试题研讨(2)

题 1　二次函数 f(x) =ax2 bx c(a为非零整数 )为偶函数 ,对于 x∈ R,f(x)≤ 1恒成立 ,且 f(1) =0 .( )求 f (x)的解析式 ;( )若 F(x) =f (x)- f(x)(0 F(- x) x;( )设 0 <|m|<1,0 <|n|<1,且 mn <0 ,试寻找使 F(m) F(n) <0成立的 m和 n还应满足的条件 .(2 0 0 2年 3月湖北省宜昌市高三试题 )命题溯源　在 2 0 0 0年之前的全国高考数学试卷中没有出现给出分段函数 (周期函数除外 )的解答题 ,自从 2 0 0 0年全国高考数学试卷第 2 1题出现分段函数的应用题以后 ,两年来关于分段函数与不等式的综…     

含参不等式恒成立问题的几种类型

对于含参不等式恒成立问题,涉及知识面广,具有较高的解题技巧.下举例介绍含参不等式恒成立问题的类型及求解方法.一、对于一次函数f(x)=kx+b,若f(m)>0,f(n)>0,则当x∈[m,n]时,f(x)>0.例1已知y=(log2x-1)(olgab)2+log2x-6log2x·logab+1(a>0,a≠1),当x∈[1,2]时,y的值恒为正,求b的取值范围.解由y=(log2x-1)(logab)2+log2x-6log2x·logab+1=[(logab)2-6logab+1]·     

几类关于“不等式成立条件”问题的辨析

许多数学问题 ,往往只是一字之差 ,但审题不严、理解有误 ,则会导致解题错误 ,可谓“差之毫厘 ,谬之千里” .不等式的“能”成立、“恒”成立与“恰”成立问题便是一例 .例 1　已知 f(x)是定义在 (-∞ ,4 ]上的减函数 ,若 f(m -sinx)≤ f 1+2m - 74 +cos2 x对一切实数x恒成立 ,求m的取值范围 .解　由题意可得不等式组m -sinx≤ 4 ,1+2m - 74 +cos2 x≤ 4 ,m -sinx≥ 1+2m - 74 +cos2 x对x∈R恒成立 m≤ 4 +sinx ,1+2m≤2 34-cos2 x ,m - 1+2m≥sinx +cos2 x - 74对x∈R恒成立 m≤ (4+sinx) min,1+2m≤ 2 34-cos2 xmin,m - 1+2m≥sinx +cos2…     

恒不等式性质的应用

恒不等式具有下述两个重要性质：（1）a≥f（x）恒成立a≥fmax（x）或a＞f(x）恒成立a＞fmax（x）；（2）a≤f（x）恒成立≤fmax（x）或a＜f(x）恒成立a＜fmin（x）．灵活运用上述两性质解题有时特别奏效．现举例说明如下：例1（1995年全国高考题）已知y＝loga（2—ax）在［0，1」上是x的减函数，则a的取值范围是（）（A）（0，1）（B）（1，2）（C）（0，2）（D）［2，十）解由复合函数的单调性及题设知：a＞1且2-ax>0在x[0，1]时恒成立．x=0时，2—ax＞0恒成立；x0时，由2—ax＞O得a＜，由性质（2）知a<（）min=2，故选（B）．例2（199…     

用求导法解2001年高考第20(Ⅱ)题

20 0 1年高考数学试卷理科第 2 0 ( )题为 :已知 r、m、n是正整数 ,且 1( 1 n) m .标答中是应用二项式定理来解 ,多数考生是用均值不等式法 (见本期 P4 2 ) .这里给出构造辅助函数和用求导的方法 .解∵　 11,∴　 f′( x) <0 ,则　 f( x)为单调递减函数 .又　 2≤ m ln( 1 n)n ,nln( 1 m) >mln( 1 n) .故…     

错在哪里?

问题　已知 ,{an}是递增数列 ,且对任意n∈N+ ,都有an=n2 +λn恒成立 ,则实数λ的取值范围是 (　　 )(A) (- 7/ 2 ,+∞ ) .　　　　 (B) (0 ,+∞ ) .(C) (- 2 ,+∞ ) . (D) (- 3,+∞ ) .解法 1　当λ >0时 ,f(x) =x2 +λx在区间(-λ/ 2 ,+∞ )上是递增函数 ,故在其子区间 [1,+∞ )上也是递增的 .于是满足关系式an=f(n)的数列 {an}是递增数列 ,选 (B) .解法 2　因为an=n2 +λn是函数 f(x) =x2 +λx当x∈N+ 时的特殊取值 ,而 f′(x) =2x +λ ,欲使x∈N+ 时f′(x) >0恒成立 ,只须λ >- 2x恒成立 ,而x∈N+ ,所以 - 2x≤ - 2 ,故只须λ >- 2 …     

