数学竞赛命题中的一个基本图形

如图所示，设面△ABC的三内角平分线分别交三边于A0、B0、C0，交其外接圆于D、E、F；又交△DEF的三边于A1、B1、C1．点M、N；P、Q；R、S分别是△ABC与△DEF三边的交点．记A．B、C为△ABC的三内角，其对边分别为a、b、c；D、E、F为△DEF的三内角，其对边分别为a’b’c’R（R’）、r（r’）、p（p’）、S（S’）分别为△ABC（△DEF）的外接圆半径、内切圆半径、半周长和面积，△ABC的内心为I．这一常见的构图，可以衍生出一系列数学竞赛题．题1AD⊥EF．（199且年第32届IMO加拿大训练题第6题）知类似可知故I为西DEF…     

一个三线共点命题的推广及简证

《中学数学》2007年第6期P37刊载了如下图1命题D、E、F为△ABC的周界中点,EF、FD、DE三边的中点分别为D1、E1、F1,AD1、BE1、CF1分别交BC、CA、AB于A1、B1、C1,则AA1、BB1、CC1相交于一点Z.本文给出如下推广命题D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB上的点,D1、E1、F1分别是△DEF的边EF、FD、DE上的点,AD1、BE1、CF1分别交BC、CA、AB于A1、B1、C1.如果(BDDC·ECEA·FAFB)·(DFF1E1·EDD1F1·EF1ED1)=1(*),那么AA1、BB1、CC1三线共点.简证SS△△AABCAA11·SS△△AA11ECAA·SS△△FEAAAA11…     

三角形的一个不等式

中国科技大学常庚哲同志在文[1]中用复数证明了以下问题: [问题1] 从△ABC的顶点A、B、C各作角的平分线分别交对边于D、E、F,则成立: △DEF的面积≤1/4·△ABC的面积,式中等号当且只当△ABC为等边三角形时     

正三角形中的一个不等式及其推广

本文将给出正三角形中的一个不等式，并对它进行一些推广．定理设D、E、F分别是正△ABC的边BC、CA、AB上的内点，△DEF、△AEF、△BDF、△CED的周长分别记为m0、m1、m2、m3，kR ．则当且仅当D、E、F分别是正△ABC的边BC、CA、AB上的中点时，等号成立．证明如图1，在△AEF中，A=60°．由二元平均值不等式，得由幂函数tk（kR ）在R 上单调增加，得将以上三式相加，并利用平均值不等式，可得当且仅当D、E、F分别是正面ABC的边BC、CA、AB上的中点时，等号成立．将上述定理进行推广，可得以下两个命题．命题1设D、E、F分…     

用超级画板探究三角形对称点面积比问题

1989年加拿大数学竞赛试题:△ABC是面积为1的直角三角形,D、E、F分别是A、B、C关于各自对边的对称点,求△DEF的面积.……     

三角形分块面积乘积的一个性质

定理设D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB上的点,且BD:DC=CE:BA=AF:FB=λ,AD、BB、CF交成△RQS,P为△RQS内或其边上一点,以S_cS_a、S_b分别表示△PAB、△PBC、△PCA的面积,则当P点位于△RQS顶点时,S_aS_bS_c达到最小值。引理1 设△ABC所在平面为π,作平面π＇与π交于直线BC,在π＇内作正△A＇B＇C＇,使B＇C＇与BC重合。在AA＇,使A与A＇对应,B与B＇对应,C与C＇对应,过△ABC内或边上任一点X作AA＇的平行线交π＇于X＇,则让X与X＇对应,于是建立了π→π＇的一一对应,则有 1)D、E、F对应点D＇、E＇、F＇分别位于B＇C＇、C＇A＇、A＇B＇上,且有B＇D＇: D＇C＇=C＇     

四边形的一个性质的推广

题目设D、E、F分别为△ABC三边BC,CA,AB的中点,则S△DEF=1/4S△ABC.     

四边形的一个性质

题目设D,E,F分别为△ABC三边BC,CA,AB的中点,则S△DEF=(1)/(4)S△ABC. 将其推广到四边形有: 定理在四边形ABCD中,G1、G2、G3、G4,分别为△BCD,△CDA,△DAB,△ABC的重心,则(如图1,2)     

涉及三角形的角平分线的两个轨迹问题

定理 1　设 AD,BE,CF是△ ABC的角图 1平分线 ,△ ABC内的动点 P到其三边的距离构成某三角形的三条边之长 ,则点 P的轨迹是△ DEF的内部 .证明　如图 1 ,过点 P作直线 E′F′分别交 AC、AB于点 E′、F′.设点 P到边 BC,CA,AB的距离分别为 r1,r2 ,r3 .则S△ E′AF′=12 ( AE′.r2 AF′.r3 ) ,( 1 )S△ ABC=12 ( ar1 br2 cr3 ) ,( 2 )　　　 S△ E′AF′S△ ABC=AE′.AF′bc . ( 3)把 ( 1 )、( 2 )代入 ( 3)式可得ar1 br2 cr3 =bc( r2AF′ r3 AE′) ( 4 )由于　 AE =bca c,AF =bca b,所以bc( r2AF r…     

