一道联赛试题的两种求解思路四种解法

<正>试题(2017年全国初中数学联赛初三第二试(A))如图1,△ABC中,AB>AC,∠BAC=45°,E是∠BAC的外角平分线与△ABC的外接圆的交点,点F在AB上且EF⊥AB.已知AF=1,BF=5,求△ABC的面积.分析在△ABC中,AB=AF+BF=6,∠BAC=45°,求△ABC面积的关键是求得线     

一个三角形面积公式在立体几何中的应用

定理S△ABC=21AB2·AC2-(AB·AC)2.证S△ABC=21|AB|·|AC|sin〈AB,AC〉=21|AB||AC|·1-cos2〈AB,AC〉=21|AB||AC|·1-|AABB|·|AACC|2=21|AB|2|AC|2-(AB·AC)2=21AB2·AC2-(AB·AC)2.例1已知空间三点A(1,2,3),B(2,-1,5),C(3,2,-5).试求:1)△ABC的面积;2)△ABC的AB边上的高.解1)     

三角形的一个外心判定定理及其应用

一、判定定理如图1,若OA=OB=OC,则点O为△ABC的外心.简证以点O为圆心,以OA长为半径画圆,如图2所示,由于OA=OB=OC,因此⊙O必经过A、B、C,即⊙O为△ABC的外接圆,故点O为△ABC的外心.二、应用举例例1(《中学生数学》2007(6)·P8)如图3,在四边形ABCD中,AB∥DC,AB=AC=AD=3,BC=2,求对角线BD的长.解由AB=AC=AD知点A为△DBC的外心,延长BA交△ABC的外接圆于E,连DE,由AB∥DC知DE=BC=2,又EB=2AB=2×3=6,     

避开相似 充分利用三角函数

<正>对于有公共角或等角的直角三角形,我们可以避开相似,充分利用三角函数的定义解题,这样更为简洁,下面举例说明.引例如图1,CD是Rt△ABC的斜边上的高,求证:(1)BC2=AB·BD;(2)CD2=AD·BD.证明(1)∵Rt△ABC中,cos∠B=BC AB,而在Rt△BCD中,cos∠B=BD/BC,∴BC AB=BD/BC,即BC2=AB·BD.(2)∵∠B、∠ACD都与∠A互余,∴∠B=∠ACD.∵Rt△BCD中,tan∠B=CD/BD,     

由射影定理产生的联想

射影定理,如图1,在△ABC中,∠ACB=Rt∠,CD⊥AB,则, (1)∠1=∠B=90°-∠A;(2)△ACD∽△ABC;(3)AC~2=AD·AD……联想:如图2,任意△ABC,如果∠1=∠B,是否有△ACD∽△ABC,AC~2=AD·AB? 很容易证明结论是成立的。     

纸条打个结结成了一个正五边形

问题将一张等宽的纸条按如图1的方式打一个结,就可以得到一个正五边形(如图1所示).这奇怪吗?为什么呢?让我们用平面几何知识来证明这个问题.首先给一个引理:一个三角形中,如果两边上的高相等,那么这两条边也相等.此引理可由两个三角形全等得证.问题的证明在△EAB中,边EA、AB上的高BH、EG均为纸条的宽度(图2),即BH=EG,∴EA=AB.同理,在△ABC、△BCD中,有AB=BC,BC=CD,∴EA=AB=BC=CD.∵纸条的两条边是平行的,故四边形EABC、ABCD均为等腰梯形,∴∠EAB=∠ABC=∠BCD,∴△EAB≌△ABC≌△BCD,∴BE=AC=BD.①图3在△ABD…     

一类特殊三角形中面积最值问题的探求与拓展

<正>1试题呈现及构成特点在学习解三角形时,同学们遇到了两道几乎相同但又普遍反映比较难的题目:试题1在△ABC中,AB=2,AC=1,△BCD是以D为顶点的等腰直角三角形,则△ACD面积的最大值为______.试题2在△ABC中,AB=1,AC=2,△BCD是正三角形,则△ACD面积的最大值为______.     

一道初中数学竞赛题的多种解答

<正>(2017年全国初中数学联合竞赛第二试第二题)如图1,在△ABC中,∠BAC=45°,E为∠BAC的外角平分线与△ABC的外接圆的交点,点F在AB上,且EF⊥AB,已知AF=1,BF=5.求△ABC的面积.分析欲求△ABC的面积,需知△ABC     

“折、剪、拼、量“的中考数学试题

2005年全国各地中考数学试题中,涌现出了许多题型活泼、设计新颖、富有创意的动手操作型试题,本文对这类试题分类评析,供参考.一、折叠问题1.1求线段的长例1:(05深圳)如图,ABCD中,点E在边AD上,以BE为折痕,将△ABE向上翻折,点A正好落在CD上的点F,若△FDE的周长为8,△FCB的周长为22,则FC的长为.解:因为△ABE向上翻折成为△FBE,所以△ABE≌△FBE,所以EF=AE,BF=AB,∵DE EF DF=8,∴AD DF=8,∵BF BC CF=22,∴AB BC CF=22,∴AD DF AB BC CF=8 22即AB BC=15∴CF=7.1.2探求角度问题例2:(05扬州)如图:将一张矩形纸片…     

