所截是什么

在学习立体几何时 ,免不了要画截面 ,判断截面形状 ,或者判断所截几何体形状 ,但有的同学往往从主观愿望出发 ,马马虎虎看一遍题目 ,就自以为弄清已知条件了 ,然后匆忙写出结果或过程 ,从而导致“一看就会 ,一做就错”的现象 ,试看以下两例 .1　截面是什么例 1　已知正三棱柱ＡＢＣ -Ａ1 Ｂ1 Ｃ1 的棱长都是3,求过边ＢＣ且与底面ＡＢＣ成 6 0°角的截面的面积 .图 1　例 1错解图错解 :设ＢＣ的中点为Ｅ ,连结ＡＥ .在棱ＡＡ1 上取一点Ｄ ,使∠ＡＥＤ =6 0° .则在Ｒｔ△ＤＡＥ中 ,ＤＥ= ＡＥｃｏｓ6 0°=33,　　∴Ｓ△ＢＤＣ=932 .剖析 :在…     

一题多解 开阔思路

在数学学习中 ,对于某些数学题 ,只要我们认真思考、分析 ,就能想出多种解答方法 ,从而开阔我们的思路 ,提高学习兴趣 .例 1　已知 :如图 1,∠Ａ =90° ,∠Ｂ =30°,∠Ｃ =2 0° ,求∠ＢＤＣ的度数 ,有下面几种解法 ,供参考 .解法 1:由四边形内角和为36 0° ,得∠Ａ +∠Ｂ +∠Ｃ +( 36 0°-∠ＢＤＣ) =36 0° ,则　　∠ＢＤＣ =∠Ａ +∠Ｂ +∠Ｃ=90°+30°+2 0°=14 0°.解法 2 :延长ＣＤ交ＡＢ于Ｅ ,(如图 2 ) ,则∠ＣＥＢ =∠Ａ +∠Ｃ=90° +2 0°=110°.所以∠ＢＤＣ =∠ＣＥＢ +∠Ｂ上接第 35页 )　　　　 =110° +30° =14 0° .(想一…     

一道高中数学联赛题的解法探讨

20 0 1年全国高中数学联赛加试第一题是一道平面几何题 ,题目如下 :图 1　三角形如图 1,△ＡＢＣ中 ,Ｏ为外心 ,三条高ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ交于点Ｈ ,直线ＥＤ和ＡＢ交于点Ｍ ,ＦＤ和ＡＣ交于点Ｎ .求证 :1)ＯＢ⊥ＤＦ ,ＯＣ⊥ＤＥ ;2 )ＯＨ⊥ＭＮ .本文将从不同的角度给出它的几种不同的证明方法 .证法 1　 (直接法 )　 1)由题意知 ,Ａ ,Ｃ ,Ｄ ,Ｆ四点共圆 ,∴∠ＢＤＦ =∠ＢＡＣ .又∵Ｏ为外心 ,∴∠ＢＯＣ =2∠ＢＡＣ ,∠ＯＢＣ =∠ＯＣＢ ,∴∠ＯＢＣ =12 (180° -∠ＢＯＣ)=90° -∠ＢＡＣ .∴∠ＯＢＣ +∠ＢＤＦ =90°,∴ＯＢ⊥ＤＦ .同…     

数学问题解答

20 0 3年 2月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 41 6　Ｒｔ△ＡＢＣ中 ,ＡＢ =ＡＣ ,∠ＢＡＣ=90°,Ｄ、Ｅ为ＢＣ边上的两点 ,△ＡＤＥ的外接圆分别交边ＡＢ、ＡＣ于点Ｐ和Ｑ ,且ＢＰ +ＣＱ =ＰＱ ,求∠ＤＡＥ的度数 .(安徽省南陵县第二中学　金旗　2 42 40 0 )图 1引理　如图 1 ,梯形ＡＢＣＤ中 ,ＡＤ∥ＢＣ ,Ｅ、Ｆ分别为ＡＢ、ＣＤ上两点 ,且ＡＥ=ＢＥ ,ＥＦ=12 (ＡＤ +ＢＣ) ,则有ＥＦ ∥ＢＣ .(该引理较易证明 ,略 )解　如图 2 ,过Ｐ点作ＰＦ ⊥ＡＢ ,ＰＦ交ＢＣ于Ｆ点 ,取ＰＱ的中点Ｏ ,连结ＯＥ ,ＰＥ .图 2因为ＡＢ =ＡＣ ,∠Ｂ…     

