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数学问题解答 总被引:1,自引:1,他引:0
20 0 4年 1月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 471 求方程组 x+y =ztz+t =xy的非负整数解 .解 因为方程组中x与y ,z与t可以互换 ,所以可以先求满足 0 ≤x≤y ,0 ≤z≤t的整数解组 (x,y ,z,t) .( 1 )若x、z中有一个为零 ,不妨设x=0 ,则由原方程组消去t得 :y+z2 =0所以y =z=0 ,t= 0 .即 ( 0 ,0 ,0 ,0 )是原方程组求的一组解 .( 2 )若x ,z都不是 0 ,但是有一个为 1 ,设x=1 ,则由原方程组消去y得 :t+z=zt - 1所以 (z- 1 ) (t- 1 ) =2 ,因为z,t为正整数且z≤t,所以z - 1 =1t- 1 =2 得z=2 ,t =3,y=5即 ( 1 ,5 ,2 ,3)是原方程组的一组解 ,同… 相似文献
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在第二届美国数学奥林匹克竞赛中 ,有一道求方程组根的名题 :x+y +z=3x2 +y2 +z2 =3x3+y3+z3=3,虽然这道题有丰富的内涵 ,同时它可用许多巧妙的方法解答 ,但方程组中有一个方程是多余的 .我们利用任意两个方程就可得出答案了 ,只不过要求我们具有极强的发散思维 ,同时注重细节 .为了简便 ,这里仅取前两个方程来先讲解再说明这些解法的由来 .解方程组 x+y+z =3x2 +y2 +z2 =3( 1 )( 2 )方法 1 经观察 ,发现 ( 1 ) =( 2 ) ,首先 ,( 1 ) ,( 2 )两边分别除以 3得x +y+z3 =x2 +y2 +z23=1 ,然后将 x2 +y2 +z23 开方得 ,x2 +y2 +z23= 1 =x+y +z3 ,… 相似文献
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十年制高中数学第三册《三元齐次线性方程组》一节中有定理: 三元齐次线性方程组 a_1x+b_1y+c_1z=0 a_2x+b_2y+c_2z=0 a_3x+b_3y+c_3z=0有非零解的充要件是系数行列式 相似文献
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2003年北欧数学奥林匹克有一道数论题:求所有的三元整数组(x,y,z),使得x3+y3+z3-3xyz=2003.
由于2003是质数,我们把它推广为如下更一般的结论:…… 相似文献
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点到空间直线距离的一个公式 总被引:2,自引:1,他引:1
利用求条件极值的拉格朗日乘数法给出了空间中点P(x0,y0,z0)到直线A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0距离的一个公式d=|(A1x0+B1y0+C1z0+D1)n2-(A2x0+B2y0+C2z0+D2)n1|/|n1×n2|,其中ni={Ai,Bi,Ci},(i=1,2) 相似文献
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《数字通报》2012年第1期问题2045如下:
x,y,z>0且x+y+z=1,求证:
1/1+x+x2+1/1+y+y2+1/1+z+z2≥27/13.
本文从变元个数和幂指数方面给出上述不等式的一个推广. 相似文献
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课题一次不定方程适用年级初中一年级学期2005-2006学年度第一学期训练目的1.使学生掌握判断整系数不定方程有整数解的方法;2.使学生理解并掌握整数离析法术整系数不定方程的整数解和正整数解;3.使学生应用消元思想将三元一次不定方程转化为二元不定方程求解.典型范例求不定方程5x+7y=978的整数解,并求正整数解的个数. 相似文献
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1999年11月号数学问题解答(解答由问题提供人给出)1221.求方程组x y z=3x3 y3 z3=3的所有整数解.解 原方程组化为x y=3-z(1)x3 y3=3-z3(2)(1)3-(2),得3xy(x y)=24-27z 9z2(3)(1)代入(3),可得xy=8-9z 3z23-z(4)由(1)、(4)知x、y是以下二次方程的两个整数根:t2-(3-z)t 8-9z 3z23-z=0解得t1,2=3-z±(z-1)2·z 5z-32=3-z±(z-1)2(1 8z-3)2(5)由此知,x、y、z均为整数当且仅当z-1=0或z-3=1或z-3=-8,即z=1或z=4或z=-5.将其依次代入求根公式(5),得原方程组的所有整数解(共四组):x=1y=1z=1或x=-5y=4z=4或x=4y=-5z=4或x=4y=4z=-5注:(5)式中根号内的(z… 相似文献
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1.平面法向量的"内积"求法
设平面α的法向量=(x,y,z),在平面α内任找两个不共线的向量、b作为基底.根据⊥平面α,得·=0且·b=0,由此得到关于x,y,z的三元方程组,解此方程组时,先用其中一元表示另两元,再令该元为一恰当值,即可得到.例1设=(1,-2,3),b=(-2,-1,2)是平面α的一组基底,求平面α的一法向量. 相似文献
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1 高中教师的赛题以下的这道赛题,本来是用来考高中教师的:赛题试求最大的常数λ,使得下列不等式对于满足条件x+y+z=0的实数x,y,z恒成立:1/5x2+6x+12+1/5y2+6y+12+1/5z2+6z+12≤λ趣事 一位初中学生看到了这道题目,他说式中的λ=1/4. 相似文献
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文 [1]提出如下有趣问题 :设λ、μ、ν为不全为零的非负实数 ,求使不等式xλx+ μy +νz + yλy+ μz +νx +zλz+ μx+νy ≥ 3λ+ μ+ν (1)对任意正实数x ,y ,z都成立的充要条件 .经探讨 ,我们得到了下面的定理 1 当λ、μ、ν≥ 0且 μ ,ν不全为零时 (若 μ =ν =0 ,λ ≠ 0 ,则 (1)为恒等式 ) ,(1)对任意x ,y,z>0成立的充要条件是2λ≤ μ +ν .证明 用 ∑f(x ,y ,z)表示 f(x ,y ,z)+ f(y ,z ,x) + f(z ,x ,y) ,经演算有∑x(λy + μz+νx) (λz+ μx +νz)=λμν∑x3 + (λ3 + μ3 +ν3 + 3λμν)xyz +(λ2 μ+ μ2 ν+ν2 λ) … 相似文献
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1 高中教师的赛题以下的这道赛题,本来是用来考高中教师的:赛题试求最大的常数λ,使得下列不等式对于满1足条件x+y+z=0的实数x,y,z恒成立:1/5x2+6x+12+1/5y2+6y+12+1/5z2+6z+12≤λ. 相似文献
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题:解方程组解:观察方程组的特征易看出左边相加有1 (1 y)(1 z),且右边相加为1,故有如下简捷解法: ① ②,整理得:(1 y)(1 z)=0, ∴1 y=0,1 z=0,即y=-1,z=-1 故原主程组的解为{y=-1,z=-1。} 由上述方程组及其解,我们有一个意外的收获——韦达定理之逆定理的一个反例: 原主程组实际为:{yz=4 y z=-5} 由韦达定理逆定理知满足此方程组即满足原方程组的y、z之(实数)值应为方程x~2 5x 4=0的两根; 从上述原方程组的解显见y=-1,z=-1,则有x~2 5x 4=0有二重根,应有△=0; 相似文献