考点43 综合题与创新题

1.(湖北卷,6)在y=2x,y=log2x,y=x2,y=cos2x这四个函数中,当0f(x1)+2f(x2)恒成立的函数的个数是().(A)0(B)1(C)2(D)32.(湖南卷,10)设P是△ABC内任意一点,S△ABC表示△ABC的面积,λ1=SS△△PABBCC,λ2=S△PCAS△ABC,λ3=SS△△APABCB,定义f(P)=(λ1,λ2,λ3).若G是△ABC的重心,f(Q)=(21,13,61),则().(A)点Q在△GAB内(B)点Q在△GBC内(C)点Q在△GCA内(D)点Q与点G重合3.(全国卷,12)计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制,采用数字0~9和字母A~F共16个计数符号.这些符号与十进制的数的对应关…     

一道值得关注的高考选择题

2005年高考湖南卷(理科)第10题是一道值得关注、探究的创新试题,现摘录如下：设P是△ABC内任意一点,S_(△ABC)表示△ABC的面积,λ_1=S_(△PBC)／S_(△ABC),λ_2=S_(△PCA)／S_(△ABC),λ_3=S_(△PAB)／S_(△ABC),定义f(P)=(λ_1,λ_2,λ_3)。若G是△ABC的重心,f(Q)=(1／2,1／3,1／6),则( )。 (A)点Q在△GAB内 (B)点Q在△GBC内 (C)点Q在△GCA内 (D)点Q与G重合据高考阅卷情况反馈,该题得分率很低,究其原因,很多考生觉得该题情境新,题意不易理解,入手困难。下面先介绍两种解法。     

一道排列、组合高考题的延伸

2005年湖南省高考数学试题（理10）：设P是ΔAPC内任意一点，S△ABC表示△ABC面积，λ1=S△PBC/S△ABC，λ2=S△PAB/S△ABC，定义f（P）=（λ1,λ2,λ3）,若G是△ABC的重心，f（Q）=（1/2,1/3,1/6）,则（ ）     

2005年高考数学湖南卷

选择题: 2.函数f(x)一了l一2x的定义域是() 复数z~i+i“+i“+14的值是( A.一1 B.O C.ID (一、, (一。, B.[o,+二) D.(一二,+。) ﹁1.、产 0门︸ AC 3.已知数列{109:(an一1)}(n eN’)为等差数 ___,一,,.,1 .1 且az=3,aZ~匕,贝组l一m气—十— ~叻口2一口1口3一口2 △ABC的面积,助- S△PBc S△ABc S△Pe^ S△ABc l 十’..一十—)=气少 口”十l一a刀 3 匕。气二向 乙 S△P^B S△ABe ,定义f(尸)一(川,几,几3),若G A.2 C.1 是△ABC的重心,f(Q)一 () A.点Q在△GAB内 B.点Q在△GBC内 C.点Q在△GAC内 D.点Q与点G重合 1 1 11\…     

对三角形的一个性质的再探究

文[1]提出了三角形的一个“性质”并给出了证明,文[2]又给出了“性质1”并且也给出了证明.受它们的启发,本文也将有关性质进一步探究推广.设P是△ABC所在平面内任意一点(不在△ABC三条边所在直线上),S△ABC表示△ABC的面积,λ1=S△PBCS△ABC,λ2=S△PCAS△ABC,λ3=S△PABS△ABC     

三角形中一个有趣的巧合点

题目P是△ABC所在平面内的任意一点,以PA、PB为边作PAC′B,所以PA、PC为边作PCB′A,以PB、PC为边作PBA′C,则AA′、BB′、CC′、三线共点,且互相平分.分析由题设可分为以下六种情形:(1)P点在△ABC的内部,如图1,(2)P点在△ABC的外部,如图2,(3)P点在△ABC的某条边上,如图3,(4)P点与△ABC的某条边的中点重合,     

三角形的一个性质

1性质的叙述性质已知△ABC及其内部一点P,若λ1PA λ2PB λ3PC=0,λ1,λ2,λ3都是大于0的实数,则△PBC,△PAC,△PAB的面积之比为λ1∶λ2∶λ3.(即S△PBC∶S△PAC∶S△PAB=λ1∶λ2∶λ3)2性质的证明图1证明如图1,设PF=λ2PB,PD=λ3PC,由平行四边形法则可得PF PD=λ2PB λ3PC=P     

三角形外心与重心的一个性质的推广

命题设G为△ABC的重心,AG,BG,CG与△ABC的外接圆相交于D、E、F,则AGGD GBEG GCFG=3.该题是《数学通报》征解题387.文[1]把它推广为:定理若P是△ABC的外接圆内的点,AP,BP,CP与外接圆交于D、E、F,O是外心,G是重心,P点落在以OG为直径的圆上的充要条件是APPD PBEP PCFP=3.本文把这个性质推广到n边形的外接圆内的点.设A1A2A3…An是⊙O的内接n边形,Ai(i=1,2,…,n)在以圆心为原点的平面直角坐标系内的坐标为(xi,yi),与三角形类似,定义1n∑ni=1xi,1n∑i=n1yi为n边形重心G的坐标.则有定理1P为n边形A1A2A3…An外接圆内一…     