平卧放置的圆柱形油罐贮油量的计算

问题　某加油站有长为ｌ,半径为ｒ的圆柱形油罐 (平卧放置 )若干 .为了检查油罐贮油量的多少 ,试求贮油量 (Ｖ)随高度 (ｈ)变化的计算公式 .图 1　油罐的横截面图数学模型分析画出圆柱直截面图 (如图 1 ) .由油罐平卧放置贮油量 (Ｖ)即是底面为弓形、长为ｌ的柱体的体积 ,高度ｈ是指弓形的高 .问题转化为Ｖ =ｌ·Ｓ弓 ＡＣＢ.计算Ｓ弓 的关键是计算Ｓ扇 ＯＡＣＢ,因而需求ＡＣＢ的弧长 ,进而需求∠ＡＯＢ的弧度数 ,只要求出∠ＢＯＨ的弧度数 .计算　由柱体的体积公式知Ｖ =Ｓ弓·ｌ.当ｈ <ｒ时 ,Ｓ弓 =Ｓ扇 ＯＡＣＢ-Ｓ△ＯＡＢ=12ＡＣＢ…     

说说高中数学中各种角定义及范围

一、问题的提出已知 :直三棱柱Ａ1 Ｂ1 Ｃ1 -ＡＢＣ ,ＡＢ =ＡＣ =ＡＡ1 且Ａ1 Ｂ与ＡＣ1 所成的角为 6 0° ,则∠ＣＡＢ的度数为 (　　 ) .(Ａ) 30°　 (Ｂ) 6 0°(Ｃ) 90°　 (Ｄ) 4 5°一位高三教师找到我 ,说这道题用补形法补成正方体 ,很易解答 ,选 (Ｃ) ,但有的学生提出 :如图分别取Ａ1 Ｂ1 ,Ａ1 Ａ ,Ａ1 Ｃ1 ,ＡＢ之中点Ｍ、Ｅ、Ｆ、Ｇ .连接ＥＧ、ＥＦ ,则由题给条件易知∠ＧＥＦ =6 0° ,若设ＡＢ =ＡＣ =ＡＡ1 =1,则ＥＦ =ＥＧ =22 ,∴ＧＦ= 22 ,但这样在Ｒｔ△ＧＭＦ中直角边ＧＭ =Ａ1 Ａ =1就会大于斜边ＧＦ =22 .究竟错在哪里 …     

数学问题解答

20 0 2年 5月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 3 71　如图 ,凸四边形ＡＢＣＤ内接于⊙Ｏ ,延长ＡＢ、ＤＣ得交点Ｅ ,延长ＢＣ、ＡＤ得交点Ｆ .Ｍ、Ｎ各是ＡＣ、ＢＤ的中点 .且ＡＣ >ＢＤ .求证 :ＭＮＥＦ =12 · ＡＣＢＤ-ＢＤＡＣ(安徽省怀宁江镇中学　黄全福　2 461 42 )证明　先注意下述两个引理 .引理 1　图形与相关条件与题目相同 ,设ＡＣ、ＢＤ相交于Ｐ .求证 :　ＯＰ⊥ＥＦ .证明　设⊙Ｏ半径为Ｒ .在射线ＦＰ上取一点Ｋ ,使得Ｂ、Ｋ、Ｐ、Ｃ四点共圆 .此时∠ＢＫＦ =∠ＢＫＰ =1 80°-∠ＢＣＰ=1 80°-∠ＢＣＡ=1 80° -∠ＢＤ…     

一个猜想的发现和证明过程

1　猜想产生的背景1 数学背景 :从空间一点引出的四条射线两两成等角 ,求这个角 .2 化学背景 :甲浣(ＣＨ4)的分子结构为一正四面体 ,四个氢原子分布在正四面体的顶点上 ,唯一的碳原子在正四面体的中心 ,其键角为 1 0 9°2 8′,这个角是怎么得到的 ?上述两个问题都可归结为下列问题 :已知Ｏ为正四面体ＡＢＣＤ的中心 ,求∠ＡＯＢ .(∠ＡＯＢ =∠ＢＯＣ =∠ＣＯＤ =∠ＤＯＡ)这个问题的几何解法有多种 ,可得到∠ＡＯＢ=ａｒｃｃｏｓ - 13 ≈ 1 0 9°2 8′ .2　猜想的产生为了寻求上述问题的更一般的解法 ,我们从更简单的情形出发进行研究 ,…     

