由一道高考真题初探一类“碗状”函数最值

引例摇（2014全国高考安徽卷理科第8题）若函数f（x）=|x+1|+|2x+a|的最小值为3,则实数a的值为（）。
　　A。5或8 B。5或-1 C。-1或-4 C。8或-4
　　问题的提出很简单,但这是一道可以由特殊到一般的问题,为数学研究性学习提供了绝好的素材,同时,在探究过程中可以体验探究性学习的思考方法、思维过程,以及感悟逻辑推理的魅力。笔者从引例解法、本质、拓展、应用四个方面展示引例的研究性学习过程。     

一类高考题的统一解法

最近几年,有下面5道求参数取值范围的高考题:题目1(2006年全国卷Ⅱ理科第20题)设函数f(x)=(x+1)ln(x+1).若对所有的x≥0,都有f(x)≥ax成立,求实数a的取值范围.题目2(2007年全国卷Ⅰ理科第20题)设函数f(x)=e~x-e~(-x).(Ⅰ)证明:f(x)的导数f′(x)≥2;(Ⅱ)若对所有的x≥0,都有f(x)≥ax,求实数a的取值范围.     

2014年高考四川卷理科第20题的解法赏析和推广

2014年高考已经落下帷幕,笔者特别关注了四川卷理科的第20题：例1（2014年四川卷理科第20题）已知椭圆C：x2/a2＋y2/b2=1（a〉b〉0）的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.（1）求椭圆C的标准方程;（2）设F为椭圆C的左焦点,T为直线x=-3上任意一点.     

这道高考题酷似竞赛题

题(2008年高考数学江西理科卷压轴题)已知函数f(x)=1/√1+x+1/√1+a+√ax/ax+8,x∈(0,+∞).     

正确的,就是合理的吗?

题目 (2009年全国高考(卷Ⅰ)第22题) 设函数f(x)=x3+3bx2+3cx有两个极值点,x1,x2,且x1∈[-1,0],x2∈[1,2].     

是"歪打正着",还是另有"隐情"——-对一道高考题"优美解"的质疑

题目 (2009年高考全国卷Ⅰ理第22题)设函数fx=x3+3bx2+3cx有两个极值点x1,x2,且x1∈[-1,0],x2∈[1,2].     

利用对称思想 巧解高考试题

<正>每年高考题的选择和填空的压轴题都会是函数的题目,这类题目都是综合考察函数的性质,有一定的难度,但是如果思路合理,解法得当,还是能够容易解决问题的.下面利用对称思想,探讨一下2017年高考数学全国Ⅲ卷理科11题解题方法.原题已知函数f(x)=x²-2x+a(e2-2x+a(e^(x-1)+e(x-1)+e^(-x+1))有唯一零点,则a=().     

单调奇函数的一个性质与一类问题的统一解决

问题1已知实数a,b分别满足a3-3a2+5a=1,b3-3b2+5b=5,则a+b的值为.此题是我市高三期中考试中的一道填空题,得分率很低,不少同学不知道该从哪里下手解决这道题目.与此题类似的问题还有:问题2(第10届希望杯试题)设f(x)=x3     

对一道高考题的解法探究

<正>在求解某些二次函数问题时,若能灵活地借助二次函数零点f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)式(a≠0)去求解,往往能达到事半功倍的效果.下面笔者以一道高考题为例并加以说明,以期探索题型规律,明晰求解策略.题目(2011年高考重庆理科卷第10题)设m,k为整数,方程mx2-kx+2=0在区间     

2012年全国高考大纲卷理科压轴题的解法探究

2012年全国高考大纲卷理科压轴题(第22题)为:题1函数f(x)=x2-2x-3,定义数列{xn}如下:x1=2,xn+1是过两点P(4,5),Qn(xn,f(xn))的直线PQn与x轴交点的横坐标.     