巧用等价转化解含参数的恒成立不等式问题

求解合参数的恒成立不等式问题是近几年来各类考试的热点题，这类问题由于既有参数又有变量，学生往往感到很棘手，常因解法不当花费过多时间或半途而废．如何处理好这类问题呢？等价转化是解决问题、减少运算量的重要途径，即运用等价转化思想将其转化为大家熟悉的函数问题，运用函数的性质求解．1转化为一农函数问题、经过恰当的变形，将其转化为一次函数，运用一次函数的性质求解．一次函数人X）一kx十b（kwt0）有下面性质：‘（1）人x）＞0在b，n」上恒成立ed人m）＞O且人n）＞0；（2）若k＞0，N4人x）＞0在【m，n」上恒成立ed八m）＞…     

含绝对值不等式的“转化”错了吗——一类恒成立问题错误之剖析

湘教版《不等式选讲》教师教学用书中对f(x)＞g(x)与f(x)＜g(x)型不等式作了如下转化: │f(x)│＞g(x)(≒)f(x)＞g(x)或f(x)＜-g(x),(1);│f(x)│＜g(x)(≒)-g(x)＜f(x)＜g(x),(2). 但(1)在解决恒成立问题时却遇到了麻烦. 例1 已知不等式│a-2x│＞x-1在x∈[0,2]恒成立,求实数a的取值范围.     

分割区间来解题,也是一种好方法!

高考题1(2010.福建.理.15)已知定义域为(0,+∞)的函数f(x)满足:(1)对任意x∈(0,+∞),恒有f(2x)=2f(x)成立;(2)当x∈(1,2]时,f(x)=2-x.给出如下结论:①对任意m∈Z,有f(2m)=0;②函数f(x)的值域为[0,+∞);③存在n∈Z,使得f(2n+1)=9;④"函数f(x)在区间(a,b)上单调递减"的充     

争鸣

问题　　问题61　笔者在教学中,遇到了这样一个有趣的问题,同学们给出了三种不同的解法,都认为自己的解法有道理.然后,我们几个老师在一起讨论,也有所分歧.现请贵刊予以讨论.题目　设函数y=F(x) ,其定义域为[0 ,+∞) ,值域为R,已知F(x2 - 2 mx+ m+ 2 )的值域为R,求m的取值范围.解法1　令f(x) =x2 - 2 mx+ m+ 2 ,则可转化为对任意x∈R,f(x)≥0恒成立.故Δ=4 m2 - 4(m+ 2 )≤0 ,∴- 1≤m≤2 .解法2　由题意,y=f(x)的图象与直线y=0相切,即f(x)的最小值为0 (x∈R) .故Δ=4 m2 - 4(m+ 2 ) =0 ,∴m=- 1或m=2 .解法3　由题意,只要保证f(x)能取遍…     

一道高考试题的常规解法

2012年高考浙江理科卷第22题:已知a>0,b∈R,函数f(x)=4ax3-2bx-a+b.(Ⅰ)证明:当0≤x≤1时,(ⅰ)函数f(x)的最大值为|2a-b|+a;(ⅱ)f(x)+|2a-b|+a≥0;(Ⅱ)若-1≤f(x)≤1对x∈[0,1]恒成立,求a+b的取值范围.本题主要考察不等式、导数、单调性、线性规划等知识点及综合运用能力.官方给出的答案中,对(Ⅰ)(ⅱ)的解答中运用了"放缩法",有一定的     

用定比分点公式巧解一题

题已知二次函数f(x)=ax2 bx c(a,b,c∈R)的图像经过点(-1,0),且x≤f(x)≤12(x2 1),对一切实数x都成立,求f(x).分析本题显然是一道不等式恒成立问题,利用一元二次不等式恒成立知识点来解决,其运算量较大,如果用定比分点公式来解,求解过程就会变得简单、明了.解设A(x),B(f(x)),C(12(x2 1))为数轴上的三点,则ABBC=,λ由于当x∈R时,总有x≤f(x)≤12(x2 1)恒成立,∵λ≥0,由定比分点公式得f(x)=x λ(x2 12)1 λ,又∵曲线y=f(x)经过点(-1,0),∴0=-1 λ1 λλ=1,∴f(x)=14x2 12x 14.本题若结合1≤f(1)≤1 f(1)=1,又f(-1)=0来求解,其运算量也较…     

运用函数思想证不等式

1.利用一次函数证明不等式 由一次函数y=kx+b的图像可知,如果 f(m)>0,f(n)>0,则对一切x∈(m,n)均有 f(x)>0,反之,如果f(m)<0,f(n)<0,则对 一切x∈(m,n)均有f(x)<0,把这一性质称 为保号性,利用一次函数的保号性可以证明一 些不等式. 例1 设a,b,c都是绝对值小于1的实 数,求证:ab+bc+ca>-1 (*) 证明 ∵ab+bc+ca+1     

例谈高考中“参数范围”问题的求解策略

在近几年的高考中,求参数的取值范围问题成了高考的热点,对于学生来说也是难点,求参变量的取值范围是高中数学中的一个重要内容,其中不少问题靠传统方法不容易求解,下面笔者结合一些教学实践谈谈其应用.一、利用函数最值求参数的取值范围解题中遇到形如"要使f(x)>a成立"或"要使f(x)a恒成立或f(x)_max0,b∈R,函数f(x)=4ax~3-2bx-a+b.     