用代数解平面几何题

如图1,△ABC是直角三角形,∠C=90°.延长CA至D使AD=BC,在CD上取ED=CD-AB,在CB上取CF=ED,连接FD交AB边于G,求证:S△CDF>S△ABC.图1证明如图1,记BC=a,CA=b,AB=c,于是有S△ABC=12ab,依题意有S△CDF=12(a+b)(a+b-c).比较S△ABC与S△CDF.S△CDF-S△ABC=12(a+b)(a+b-c)-12ab=12[(a+b)2-(a+b)c-ab]=12[a2+b2+2ab-(a+b)c-ab]     

赏析三角形的两条性质

<正>性质1如图1,△ABC中,在CA的延长线上取一点M,使MC=AB,在BA上取一点N,使NB=AC,直线MN交BC于点D,则BD/DC=AC/AB.证明∵MA+AC=MC=AB,∴MA=AB-AC,同理NA=AB-AC,因此MA=NA,对于△ABC及截线DNM,应用梅涅劳斯     

一道几何题的变化和推广

初级中学数学课本《几何》第二册第39页有这样一道题目: 已知:△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD是角平分线.求证:(1)BD=AD。(2)△ABC∽△BCD。(3)BC=(5~(1/2)-1)/2AB≈0.618AB。     

四心垂足三角形外接圆半径的一条不等式链北大核心

定义点P为△ABC内一点,过点P分别作PD⊥BC,PE⊥CA,PF⊥AB,垂足分别为点D,E,F,连接DE,EF,FD,则称△DEF为△ABC的垂足三角形．在本文中,我们约定△ABc的三边分别为BC=a,CA=b,AB=c,外接圆,内切圆的半径分别为R,r,面积为S,R△表示三角形外接圆的半径．     

一个周界中点三角形不等式的加强

文[1]得到如下定理: 定理如图1,设D,E,F分别是△ABC的边BC、CA、AB上的周界中点,且BC=a,CA=b,AB=c,s=(1)/(2)(a b c),△ABC、△AEF、△BDF、△CED的内切圆半径分别为r、rA、rB、rC,则有     

数学诡辩一例

求证:任意三角形为等腰三角形.已知:在△ABC中,求证:AB=AC.证明　如图1,作∠A的平分线AN,再作BC的垂直平分线OH交AN于O,作OE⊥AB,OF⊥AC,垂足分别为E、F,连接OB、OC.∠1=∠2AO=AO∠AEO=∠AFO=90°　△AEO≌△AFO　　AE=AFOE=OFO在BC的垂直平分线上　OB=OC　　　　　1     

等积变形与面积证题(三)

<正>一般说来,若Δ=Δ_1+Δ_2+…+Δ_n称为一个面积方程.如例1中,就是从面积方程S(△ABC)=S(△APB)+S(△BPC)+S(△CPA)入手的.1.若S(△ABC)=S(△A_1B_1C_1),这样1/2AB·h_c=1/2A_1B_1h_(c1).当AB=A_1B_1,则有h_c=h_(c1);当h_c=h_(c1),则有AB=A_1B_1.利用上述关系可以证明线段的相等.     

数学问题解答

2006年1月号问题解答(解答由问题提供人给出)1591如图,△ABC中,CD⊥AB于D,△ACD、△BCD的内切圆分别切AC,BC于E,F.求证:(1)若∠ACB=90°,则∠EDF=90°.(2)若∠EDF=90°,则∠ACB=90°.证明(1)因为∠ACB=90°,CD⊥AB,所以△ACD∽△CDB,所以ACBC=BCDD=CADD=BACC CADD--BCDD.因为A     

一道预赛题的解法探究和拓展

题目(2012年全国高中数学联赛湖北省预赛试题)在△ABC中,AB=BC=2,AC=3.设O是△ABC的内心,若→AO=p→AB+q→AC,则pq的值为.本文探究这一问题的多种解法,并考虑该问题的拓展,得到了更一般的结论.1.解法探究分析1把不共线向量→AB,→AC作为平面的基     

一堂复习课的教学实录与反思

问题1关于Rt△ABC(图1),你知道哪些知识?生1:AC2 CB2=AB2,∠A ∠B=90°;若∠A=30°,则BC=12AB,反之也成立.师:还有吗?生2:AC CB>AB,AB>AC;若M为AB中点,则CM=21AB.师:还有吗?生3:若CD⊥AB于D,则CD2=AD·BD,AC2=AD·AB,BC2=BD·AB.师:噢,我正想出示问题2呢?图2问题2因为Rt△ABC,C     

问题征解

一、本期问题征解 1.已知47~(100)是168位数,试求47~(25)的位数。 2.已知x、y为正整数,且xy=24,求函数1/(x~2+y~2)的极大值。 3.在△ABC和△A′B′C′中,已知∠B=∠B′,BC=B′C′,AB+AC=A′B′+A′C′, 求证△ABC≌△A′B′C′。 4.在△ABC中,AB=AC,在AB上取一点D,AC延长线上取一点E,使DB=EC,连接DE交BC于G,求证DG=GE。黄冈上巴河标云岗中学熊红英 5.M为BC边的中点,AD为∠A的平分线。过A、D、M三点作圆设交AB、AC于E、F点,求证BE=CF。