一道三角函数题的巧解

题目在△ABC中,若sin^2A＋sin^2B＋sin^2C〈2,则△ABC必定是 （ ） （A）直角三角形． （B）等腰三角形． （C）锐角三角形． （D）钝角三角形．     

一类内接三角形的面积的统一公式

设P是△ABC所在平面内任意一点，AP，BP，CP交直线BC，CA，AB分别于D，E，F，则称△DEF为点P关联△ABC的内接三角形．本文得到了此类内接△DEF与△ABC面积关系的统一公式．即定理设P是△ABC所在平面内的一点，△DEF是P关联△ABC的内接三角形，若有向线段的比，则有Ceva定理知2lA人一1．先证P在凸ABC内的情形．如图1，由于次证P在凸ABC外的情形．如图2，因凸ABC三边所在直线以及过凸ABC三顶点与三边的平行线，六条直线将凸ABC外面的部分划分为15个不同的区域U中一1．2，…，15）．这些区域可归结为四类：UI－U3为…     

正三角形中的一个不等式及其推广

本文将给出正三角形中的一个不等式，并对它进行一些推广．定理设D、E、F分别是正△ABC的边BC、CA、AB上的内点，△DEF、△AEF、△BDF、△CED的周长分别记为m0、m1、m2、m3，kR ．则当且仅当D、E、F分别是正△ABC的边BC、CA、AB上的中点时，等号成立．证明如图1，在△AEF中，A=60°．由二元平均值不等式，得由幂函数tk（kR ）在R 上单调增加，得将以上三式相加，并利用平均值不等式，可得当且仅当D、E、F分别是正面ABC的边BC、CA、AB上的中点时，等号成立．将上述定理进行推广，可得以下两个命题．命题1设D、E、F分…     

数学竞赛命题中的一个基本图形

如图所示，设面△ABC的三内角平分线分别交三边于A0、B0、C0，交其外接圆于D、E、F；又交△DEF的三边于A1、B1、C1．点M、N；P、Q；R、S分别是△ABC与△DEF三边的交点．记A．B、C为△ABC的三内角，其对边分别为a、b、c；D、E、F为△DEF的三内角，其对边分别为a’b’c’R（R’）、r（r’）、p（p’）、S（S’）分别为△ABC（△DEF）的外接圆半径、内切圆半径、半周长和面积，△ABC的内心为I．这一常见的构图，可以衍生出一系列数学竞赛题．题1AD⊥EF．（199且年第32届IMO加拿大训练题第6题）知类似可知故I为西DEF…     

数学问题解答

1571 G为△ABC的中线AD上的动点（不与A、D重合），BG，CG的延长线分别交AC，AB于E，F，求使不等式．S△BGF＋S△CGE≤kS△ABC成立的k的值（图1）．     

高二年级期末复习自测题

选择题： 1．已知集合S={a,b,c）中的三个元素可构成△ABC的三条边长,那么△ABC一定不是（ ） （A）锐角三角形． （B）直角三角形． （C）钝角三角形． （D）等腰三角形．     

四边形的一个性质的推广

题目设D、E、F分别为△ABC三边BC,CA,AB的中点,则S△DEF=1/4S△ABC.     

四边形的一个性质

题目设D,E,F分别为△ABC三边BC,CA,AB的中点,则S△DEF=(1)/(4)S△ABC. 将其推广到四边形有: 定理在四边形ABCD中,G1、G2、G3、G4,分别为△BCD,△CDA,△DAB,△ABC的重心,则(如图1,2)     

北京数学奥林匹克学校课堂实录

课 题图形的面积 适用年级初中一年级 学 期2005～2006学年度第一学期 训练目的 1.掌握计算图形的面积的一些基本 方法． 2．灵活运用面积方法解决相关的 问题． 典型范例 在△ABC的各边AB、BC、CA上取三等分点D、 E、F,若△DEF的面积为1,那么△ABC的面积是 多少?     

直角三角形的一个性质

文[1]笔者给了如下有趣的性质: △ABC中,CD⊥AB于D,△ABC、△ADC、△BCD的内切圆半径分别为r、r1、r2. (1)若∠ACB=90°,则r21+r22=r2; (2)若r21+r22=r2,则∠ACB=90°. 我们又发现如下 定理 △ABC中,CD⊥AB于D,△ABC的内切圆半径为r;△ABC、△ADC、△BCD的内心分别为I、I1、I2,△II1I2的外接圆半径记为R0,则R0=r的充要条件是     