活用导数积分的定义一例

<正>题目(2014年高考陕西卷理科第21题)设函数f(x)=ln(1+x),g(x)=xf′(x),x≥0,其中f′(x)是f(x)的导函数.(1)g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x)),n∈N+,求gn(x)的表达式;(2)若f(x)≥ag(x)恒成立,求实数a的取值范围;(3)设n∈N+,比较g(1)+g(2)+…+g(n)与n-f(n)的大小,并加以证明.原题提供的答案第(2)问是利用分类讨论的思想,通过对参数的缜密讨论,确定参数的取值范围.分类讨论向来是同学     

对“点顶距已知时矩形周长最大值问题”的再讨论

2008年高考重庆理科卷第4题的题目是：已知函数y=√1-x＋√x＋3的最大值为M，最小值为m，则m/M的值为（ ）     

对一道高考题的探究

2008年高考全国卷(Ⅰ)第(19)题:已知:“函数f(x)=x3+ax2+x+1(a∈R).(1)讨论f(x)的单调区间;(2)设f(x)在区间(-2/3,1/3)内是减函数,求a的取值范围.以下从四个视点出发、探讨(2)的解法.解法1 f′(x)= 3x2 +2ax+1,方程3x2 +2ax+1 =0,判别式△=4a2-12.当△＞0即a＞√3或a＜-√3时,方程f′(x)=0两根分别为x1=(-a-√a2-3)/3,x2=(-a+√a2-3)/3.此时以f(x)在(x1,x2)内为减函数,则(-2/3,-1/3)∈(x1,x2).     

探究2016年高考北京卷圆锥曲线试题的命题背景

2016年高考落下了帷幕,各地试题异彩纷呈.笔者探究了2016年高考北京卷理科第19题,研究其试题背景及其命题手法,并尝试进行新题命制. 1试题呈现 题1(2016北京理-19)已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的离心率为(31/2)/2,A(a,0),B(0,b),O(0,0),△OAB的面积为1.     

从两道高考试题到等周问题的变式研究

试题1 (2006年高考全国卷理科12题)用长度分别为2、3、4、5、6(单位:cm)的5根细木棒围成一个三角形(允许连接,但不允许折断),能够得到的三角形的最大面积为() A.8 (√)5cm2 B.6(√)10cm2 C.3 (√)55cm2 D.20cm2 试题2(2013年高考全国新课标乙卷理科12题)设△AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn,△AnBnCn的面积为Sn,n=1,2,3,…,若b1＞c1,b1+c1=2a1,an+1=an,bn+1=cn+an/2,cn+1=cn+an/2,则()     

如何实现例题教学的“有效性”——从“参数分离法”说起

一、问题的提出原题(2012年浙江省上虞市城南中学高三理科数学期中试卷第20题)已知函数g(x)=ax2-2ax+1+b(a>0),在区间[2,3]上有最大值4,最小值1,设函数(fx)=g(x)/x.(1)求a,b的值;(2)     

处理函数零点问题的多种思路

数学思想方法是数学的灵魂,渗透思想方法,多角度探索解题思路,是培养思维能力的有效途径.例题(2007年高考广东卷理科20题、文科21题)已知a是实数,函数f(x)=2ax2+2x-3-a.如果函数y=f(x)在区间[-1,     

一道高考题的多种解法及推广

<正>笔者探究的问题是2012年湖北高考数学卷(理)第6题,原题如下:设a、b、c、x、y、z是正数,且a²+b2+b²+c2+c²=10,x2=10,x²+y2+y²+z2+z²=40,ax+by+cz=20.则(a+b+c)/(x+y+z)=().(A)1/4(B)1/3(c)1/2(D)3/4解析题目中出现6个未知数,而只有3个等式,因此不能把a、b、c、x、y、z具体的值求出来,只能寻求整体与部分的关系来解题.命题实质是考查柯西不等式的应用.由柯西不等     

一道椭圆与直线高考压轴老题新探

题目:已知椭圆的中心为坐标原点O,焦点在x轴上,斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点,→OA+→OB与a=(3,-1)共线.(Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)设M为椭圆上任意一点,且→OM=λ→OA+μ→OB(λμ∈R),证明λ2+μ2为定值.(2005年高考数学试题全国卷文科第22题,理科第21题)笔者最近将该老题的第二问新做,产生了一些新的思路,供读者品鉴.     

争鸣无禁区探索无止境

近来阅读《数学通报》,对其中两篇文章有一些粗浅的认识,现把其中之一形诸文字.不当之处,敬请方家批评指正.文[1]对2009年全国高考数学理科卷(全国工卷)第22题的解法进行探究,提出了一个话题:在消去参数时,消b与消c结果却大相径庭.笔者发现文[1]的分析与求解有失偏颇.题目 设函数f(x)=x3+ 3bx2+ 3cx有两个极值点x1、x2,且x1∈[-1,0],x2∈[1,2].