关于丢番图方程（195n）^x＋（2Sn）^y=（197n）^z

运用同余及元素阶的性质,证明了对任意的正整数n,丢番图方程（195n）^x＋（2Sn）^y=（197n）^z仅有正整数解（x,y,Z）=（2,2,2）．     

关于Diophantine方程（44n）x＋（117n）y=（125n）z 的整数解

在Jeismanowicz猜想的基础上,利用初等方法证明了对任意的正整数n, Diophantine方程（44n）x＋（117n）y=（125n）z 仅有正整数解（x, y, z）=（2,2,2）。     

函数f（x）=a/sin^n x＋b/cos^n x最小值猜想的推广

文[1]中猜想：f（x）=a/sin^n x＋b/cos^n x（0〈x〈π/2,a,b∈R^＋,n∈N＋），当且仅当x=arctan ^n＋2√a/b时，取最小值（a 2/n＋2＋b 2/n＋2）n＋2/2。笔者发现不但此猜想是正确的，而且还得到它的一个推广，下面给出推广及证明（初等证明）．     

指数Diophantine方程(143n)~x+(24n)~y=(145n)~z

设(a,b,c)是一组满足a~2+b~2=c~2,gcd(a,b)=1,2|b的本原商高数,运用初等数论方法讨论方程(an)~x+(bn)~y=(cn)~z正整数解(x,y,z,n),证明了:当(a,b,c)=(143,24,145)时,方程仅有正整数解(x,y,z,n)=(2,2,2,m),其中m是任意正整数,上述结果说明此时Jesmanowicz猜想成立.     

关于Diophantine方程(20n)x+(21n)y=(29n)z

设a,b,c是满足条件a2+ b2=c2的两两互素的正整数.Jesmanowicz于1956年猜想对于任意给定的正整数n,方程(an)x+(bn)y=(cn)z仅有解(x,y,z)=(2,2,2).本文证明了方程(20n)x+(21n)y=(29n)z有唯一解(x,y,z)=(2,2,2).     

一个n元分式不等式北大核心

《中学数学》2007年（7）P41证明了如下定理： 若a,b,c,d∈R＋,a＋b＋c＋d=1,1/（1＋a^2）^2＋1/（1＋b^2）^2＋1/（1＋c^2）^2＋1/（1＋d^2）^2≤824/289.     

关于丢番图方程(na)~x+(nb)~y=(nc)~z（英文）

设(a,b,c)为本原的商高数组,满足a~2+b~2=c~2且2|b.1956年,Jesmanowicz猜想:对任给的正整数n,丢番图方程(na)~x+(nb)~y=(nc)~z仅有正整数解x=y=z=2.令P(n)表示n的所有不同素因子乘积.对商高数组(a,b,c)=(p~(2r)-4,4p~r,p~(2r)+4),其中p为大于3的素数且p■1(mod 8),本文证明在条件P(a)|n或者P(n)a下,Jesmanowicz猜想成立.     

关于k√n的不等式猜想的再研讨

文[1]给出了一个关于k√n的不等式猜想，文[2]指出该猜想的右侧不等式，即对于正整数n，k〉1，不等式k√n〈kn＋（k-1）/k＋1k√n-k（n-1）＋（k-1）/k＋1k√n-1在k=2时不成立，当k〉2时成立．本文研究了该猜想的左侧不等式，对于正整数n，k〉1，不等式     

一个包含Z（n）和D（n）函数的方程及其它的正整数解

对于任意正整数n,著名的伪Smarandache函数Z（n）定义为最小的正整数m使得n｜m（m＋1）／2．而数论函数D（n）定义为最小的正整数m使得n｜d（1）d（2）d（3）…d（m）,其中d（n）为Dirichlet除数函数．本文的主要目的是利用初等方法研究一类包含伪Smarandache函数Z（n）和数论函数D（n）的方程2^z（n）=D（n）的可解性,并获得了该方程的所有正整数解．     

一道日本奥赛题的别证及其它

对如下一道日本数学奥林匹克试题： 问题1已知a,b,c〉0,求证：（b＋c-a）^2/（b=c）^2＋a^2＋（c＋a-b）^2/（c＋a）^2＋b^2＋（a＋b-c）^2/（a＋b）^2＋c^2≥3/5.     

一道不等式试题的探究

一、问题提出 已知a,b,c∈R^＋且a＋b＋c=2． （1）求证：√a（2-a）≤9^-4√6;     

一个不等式的推广

文[1]给出了不等式：设a、b、c为正数,且a＋b＋c=1,则有（1/a＋b-c）（1/a＋c-b）（1/b＋c-a）≥（7/6）^3,当且仅当a=b=c=1/3时等号成立．     

一道习题引发对减元策略的探究

问题提出 已知对任意实数r,二次函数f（x）=ax2＋bx＋c恒非负,若a〈b,则M=a＋b＋c/b-a的最小值等于____．     

关于“一组有趣的数字”的进一步探讨

王世强教授在文[1]中介绍了这样一组有趣的数字：若 a=123789,b=561945,c=642864; d=242868,e=323787,f=761943． 则有 a＋b＋c=d＋e＋f及a^2＋b^2＋c^2=d^2＋e^2＋f^2（＊）把a,b,c,d,e,f的最高1位,2位,3位,4位,5位数字依次去掉后,仍有（＊）式成立．     

一类最值题的命制及其求解

第20届伊朗数学竞赛中有如下一道三元不等式题：已知a,b,c为正实数,a2＋b2＋c2＋abc=4,求证：a＋b＋c≤3.如果退化为二元情况,不妨令c=b,则题设条件变为a2＋2b2＋ab2=4（＊）,整理得a＋b2=2,在此式中再分别令a=x＋y/2,b=xy（1/2）或者a=2x＋y/3,b=xy（1/2）等,并代入后进行整理,就得到下列几道最值题：问题1已知x,     

一道奥赛问题的几种基本解法

第三届北方数学奥林匹克邀请赛有这样一道试题：设△ABC的三边长分别为a，b，c，且a＋b＋c=3，求f（a，b，c）=a^2＋b^2＋c^2＋4/3abc的最小值．     

一个最值问题的探究

问题1已知二次函数f（x）=ax^2＋bx＋c（b〉a）对于任意实数x都有f（x）≥0,求a＋b＋c/b-a的最小值．     

数学问题解答北大核心

2018年5月号问题解答（解答由问题提供人给出） 2421已知a,b,c,d∈R^＋,且a＋b＋c=3,求证： 2（4√a＋4√b＋4√c）＋3≥3（ab＋bc＋ca）． （安徽省六安第二中学 陶兴红 237005）     

一道联考试题的思考过程

下题是江苏省淮阴中学、姜堰中学、前黄中学联考的一道填空题： 题目 已知函数f（x）=x｜x-2｜,若存在互不相等的实数a、b、c,使得f（a）=f（b）=f（c）成立,则a＋b＋c的取值范围为____．     

待定系数法解一类条件最值题

问题 设x,y是实数,且a1x2＋b1xy＋c1y2=m（m≠0）时,求S=a2x2＋b2xy＋c2y2的取值范围．