四心垂足三角形外接圆半径的一条不等式链北大核心

定义点P为△ABC内一点,过点P分别作PD⊥BC,PE⊥CA,PF⊥AB,垂足分别为点D,E,F,连接DE,EF,FD,则称△DEF为△ABC的垂足三角形．在本文中,我们约定△ABc的三边分别为BC=a,CA=b,AB=c,外接圆,内切圆的半径分别为R,r,面积为S,R△表示三角形外接圆的半径．     

一道三角形周长最小值竞赛题的解法

题目 在△ABC中,∠A=60°,∠C=75°,AB=10,D,E,F分别在AB,BC,CA上,则△DEF的周长的最小值为___．     

第41届IMO第6题的解析证法

第41届IMO第6题设AH1,BH2,CH3是锐角△ABC的三条高线,△ABC的内切圆与边BC,CA,AB分别切于T1,T2,T3．设直线l1,l2,l3分别是直线H2H3,H3H1,H1H2关于直线T2,T3,T3T1,T1T2的对称直线,证明：l1,l2,l3所确定的三角形,其顶点都在△ABC的内切圆上．本文提供一种解析几何证法     

2005年全国高中数学联赛加试题及参考答案

试 题 一、(本题满分50分) 如图,在△ABC中,设 AB>AC,过A作△ABC的 外接圆的切线l,又以A为 圆心,AC为半径作圆分别 交线段AB于D;交直线l 于E、F． 证明:直线DE、DF分别通过△ABC的内心与一 个旁心． (注:与三角形的一边及另两边的延长线均相切 的圆称为三角形的旁切圆,旁切圆的圆心称为旁心．)     

一个几何不等式的推广

文[1]中介绍了如下一个经典的几何不等式: 命题 P是△ABC的一个内点,D、E、F分别是P与A、B、C的连线和对边的交点,则S△DEF≤1/4S△ABC. 本文对其作如下推广: 推广 P是△ABC的一个内点,D、E、F分别是P与A、B、C的连线和对边的交点,分别记△AEF、△BFD、△CDE、△DEF的面积为S1、S2、S3、S0,则S1S2S3≥S30,等号成立当且仅当P是△ABC的重心.     

陈省身杯一赛题的别证

题目 在△ABC中，D、E分别为边AB、AC的中点，BE与CD交于点G，△ABE的外接圆与△ACD的外接圆交于点P（P≠A），AG的延长线与△ACD的外接圆交于点L（L≠A）．     

2021年全国新高考Ⅰ卷第19题赏析

<正>(2021年全国新高考Ⅰ卷第19题)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b²=ac,点D在边AC上,BDsin∠ABC=asinC.(1)求证:BD=b;(2)若AD=2DC,求cos∠ABC.试题中(1)的证明较为简单,过程如下:如图1,在△ABC中,由正弦定理可得b sin∠ABC=c sinC.与BDsin∠ABC=asinC相乘得BD·b=ac=b2=ac,点D在边AC上,BDsin∠ABC=asinC.(1)求证:BD=b;(2)若AD=2DC,求cos∠ABC.试题中(1)的证明较为简单,过程如下:如图1,在△ABC中,由正弦定理可得b sin∠ABC=c sinC.与BDsin∠ABC=asinC相乘得BD·b=ac=b²?BD=b.     

三角形的一个不等式

中国科技大学常庚哲同志在文[1]中用复数证明了以下问题: [问题1] 从△ABC的顶点A、B、C各作角的平分线分别交对边于D、E、F,则成立: △DEF的面积≤1/4·△ABC的面积,式中等号当且只当△ABC为等边三角形时     

三等分角线构成的三角形的性质

笔者在研究中惊奇地发现三角形有关角三等分线的交点构成的三角形有许多美妙的性质，特介绍如下，以飨读者．引理对任意△ABC，如果存在∠β，∠γ，使1二十七个莫莱三角形熟知的五个莫莱三角形及其位置关系见文[6]，而笔者在研究中又惊奇地发现；定理1如图1，与任意△ABC每边相邻的每两个优角（大于平角而小于周角的∠A、∠B、∠C称为△ABC的优角）相邻的三等分线的反向延长线的交点构成正△D8E8F8．且边长是：图1图2定理2如图2，任意△ABC任意一个优角与另两个劣角（小于平角的∠A、∠B、∠C称为△ABC的劣角）中，与每边相邻的…     

探究三角形角平分线上点的性质

<正>一、点在三角形内角平分线上探究一如图1,AD是△ABC的内角平分线,P是AD所在直线上一点(P不与A、D重合),BP、CP分别交AC、AB于点E、F,直线EF交BC的延长线于点D′,则AD′是△ABC的外角平分线.证明在△ABC中,由塞瓦定理得BD DC·CE EA·AF FB=1①