60°角思维体操

60°角是图形中的特殊角 ,含 60°角的三角形往往有许多美妙的性质 .怎样利用 60°角的条件呢 ?好 !下面让我们一起来做 60°角思维体操 .一利用 60°角构造直角三角形图 1例 1　如图 1,圆内接四边形ＡＢＣＤ中 ,∠Ａ =60° ,∠Ｂ =90° ,ＡＤ =3 ,ＣＤ =2 .(1)求ＢＣ的长 ;(2 )求四边形ＡＢＣＤ的面积 .(第十四届江苏省竞赛题 )解　延长ＡＢ、ＤＣ交于点Ｅ .∵　∠Ｄ =180° -∠ＡＢＣ =180° -90° =90°,∠Ａ = 60° ,∴　∠Ｅ =3 0°,ＡＥ =2ＡＤ =6,ＤＥ =3 3 .∴　ＥＣ =3 3 -2 .∴　ＢＣ =12 ＥＣ =32 3 -1.(2 )在Ｒｔ△ＢＣＥ中 ,Ｂ…     

角平分线的运用

角平分线在几何题中经常出现 .熟悉角平分线的处理方法是解决与角平分线有关问题的关键 .本文仅以 2 0 0 2年两道竞赛题的多种证法为例 ,说明角平分线的运用技巧 .一、用角平分线的定义图 1如图 1 ,△ＡＢＣ中 ,∠Ａ =6 0°,∠ＡＣＢ的平分线ＣＤ和∠ＡＢＣ的平分线ＢＥ交于点Ｇ .求证 :ＧＥ =ＧＤ .( 2 0 0 2年重庆市初中数学决赛试卷Ｂ卷 )证明　连结ＡＧ .∵　角平分线ＢＥ、ＣＤ交于Ｇ ,∴　ＡＧ是∠ＣＡＢ的平分线 .又　∠ＣＡＢ =6 0°,∴∠ 3 =∠ 1 +∠ 2 =12 ( 1 80°-6 0°) =6 0°.∴　∠ＤＧＥ =1 2 0°.故　∠ＣＡＢ +∠ＤＧＥ …     

初二几何第一学期期末自测题

Ａ组一 .填空题 (每小题 3分 ,共 3 0分 )1 .△ＡＢＣ的三边长分别是 2ｘ ,3ｘ ,1 0 ,则ｘ的取值范围是 .2 .在Ｒｔ△ＡＢＣ中 ,∠Ｃ =90°,ａ =6,ｃ =1 0 ,则ｂ =.3 .一个等腰三角形底边上的中线为 4ｃｍ ,那么它底边上的高为ｃｍ .4.等腰三角形两边分别是 3ｃｍ和 4ｃｍ ,则它的周长是 .5 .若等腰三角形一个角为 1 0 0°,则另外两个角是.6.在△ＡＢＣ中 ,若 12 (∠Ａ +∠Ｂ) =45° ,则△ＡＢＣ为三角形 .7.在△ＡＢＣ中 ,∠Ａ∶∠Ｂ∶∠Ｃ =2∶3∶4,则∠Ａ =,∠Ｂ =,∠Ｃ =.8.若等边△ＡＢＣ的边长为ａ ,则△ＡＢＣ的面积Ｓ△ＡＢＣ= .9.…     

一道竞赛题的多种证法

2002年全国初中数学竞赛中有这样一道几何题 :△ＡＢＣ内 ,∠ＢＡＣ =6 0° ,∠ＡＣＢ =40° ,Ｐ、Ｑ分别在ＢＣ、ＣＡ上 ,并且ＡＰ、ＢＱ分别是∠ＢＡＣ、ＡＢＣ的角平分线 .求证 :ＢＱ +ＡＱ =ＡＢ +ＢＰ .下面给出它的几种证法 .图 1证法 1　延长ＡＢ到Ｄ ,使ＢＤ =ＢＰ ,连结ＤＰ(如图 1 ) ,则∠Ｄ =∠ＢＰＤ .∵　∠ＡＢＣ =1 80°-(∠ＢＡＣ +∠ＡＣＢ) =80° ,∴　∠Ｄ =∠ＢＰＤ=40° ,∴　∠Ｃ =∠Ｄ .∵　∠ 1 =∠ 2 ,　ＡＰ =ＡＰ ,∴　△ＡＣＰ≌△ＡＤＰ ,∴　ＡＣ =ＡＤ ,即ＡＱ +ＣＱ =ＡＢ +ＢＤ .又∵　∠ 3=12 ∠ＡＢＣ =…     