三角形覆盖问题的推广

在www.gzjzes.com的数学论坛中,讨论着这样的一条题,笔者见后,觉得很有启发,特整理证明讨论如下.题目:平面上有2004个不共线的点,每3个点都构成面积不大于1的三角形.求证:这2004个点可以被一个面积不大于4的三角形覆盖.证明选取构成所有三角形中面积最大的一个,记为△ABC,由条件可知S△ABC<1,依次过A,B,C作BC,AC,AB的平行线,三线交于D,E,F.下证明结论成立.图1如图1,运用反证法,假设2004个点中有一点G在△DEF外,(不妨设在边EF外,在边DE,DF外的情况类同),则有S△BCG>S△ABC,这与条件S△ABC为最大的三角形矛盾,所以假设不成立…     

一类内接三角形的面积的统一公式

设P是△ABC所在平面内任意一点，AP，BP，CP交直线BC，CA，AB分别于D，E，F，则称△DEF为点P关联△ABC的内接三角形．本文得到了此类内接△DEF与△ABC面积关系的统一公式．即定理设P是△ABC所在平面内的一点，△DEF是P关联△ABC的内接三角形，若有向线段的比，则有Ceva定理知2lA人一1．先证P在凸ABC内的情形．如图1，由于次证P在凸ABC外的情形．如图2，因凸ABC三边所在直线以及过凸ABC三顶点与三边的平行线，六条直线将凸ABC外面的部分划分为15个不同的区域U中一1．2，…，15）．这些区域可归结为四类：UI－U3为…     

有向面积及其应用

本文约定用〔ABC〕,〔AB… GH〕表示△ ABC,多边形 AB… GH的面积 .设 D、E、F是△ABC的 BC、CA、AB边上的点 ,且 BDDC=l,CEEA=m,AFF B=n,文〔1〕证明了〔DEF〕〔ABC〕=1 lmn( 1 l) ( 1 m) ( 1 n) . ( 1)文〔2〕进一步指出 ,若 D、E、F 是直线 BC、CA、AB上的点 ,且有向线段之比 BDDC=l,CEEA=m,AFF B=n,则〔DEF〕〔ABC〕=1 lmn( 1 l) ( 1 m) ( 1 n) . ( 2 )但文〔2〕未加证明 ,本文给出 ( 2 )的证明 .为此 ,先介绍多边形的有向面积 .设有△ A1 A2 A3 ,当其顶点绕行方向为逆时针方向时 ,记 S =〔A1 A2 A3 〕…     

四心垂足三角形外接圆半径的一条不等式链北大核心

定义点P为△ABC内一点,过点P分别作PD⊥BC,PE⊥CA,PF⊥AB,垂足分别为点D,E,F,连接DE,EF,FD,则称△DEF为△ABC的垂足三角形．在本文中,我们约定△ABc的三边分别为BC=a,CA=b,AB=c,外接圆,内切圆的半径分别为R,r,面积为S,R△表示三角形外接圆的半径．     

西摩松线及其逆定理在有心圆锥曲线中的推广

西摩松线及其逆定理[1]可统一表述为:点P是△ABC所在平面内的一点,过点P向三边BC、CA、AB或它们的延长线引垂线,垂足分别为D、E、F.则D、E、F三点共线的充要条件是:点P在△ABC的外接圆上.在有心圆锥曲线中,作如下推广:     

一个有用的几何命题

命题1点P是△ABC的边AC的中点,E F过点P交BC于F,交BA的延长线于E,则S_(△BAC)∠C,过A作AD∥BC,交线段PE于点D,     

三角形中的“投影点”与“四心点”的关系

在三角形ABC所在平面内任取一点P,从它向三边BC,CA,AB分别作正投影,得三个垂足点D,E,F,我们称△DEF为投影三角形,而叫P为投影点,所谓三角形的“四心点”是指三角形的重心、垂心、外心和内心,本文试图探讨投影点与四心点之间的某些关系以及与它们相关的三角形的一些性质。为简单起见,记BC=a,AC=b,A,B=c,A,B,C则表三角形之三角。S表面积,h_a,h_b,h_c则表示三边上的高线长,R,r相应的为外接圆与内切圆半径。记     

三角形外接圆与内切圆的性质及推广

<正>性质如图1,⊙O、⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆,D、E、F分别是⊙I在三边上的切点,AI、BI,CI分别交⊙O于点R、S、T,则RD、SE、TF、OI四线共点,且△RST∽△DEF.证明设RD交OI于点P_1,SE交OI于点P_2,连结OR、OS、ID、IE,     

圆内接三角形的一个性质

设I为△ABC的内心,射线A I、B I、C I与△ABC的外接圆分别交于点D、E、F,EF与AD交于点P,DF与BE交于点M、DE与CF交于点N,则I是△PMN的内心.图1证明连结AF(如图1),∵∠1=∠4,∠2=∠5,∴∠1 ∠2 ∠3=∠4 ∠5 ∠3.∵内心是三角形三条内角平分线的交点,∴∠4 ∠5 ∠3=90°即∠1 ∠2     

巧分面积与线段

如图1,ABCD是 任意凸四边形,A1、C1 分别是AB与CD的中 点,B1、B2与D1、D2分 别是BC与DA的三等 分点.E、F为A1C1与 B1D2及A1C1与B2D1 的交点.则图1中有结论: ①E、F是A1C1的三等分点; ②S1+S6=S2+S5=S3+S4=1/3SABCD.     

内接三角形的面积公式及其推广

若D,E,F各是△ABC三边BC,CA,AB上的点,则称△DEF为△ABC的内接三角形.如图1. 给定三角形的一个内接三角形,它的面积如何确定.笔者就此作了较为深入的探讨,得出了如下结论.