三角形的一个性质的推广

本刊文[1]给出了三角形的一个性质:已知△ABC及其内部一点P.若λ1PA λ2PB λ3PC=0,λ1,λ2,λ3都是大于0的实数,则△PBC,△PAC,△PAB的面积之比为λ1∶λ2∶λ3.本文将该性质在平面与空间内作一般推广,P为平面ABC上任意一点.定理1设P为△ABC所在平面上任意一点,λ1,λ2,λ3∈R     

新题征展(50)

A　题组新编1 .(1 )在△ ABC中 ,设 BC=a,CA =b,AB =c,则△ ABC为正三角形的充要条件是a . b =b . c =c . a.(2 )设 O、A、B、C是平面内互异的四点 ,OA =a,OB =b,OC =c,且 a b c=0 ,a . b =b . c =c . a,试判断△ ABC的形状 .(3)在四边形 ABCD中 ,设 AB =a,BC= b,CD =c,DA =d,且 a . b =b . c =c .d =d . a,试判断四边形 ABCD的形状 .(本题由金曦东供题并作答 )B　藏题新掘2 .双曲线 x24 - y25=1的左、右焦点分别为 F1、F2 ,P是双曲线右支上一点 ,I为△ PF1F2 的内心 ,PI交 x轴于 Q点 ,若 |F1Q|= |PF2 |,则 I分 P…     

第七届巴尔干国家中学生数学奥林匹克试题及解答

1.(希腊)设a_1=1,a_2=3,且对子所有的正整数n,a_(n 2)=(n 3)a_(n 1)-(n 2)a_n 。试求所有使a_n可被11整除的n的值。 2.(保加利亚)考虑下式定义的一个多项式:a_0 a_1x a_2x~2 …十a_((2)_n)x~(2n)=(x 2x~2 … nx~2)~2。求证: 3.(南斯拉夫)设A_1B_1C_1是不等边锐角△ABC的垂足三角形,A_2、B_2、c_2是内切于△A_1B_1C_1的圆与它的边的切点。求证:△A_2B_2c_2和△ABC的欧拉直线重合。注1.已知三角形的垂足三角形以原三角形高线的足为顶点。注2.已知三角形的欧拉直线由它的垂心(三条高的交点)和它的外接圆心确定。     

四面体的若干性质

文[1],[2]介绍了三角形的若干性质:命题1已知△ABC及其内部一点P,若λ1PA λ2PB λ3PC=0,λ1,λ2,λ3都是大于0的实数,则S△PBC∶S△PCA∶S△PAB=λ1∶λ2∶λ3.本文先给出一个简捷的证明:记PA1=λ1PA,PB1=λ2PB,PC1=λ3PC,λ1,λ2,λ3都是大于0的实数.由条件知PA1 PB1 PC1=0,于是P为△A1B1C1的重心,从而S△PB1C1=S△PC1A1=S△PA1B1=31S△A1B1C1,即S△PB1C1∶SPC1A1∶S△PA1B1=1∶1∶1.而S△PB1C1S△PBC=12|PB1|·|PC1|sin∠B1PC112|PB|·|PC|sin∠BPC=λ2λ3,即SPB1C1=λ2λ3SPBC.同理有SPC1A1…     

新题征展(40)

A　题组新编1.( 1)已知函数 f( x) =sin(ωx +φ)　 (ω >0、x∈ R)满足 f( x) =f( x + 1) -f( x + 2 ) ,若 A =sin(ωx +φ + 9ω)、B =sin( wω +φ- 9ω) ,则 A与 B的大小关系为.( 2 ) u( n)表示正整数 n的个位数 ,设 an=u( n2 ) - u( n) ,则数列 {an}前 2 0 0 0项之和 S2 0 0 0= .2 .( 1)点 P( 12 ,0 )到曲线 x =2 t2y =2 t(其中 t为参数 ,t∈ R)上的点的最短距离为 ;( 2 )对于抛物线 y2 =2 x上任意一点 Q,点 P( a,0 )都满足 | PQ|≥ | a| ,则 a的取值范围是 ;( 3 )点 P( a,0 )到抛物线 y2 =2 x上的动点 Q的最短距离为 .B　藏题…     