球面距离的计算

现行高一《立体几何》课本中 ,介绍了球面距离的概念 ,但没有例题 ,而这方面的习题却很多 ,同学们学习时普遍感到困难 .下面给出这类习题解答的示范 ,以供同学们参考 .1　位于同一纬度线上两点的球面距离例 1　已知Ａ ,Ｂ两地都位于北纬 4 5°,又分别位于东经 30°和 6 0°,设地球半径为Ｒ ,求Ａ ,Ｂ的球面距离 .分析 :要求两点Ａ ,Ｂ的球面距离 ,过Ａ ,Ｂ作大圆 ,根据弧长公式 ,关键要求圆心角∠ＡＯＢ的大小 (见图 1) ,而要求∠ＡＯＢ往往首先要求弦ＡＢ的长 ,即要求两点的球面距离 ,往往要先求这两点的直线距离 .解　作出直观图 (见图 2 …     

一道全国联赛加试题的推广

2002年全国高中数学联赛加试第一题 :图 1问题　如图 1,在△ＡＢＣ中 ,∠Ａ =6 0° ,ＡＢ >ＡＣ ,点Ｏ是外心 ,两条高ＢＥ ,ＣＦ交于Ｈ点 ,点Ｍ、Ｎ分别在线段ＢＨ ,ＨＦ上 ,且满足ＢＭ =ＣＮ .求 ＭＨ +ＮＨＯＨ 的值 .分析　如图 1,ＭＨ =ＢＨ -ＢＭ ,ＮＨ =ＣＮ -ＣＨ ,又　ＢＭ =ＣＮ ,∴　ＭＨ +ＮＨ =ＢＨ -ＣＨ ,于是　 ＭＨ +ＮＨＯＨ =ＢＨ -ＣＨＯＨ .问题等价于求 ＢＨ -ＣＨＯＨ 的值 .下面我们来解答本题的一般情况 .推广题　在△ＡＢＣ中 ,ＡＢ >ＡＣ ,点Ｏ是外心 ,Ｈ是垂心 ,则　 ＢＨ -ＣＨＯＨ =2 (ｃｏｓＢ -ｃｏｓＣ)1-8…     

都是“高”惹的祸

三角形的高、中线和角平分线是三角形中的三种重要线段 ,与三角形的中线和角平分线不同的是三角形的三条高不一定都在三角形的内部 ,而同学们在实际解题中常常淡忘了这一点 ,从而造成解题的漏解错误 .下面举例说图 1明 .例 1　若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 45° ,则这个等腰三角形的底角为.错解　如图 1,在△ＡＢＣ中 ,ＡＢ =ＡＣ ,ＣＤ⊥ＡＢ于Ｄ ,∠ＡＣＤ =45° ,则∠Ａ =45° ,所以底角∠Ｂ =12 (180° -4 5°) =67.5°.图 2剖析与改正　本题符合条件的等腰△ＡＢＣ有两种 :顶角∠Ａ为锐角 ,高ＣＤ在△ＡＢＣ内部 (如图1) ,…     

用解析法解答一道加试平面几何题

20 0 2年全国高中数学联赛加试试题第一题是一道平面几何题 ,参考答案给出的是纯几何法 ,作辅助线的技巧较高 .图 1题目　如图 ,在△ＡＢＣ中 ,∠Ａ= 6 0° ,ＡＢ >ＡＣ ,点Ｏ是外心 ,两条高ＢＥ、ＣＦ交于Ｈ点 ,点Ｍ、Ｎ分别在线段ＢＨ、ＨＦ上 ,且满足ＢＭ =ＣＮ ,求 ＭＨ +ＮＨＯＨ 的值 .解　以Ａ点为原点 ,线段ＡＢ所在直线为ｘ轴建立如图所示的平面直角坐标系 ,∴　Ａ点坐标为 (0 ,0 ) ,∵　∠Ａ =6 0° ,∴设Ｂ、Ｃ的坐标分别为 (ｂ,0 ) ,(ｃ,3ｃ) ,∵　 |ＡＢ| >|ＡＣ| ,　∠Ａ =6 0° ,∴　∠Ｂ <6 0° =∠Ａ ,∴　ｃ <ｂ2 ,∴　线…     

