均值法求解一类多元复合最值问题

2009年普通高等学校招生全国统一考试海南(宁夏)卷第12题:已知函数f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0),求f(x)的最大值;2006年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷第12题:已知函数f(x)=max{|x+1|,|x-2|}(x∈R),求f(x)的最小值.综观近年高考试题、各地模拟试题及竞赛试题,常常出现这类在最大值中求最小值或在最小值中求最大值的问题.对于这种复合最值问题,如果是一元复合型,则考查的目标主要是数形结合,分段解析,观察取值;然而更多的复合最值问题,     

从近年无锡中考数学卷的最值问题说起

一、近五年无锡中考卷每年必考的“最值问题” 2015年3月,笔者应邀来到无锡江阴市夏港中学执教了一节初三复温研讨课,笔者认真分析了2011年至2015年的中考无锡数学卷,发现每年必考最值问题.2011年第25题考的是水果购销的利润最大问题,涉及二次函数最值求法;2012年第24题考的是纸片折成正方体包装盒,求包装盒表面积的最大值,也是二次函数的最值问题;2013年第25题考的是原材料加工废气排放问题,涉及一次函数的最值问题;2014年第28题考的是动点运动变换,第(2)问涉及的是三角形重叠部分面积的最大问题,用到的知识还是二次函数最值;2015年第25题考的是利润最大问题,涉及到一次函数的最值求法,上述考查的都是实际应用类问题.     

2023年全国高中数学联赛代数题的解法

<正>题目(2023年全国高中数学联合竞赛加试(A卷)第四题)设a=1+10^-4,在2023×2023的方格表的每个小方格中填入区间[1,a]中的一个实数,设第i行的总和为x_i,第i列总和为y_i,1≤i≤2023,求■的最大值(答案用含a的式子表示)．这是一个多元变量求最值问题,最自然的想法便是首先通过寻找条件来消除尽可能多的变量,从而将待定式转换为一元变量求最值问题．而一元变量求最值问题是我们所熟知的,可以通过不等式,导数等多种手段来求其最值．这便是解此题的大体思路．     

一道多元函数高考题的解答策略与方法

<正>多元函数的最值问题是近几年高考、强基、竞赛考查的热点,该问题寓运算、思辨、论证于一体,其形式复杂,方法灵活多变,能有效考察同学们思维的灵活性和创造性.笔者总结多元函数求解常用的几种解法,以期为同学们学习有所帮助.例题(2020江苏高考卷第12题)已知5x²y2y²+y2+y⁴=1(x,y∈R),则x4=1(x,y∈R),则x²+y2+y²的最小值是__.     

高考中绝对值和型函数最值问题

<正>1.问题由来笔者在研究近几年高考题时发现,有关绝对值和型函数的最值问题是命题的热点之一,例如题目1(2014年高考安徽理科卷第9题)若函数f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为3,则实数a的值为().(A)5或8(B)-1或5(C)-1或-4(D)-4或8题目2(2014年高考福建卷理科第21题(3)选修4—5:不等式选讲)已知定义在R上的     

速解一类双零点求参数范围问题

<正>一、问题的提出函数是高中数学的重要组成部分,零点作为函数的基本要素之一,与函数、方程、函数的图象等知识点联系紧密,所以函数的零点和导数相结合的综合性问题一直是高考的热点之一,与函数零点个数有关的试题更是层出不穷.下面的试题是2013年高考江苏卷第20题的改编题,我们先来考虑这道经典的双零点求参数范围问题.     

2018年北京高考数学卷导数问题解法的反思

<正>纵观北京市高考数学理科卷2013年到2017年的导数解答题,基本上在第18题或第19题的位置,主要考查了:利用导数求函数在某点处的切线方程(或已知切线方程求待定系数)、以导数为媒介研究函数的最值(体现为求解恒成立问题或者证明不等关系),在解题过程中,除了要用到常规的公式之外,还要通过适当的等价变形构造新函数.     

求多元函数最值的几种方法

由于中学没有学习多元函数的微分学,所以同学们碰到求多元函数的最值问题常常束手无策。本文打算介绍求多元函数最值的常见的初等方法,试图使同学们获得清晰的解题思路,做到有规可循、有法可依。一、化为一元函数法基于一元函数的最值较易解决,求多元函数的最值的基本方法之一就是设法把它化为一元函数的最值问题。通常的方法有代入法、三角换元法、判别式法。     

抽象函数问题的求解策略

<正>抽象函数是指没有给出具体的解析式,只给出了其它的一些条件(如函数的定义域、经过的点,递推式,部分图象特征等)的函数问题.此类问题在高考中颇受命题者的青睐,做到了常考常新.此类问题主要分为两大类:一是主要以考察函数的基本性质(单调性、对称性和周期性)为主的试题,如2022年全国Ⅰ卷第12题,2022年全国乙卷理科第12题,2021年全国Ⅱ卷第8题,2022年全国甲卷理科第12题,     

证明不等式的一种方法——设参求最值法

证明不等式的一种方法———设参求最值法刘宝文（江苏邳州运河师范学校２２１３００）在教学中笔者发现，有些不等式（甚至是较难的）证明题，可通过增设参数，再使用二元均值不等式，将问题转化为求一个关于参数的较简单的函数式的最值问题．此法思路自然，操作简单，易...     