貌合神离的几类不等式成立问题

不等式经常与函数导数结合在一起,作为高考的压轴题出现.而有几类不等式成立问题极易混淆,需引起同学们的注意,现举例如下:一、找准自变量,解决不等式恒成立问题例1已知不式mx2-2x-m+1≤0,设此不等式对于满足2≤x≤3恒成立,求m的取值范围.     

不等式的恒成立和恒不成立问题

本文举例说明不等式中的恒成立和恒不成立问题的相应解法,供同学们参考．一、恒成立问题对于恒成立问题,我们有定理1 对于函数f(x),a≥f(x)恒成立的充要条件是a≥f(x)的最大值;a≤f(x)恒成立的充要条件是a≤f(x)的最小值．     

由一道高考题引发的探索与思考

1 问题出现 孰是孰非 高考结束的第二天,班里平时爱动脑筋的学生甲来问笔者:“李老师,12题怎么做?”作为最后一道选择题,此题必有含金量,笔者极为重视. 题1(2015全国理Ⅱ-12)设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x＞0时,xf'(x)-f(x)＜0,则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是() A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞) C.(-∞,-1)∪(-1,0) D.(0,1)∪(1,+∞) 笔者的解答是:由题意,设h(x)=f(x)/x,则h'(x)=xf'(x)-f(x)/x2.由于f(x)(x∈R)是奇函数,f(-1)=0,所以f(1)=0,f(0)=0,函数f(x)有这三个零点.显然h(x)是偶函数,由于xf'(x)-f(x)＜0,故当x＞0时,h'(x)＜0,h(x)在(0,+∞)上单调递减,因此,h(x)在(-∞,0)上单调递增.当x∈(-∞,-1)时,h(x)=f(x)/x＜0,f(x)＞0;当x∈(-1,0)时,h(x)=f(x)/x＞0,f(x)＜0;当x∈(0,1)时,h(x)=f(x)/x＞0,f(x)＞0;当x∈(1,+∞)时,h(x)=f(x)/x＜0,f(x)＜0.故综上,x∈(-∞,-1)∪(0,1),选A.     

剖析命题修正结论完善简解

文[1]给出了如下命题:命题如果x＞0时,f(x),g(x)连续可导,且limx→0f(x)=limx→0g(x),则当x≥0(或x＞0)时,若f(x)≥g(x)恒成立,那么f′(x)≥g′(x)恒成立.并利用该命题简解了一类高考压轴题:“对(A)x≥0,f(x)≥g(x)或f(x)≤g(x)恒成立,其中f(x)或g(x)含参数a,试确定参数a的取值范围.”简解的思路是:对(A)x≥0,只要对f(x)≥g(x)或f(x)≤g(x)两边取导数,再从f′(x)≥g′(x)或f′(x)≤g'(x)中分离出参数a,转化为最值问题.     

分数(g,f,m)-消去图的不相邻顶点领域并条件（英文）

一个图称为分数(g,f,m)-消去图若删除任意m条边后的剩余子图依然存在分数(g,f)-因子.本文证明若图G的阶为n,1≤a≤g(x)≤f(x)-Δ≤b-Δ对任意顶点x∈V(G)成立,δ(G)≥(b-Δ)(b+1)/a+2m,n≥(a+b)(2(a+b)+2m-1)/(a+Δ),且|N_G(x_1)∪N_G(x_2)|≥(b-Δ)n/(a+b),对任意不相邻顶点x_1和x_2都成立,则G是分数(g,f,m)-消去图.这个领域并条件在一定程度上是最好的.     

2007年普通高等学校招生全国统一考试 安徽数学(理科)

一、选择题:本大题共11小题,共55分1.下列函数中,反函数是其自身的函数为A.f(x)=x2,x∈[0, ∞)B.f(x)=x3,x∈(-∞, ∞)C.f(x)=ex,x∈(-∞, ∞)D.f(x)=1x,x∈(0, ∞)2.设l,m,n均为直线,其中m,n在平面α内,“l⊥a”是“l⊥m且l⊥n”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.若对任意x∈R,不等式|x|≥ax恒成立,则实数a的取值范围是A.a<-1B.|a|≤1C.|a|<1D.a≥14.若a为实数,2 ai1 2i=-2i,则a等于A.2B.-2C.22D.-225.若A={x∈Z|2≤22-x<8},B={x∈R||log2x|>1},则A∩(RB)的元素个数为A.0B.1C.2D.36.…