面积法解题举隅

对于一些涉及三角形的解析几何题 ,灵活地引用三角形面积公式 ,可以优化解题过程 ,请看下面的例图 1子 .例 1　在△ＡＢＣ中 ,∠Ａ= 6 0° ,Ｓ△ＡＢＣ=8,试求ＢＣ边的中点Ｍ的轨迹方程 .解　以Ａ为原点 ,直线ＡＣ为ｘ轴 ,建立如图 1所示的直角坐标系 ,设Ｍ (ｘ,ｙ)(ｘ>0 ,ｙ >0 ) ,则　ＡＣ =2 (ｘ - 33ｙ) ,　ＡＢ =2·2 33ｙ ,∵　Ｓ△ＡＢＣ=12 ·ＡＣ·ＡＢ·ｓｉｎ∠ＢＡＣ =8,∴　 12 ·2 (ｘ - 33ｙ)·2·2 33ｙ·ｓｉｎ6 0°=8.故点Ｍ的轨迹方程是ｘｙ - 33ｙ2 =4　 (ｘ≥4 42 73,轨迹是双曲线在第一象限内的一支 ) .图 2例 2　如…     

tan15°值的若干几何求法

在北京版初中实验教材初三几何中 ,给出了ｔａｎ1 5°值的几何求法 (见方法 1 ) .笔者在教学中发现 ,还可利用学生熟知的其它几何图形来求得ｔａｎ1 5°的值 .现总结如下 .方法 1 :如图 ,在Ｒｔ△ＡＢＣ中 ,∠Ｃ =90° ,∠ＡＢＣ =30°,延长ＣＢ至Ｄ ,使ＡＢ=ＢＤ ,则∠Ｄ =1 5° ,ｔａｎＤ =ＡＣＤＣ.不妨设ＡＣ =1 ,则ＢＣ=3,ＢＤ =ＡＢ =2 ,所以ＤＣ =2 + 3,ｔａｎ1 5° =12 + 3=2 - 3.方法 2 :如图 ,在Ｒｔ△ＡＢＣ中 ,∠Ｃ =90° ,∠ＡＢＣ =30°,ＢＤ平分∠ＡＢＣ ,则∠ 1 =1 5°,ｔａｎ∠ 1 =ＤＣＢＣ.不妨设ＡＣ=1 ,则ＢＣ=3,ＡＢ=2…     

数学问题解答

20 0 2年 3月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 361　如图 ,Ｃ为半圆上一点 ,ＣＤ⊥ＡＢ于Ｄ ,ＡＢ为直径 ,Ｇ、Ｈ分别为 △ ＡＣＤ、△ ＢＣＤ的内心 ,过Ｇ、Ｈ作直线交ＡＣ、ＢＣ于Ｅ、Ｆ ,求证 :ＣＥ =ＣＦ .(安徽省肥西中学　刘运谊　 2 31 2 0 0 )证明　连结ＤＧ并延长ＡＣ于Ｍ ,连结ＤＨ并延长ＣＢ于Ｎ ,再连结ＭＮ、ＡＧ、ＢＮ .因为ＣＤ⊥ＡＢ所以∠ＣＤＡ=∠ＣＤＢ =90°而Ｇ、Ｈ分别为 △ＡＣＤ、△ＢＣＤ的内心所以ＤＭ、ＤＮ分别是∠ＣＤＡ =∠ＣＤＢ的平分线所以∠ＭＤＣ =∠ＭＤＡ=∠ＮＤＣ =∠ＮＤＢ= 45°在 △ ＭＡＤ和…     

初三几何第一学期期中自测题

Ａ组一.选择题(每小题3分,共30分)1.在Ｒｔ△ＡＢＣ中,∠Ｃ=90°,ａ,ｂ,ｃ分别是∠Ａ,∠Ｂ,∠Ｃ的对边,下列关系式中错误的是(　).Ａ.ｂ=ｃ·ｃｏｓＢ　　　　Ｂ.ｂ=ａ·ｔｇＢＣ.ａ=ｃ·ｓｉｎＡ　Ｄ.ａ=ｂ·ｃｔｇＢ2.在Ｒｔ△ＡＢＣ中,∠Ｃ=90°,ＡＣ=3,ＢＣ=4,则ｃｏｓＡ=(　).Ａ.34　　Ｂ.35　　Ｃ.43　　Ｄ.453.当锐角Ａ>60°时,ｓｉｎＡ的值(　).Ａ.小于12　　　　　　Ｂ.大于12Ｃ.小于32Ｄ.大于324.如果∠Ａ为锐角,且ｃｏｓＡ=35,那么(　).Ａ.0°<∠Ａ≤30°　　Ｂ.30°<∠Ａ≤45°Ｃ.45°<∠Ａ≤60°　Ｄ.60°<∠Ａ≤90°5.已和α…