对一道中考数学压轴题的思路分析及教学建议

陕西省2018年中考数学第25题是一道多动点求最值问题,笔者对该题的解题思路进行分析,并提出教学建议,即教师应跨学科研究教学,在多学科的知识融合中培养学生的综合思维能力,应挖掘数学史的教学价值,应注重解题思路的来源,帮助学生学会寻找解题思路,真正提高学生分析问题、解决问题的能力.     

2010年高考江苏卷第18题的别解

2010年高考江苏卷第18题一定有难度,但前两小题应该很好解决,主要涉及直线与圆锥曲线的交点、轨迹的概念和轨迹方程的求法,有难度的在第(3)小题,主要集中在计算上,有很多同学有解决问题的方法和方向,但要真正解决问题,计算是关键.2010年高考江苏卷第18题:在平面直角坐标     

从一道高考题谈一类动圆过定点问题的几何背景

解析几何中的定点问题一直是高考的一个热点问题，笔者最近在研究高考试题时发现2008年江苏卷第18题的动圆过定点问题很有趣，深入研究后发现其命制背景甚为简洁，本文通过该题来谈谈此类动圆过定点问题的几何背景．     

复合最值问题的解题策略

在数学竞赛中经常遇到函数的复合最值问题,即在最大值中求最小值,或在最小值中求最大值.若是一元多个函数的复合最值,常用数形结合的方法解决;若是多元一个函数的复合最值,可以针对不同的变元逐一研究函数的复合最值;若是多元多个函数的复合最值问题,宜采用整体思想来解决.此类问题复杂、抽象而且综合性强,因此有必要探索函数的复合最值问题的解题策略.     

蕴内涵 重能力 促发展——一道中考压轴题的亮点赏析及教学启示

一、试题呈现题目(2014年徐州卷第27题)如图1,将透明三角形纸片PAB的直角顶点P落在第四象限,顶点A、B分别落在反比例函数y=k x图像的两支上,且PB⊥x轴于点C,PA⊥y轴于点D,AB分别与x轴、y轴相交于点E、F,已知B(1,3).(1)k=_________;(2)试说明AE=BF;(3)当四边形ABCD的面积为214时,求点P的坐标.二、试题探析纵观近几年徐州市中考试卷不难发现,围绕反比例函数的图像及其性质考查的题目为数不少.如2012年卷第13题"已知交点(1,2),求反比例函数中k的值";压轴     

浅谈函数中如何寻找同构解决“指对”问题——2022年新高考Ⅰ卷第22题带来的思考

<正>全国高考数学卷中经常出现构造同构函数解决与函数有关的问题,尤其在处理“指对”问题时,通过同构函数往往能更好更快捷地解决问题．下面从2022年新高考Ⅰ卷第22题第（2）问出发,探索同构函数在解决“指对”问题中的应用．     

两道高考姊妹题的赏析

2012年高考落下帷幕,笔者在研究高考题的过程中,发现2012年江苏卷第18题第(3)问与2006年湖北卷第10题是一对姊妹题,现给出这两道姊妹题的解法及分析,与大家共赏.题1(2006年高考湖北卷第10题)关于x的方程(x2-1)2-|x2-1|+k=0,给出下列四个命题:①存在实数k,使得方程恰有2个不同的     

多元函数的条件极(最)值求法

近年来,求多元函数的条件极(最)值问题已多次在数学竞赛中出现,而解决这类问题又往往需要运用多种思想和方法,学生在这些问题面前显得信心不足.本文在此介绍几种这类问题的初等解法,或许能帮助学生克服这一障碍。一、消元法消元法的指导思想是把求多元函数的条件极(最)值问题化归为求单元函数的条件极(最)值问题。     

解决高中平面向量问题的常用思路——以2016年高考卷中不难的“难题”为例

2016年的高考落下了帷幕,数学作为高考中区分度比较大的一门学科,往往比较引人关注.笔者分析了各地的高考数学卷,发现有很多出彩的题目,笔者以2016年高考江苏卷第13题,四川卷第10题以及上海卷第14、22题为例,这四题所处的位置都属于卷中较难题的位置,即使算不上难题,也属于区分度较大的题;这四题都是平面向量题,对于有思路的学生来说,这四题是比较简单的.所以,笔者在此总结平面向量的一些常用解法,以期对教师的教与学生的学提供帮助.     

浅谈多元函数最值的解法策略——2020年北京大学强基试题中的多元函数问题

<正>近年来,有关多元函数的最值问题在各类竞赛中屡见不鲜,今年是强基计划的第一年,清北等名校在强基计划的考试中均有此类问题的考察.此类问题函数形式多变,解法灵活,能有效考察学生的构造转化创新的能力.2020年北京大学强基招生数学第9题具有典型性、代表性、拓展性,笔者总结了以下几种解法与读者共鸣.