)已知n个正整数按其规律排列如下a_1,a_2,a_3…a_n,且a_1=1,a_2=10,a_3=35,a_4=84,试求第n个整数a_n.解从其排列规律可以认为a_1=1=12,a_2=10=12,a_2=10=12+32+32,a_3=35=12,a_3=35=12+32+32+52+52,a_4=84=12,a_4=84=12+32+32+52+52+72+72,……则a_n=12,……则a_n=12+32+32+52+52…+(2_n-12…+(2_n-1)2.由S=1)2.由S=12+22+22+32+32+…+(2_n)2+…+(2_n)2 相似文献
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高中《数学》第二册 (上 )第六章不等式中涉及到一类无理不等式的证明 ,本文先给出它们的一种巧证 ,然后将其作统一推广 .1 巧证引理 如果x≥ 0 ,那么x =x2 .例 1 (P15例 1)求证 :3+ 7<2 5.证明 3+ 7=( 3+ 7) 2=10 + 2 2 1<10 + 2 2 5=2 5.例 2 (P16题 1)求证 :6 + 7>2 2 + 5.证明 6 + 7=( 6 + 7) 2=13+ 2 4 2>13+ 2 4 0=( 8+ 5) 2 =2 2 + 5.例 3 (P17题 4 )求证 :1) 3+ 5<4 ;2 ) 13+ 2 >5- 2 .证明 1) 3+ 5=( 3+ 5) 2=8+ 2 15<8+ 2 16 =4 .2 ) 13+ 2 =2 - 3=( 2 - 3) 2=7- 43>7- 45=( 5- 2 ) 2 =5- 2 .说明 不等式 1)与 2… 相似文献