一道平面几何题的向量论证

《数学通报》第 1 2 1 2问题如下 :如图 1设图 1　三角形△ABC的一边AB上有P1,P2 两点 ,另一边AC上有Q1,Q2 两点 ,若 ABAP1+ ACAQ1=ABAP2 + ACAQ2 =3,则P1Q1与P2 Q2 的交点G是△ABC的重心 .上述问题可概述为 :P ,Q为△ABC的两边AB ,AC上的两点 ,则PQ过△ABC的重心G的充要条件是ABAP+ ACAQ=3,本文将利用向量给出它的证明 .图 2　结论 1图结论 1　设OA ,OB ,OC为平面上不共线的三个非零向量 ,则A ,B ,C三点共线的充要条件是存在实数λ ,μ ,使得 OA =λOB + μOC ,其中λ + μ =1 .证　不妨设A在BC之间 ,若A ,…     

关于棱柱的一个猜想的证明

文[1]给出了一个关于棱柱的猜想:任意棱柱A1A2…An-2-A1′A2′…An-2′(n≥5)内一点P,P分该棱柱体积棱锥化定比为F(P)=(m1,m2,m3,…,mn),分过P且平行于底面的截面的面积三角形化定比为f(P)=(λ1,λ2,λ3,…,λn-2)则m1 m2=31,mi=23λi-2(i≥3,i∈N ).笔者在此给出该猜想的证明.图1棱柱证如图1,记该棱柱体积为V,高为h,截面B1B2…Bn-2(n≥5),面积为S.过点P作P1P2∥AiAi′交上、下底面分别于点P1,P2.记点P到上底面A1A2…An-2的距离为h1,到下底面A1′A2′…An-2′的距离为h2,则h1 h2=h.1)由文[2]定义1知m1=VP-A1A2…An-2V,m2=VP…     

三角形外心、重心、垂心的向量形式

已知△ ABC,P为平面上的点 ,则( 1 ) P为外心 　 | PA| =| PB| =| PC| 1( 2 ) P为重心 　 PA PB PC =0→ 2( 3) P为垂心 　 PA . PB =PB . PC =PC . PA 3图 1　　　　　　　图 2证明　 ( 1 )如 P为△ ABC的外心 (图 1 ) ,则　 PA =PB =PC,即　 | PA| =| PB| =| PC| ,反之亦然 .( 2 )如 P为△ ABC的重心 ,如图 2 ,延长AP至 D,使 PD =PA,设 AD与 BC相交于E点 .由　 PA =PD PA PD =0→ ,由重心性质 　 PA =2 PE,PA =PD 　 E为 PD之中点 ,又 P为△ ABC之重心 E为 BC之中点 ,∴　四边形 PBDC为平行…     

三角形中一个向量性质及推广

性质1 如图1，在△PAB中，M是边AB上任意一点，Q是PM上的任意一点，过点Q的任意一条直线交边PA，PB于A′，B′，若→AM=λ→AB，→PQ=t→PM，→PA′=x→PA，→PB′=y→PB，则1-λ/x＋λ/y=1/t.     

一个竞赛题的昨天、今天、明天

题(1995年全国联赛题)设O是正三棱锥P-ABC底面正△ABC的中心,过O的动平面与三条侧棱或其延长线的交点是Q、R、S,求证:1PQ 1PR 1P S是定值.1昨天的证法古朴而充满理性证法1设PQ、PR、P S的长分别是1λ,图12λ,3λ,VP-QRSVP-ABC=1λ2λ3λa3,设O到三个侧面的距离都为d,正棱锥的侧     

一道中考题解法的应用

如图1和图2,在△ABC中,AB=13,BC=14,cos∠ABC=513.图1图2探究如图1,AH⊥BC于点H,则AH=,AC=,△ABC面积S△ABC=.拓展如图2,点D在AC上(可与点A、C重合),分别过点A、C作直线BD的垂线,垂足为E、F.设BD=x,AE=m,CF=n.(当点D与A重合时,我们认为S△ABD=0)(1)用含x、m或n的代数式表示S△ABD及S△CBD;(2)求m+n与x的函数关系式,并求m+n的最大值和最小值;(3)对给定的一个x值,有时只能确定唯一的点D,指出这样的x的取值范围.     

三角形重心向量性质的进一步推广

文[1]给出了三角形重心的一个向量性质:命题1已知G是△ABC的重心,过G作直线与AB,AC两边分别交于M,N两点,且AM=x AB,AN=y AC,则图2命题2图1x 1y=3.并把上述结论推广到三棱锥:命题2过三棱锥P-ABC的重心G的平面分别与三条侧棱相交于A1,B1,C1,且PA1=x PA,PB1=yPB,PC1=z PC,则1x 1y 1z=4.文[2]将上述结论推广到空间任意有限点的重心上,得到:图3定理1图定理1设P,A1,A2,…,An是空间任意n 1个点,G是这n 1个点构成的有限点集V(V={P,A1,A2,…,An})的重心,平面π过G且与直线PAi(i=1,2,…,n)相交于Bi,P不在平面π上,且有PBi=λi…