涉及三角形外心线的一类几何不等式

我们知道,三角形中涉及高线、内角平分线、中线等几何元素的几何不等式非常丰富(见[1]).本文通过引入三角形的一个新几何元素-三角形的外心线,并类比三角形中与高线、中线、内角平分线相关的几何不等式,建立了三角形中一类与外心线有关的新的几何不等式.这里,我们给出三角形外心线的定义如下.定义1过三角形的一个顶点和它的外接圆的圆心的直线,与这个顶点的对边或其延长线相交于一点,该顶点与交点间的线段叫做三角形的     

whc32的解决

ｗｈｃ３２的解决张汉清（山西财专基础部０３００２４）既有内切圆又有外接圆的四边形称为双圆四边形，又叫双心四边形．９０年代初，对双心四边形的研究曾经盛极一时，得到了许多图１有趣的性质．如图１，双心四边形ＡＢＣＤ的外接圆为⊙Ｏ，内切圆为⊙Ｉ，⊙Ｉ切四边于...     

对一道几何题解题方法的研究

一、问题的提出 如图1,设四边形ABCD是圆内接四边形,I和J分别是△ABD和△BCD的内心,证明:四边形ABCD为外切四边形,当且仅当A,I,J和C共线或者共圆. 二、问题的分析 1.四边形ABCD既是圆内接四边形,又是外切四边形,即四边形ABCD是双心四边形,可以考虑利用双心四边形的一些性质.     

外切于圆的凸四边形的两条性质及推论

外切于圆的凸四边形有如下的两个结论,我们以定理的形式介绍. 定理1 外切于圆的凸四边形中,若一双对边的延长线相交,则另一双对边中的一条边的一端点处的内角平分线与另一端点的切点弦直线相交,所得两交点的连线平行于这一条边.     

三角形的四心性质在竞赛中的应用

<正>三角形的重心、垂心、内心、外心是三角形的重要概念.重心:中线的交点,重心将中线长度分成2∶1;垂心:高线的交点,高线与对应边垂直;内心:角平分线的交点(内切圆的圆心),角平分线上的任意点到角两边的距离相等;外心:中垂线的交点(外接圆的圆心),外心到三角形各顶点的距离相等.利用三角形的四心的性质去解题是初中数学竞赛热点.     

等腰三角形的综合研究(上)

<正>(一)基础知识提要有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.其中相等的两条边叫做腰,第三边叫做底边.底边对的角叫做顶角,其余两个角叫做底角.一、等腰三角形的基本定理定理1等腰三角形的两个底角相等,两个角相等的三角形是等腰三角形.(简称为,三角形中等边对等角,等角对等边).定理2等腰三角形顶角的平分线也是底边上的中线、高线和垂直平分线.即等腰三角形的内心、重心、垂心和外心在一条直线上,     

完全四边形的一条性质及应用

我们把两两相交又没有三线共点的四条直线及它们的六个交点所构成的图形,叫做完全四边形.如图1,设直线ABE、BCF、ECD、ADF两两相交于B、C、D、A、E、F六点,即为一个完全四边形.BD、AC、EF为其三条对角线.完全四边形有一系列有趣性质,这里仅介绍其中的一条:性质完全四边形的一条对角线所在直线与其他两条对角线相交,则被其他两条对角线调和分割.如图1,设直线AC与BD交于M,与EF交于N,则AMAN=M CN C或AM·N C=AN·M C.若BD∥EF,则AMAN=BDEF=M CN C即证.若BD\∥EF,可设两直线相交于点G.此时还有BMDM=BGDG,ENFN=…     

一个古典几何定理的推广

统编教材《几何》二册有题: 内接于圆的四边形A刀CD对角线月c与刀D垂直相交于K.过K的直线与边摊D、BC分别相交于H和M.那么 (1)’若‘万土乃D,则c材一对B; (2)若C脚=MB,则式H土_月D. 其中(l)是卜拉美古塔(7世纪印度数学家)定理. 由于△B‘‘为直角三角形,所以M为△仪服的外心,因此可作如下推广: 定理过圆内接四边形两对角线交点作任一边的垂线,必过以其对边为一边、以交点为一顶点的三角形的外心.悔 证明如图l,设圆内接四边形月刀‘刀对角线韶、BD相交于尸点,过p作直线PH土AB于H,作DP中垂线交IlP于口,交Dp于刀.我们来证明Q为△…     

三角形“四心”的性质及应用

三角形的四心,是三角形的垂心、重心、外心和内心的总称。它们分别是三角形三条高、三条中线、三內角平分线和三边中垂线的交点。其中三角形的重心和内心,显然应在三角形形内;但对于三角形的垂心和外心,其位置应依三角形的形状而定——锐角三角形     

完全四边形的Miquel点及其应用

我们把两两相交又没有三线共点的四条直线及它们的六个交点所构成的图形,叫做完全四边形.六个点可分成三对相对的顶点,它们的连线是三条对角线.如图1,直线ABC、BDE、CDF、AFE两两相交于A、B、C、D、E、F六点,即为完全四边形ABCDEF,连线AD、BF、CE为其三条对角线.     

引入外心巧解题

<正>三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心,它是三边垂直平分线的交点.利用外心到三角形三个顶点的距离相等及圆周角定理,可巧解一些几何问题.下面以文[1]的两个题目及文[2]的一个题目为例说明如下.问题1[1]如图1,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=80°.O为形内一点,∠OBC=10°,∠OCB=30°.求∠BAO度数.     

“平几”中真,“立几”中也真吗?

立体几何中,常常会遇到与平面几何中“形式”相同的命题,这些平面几何中的真命题,在立体几何中还真?下面给出一组平面几何中的无误的真命题,考虑在立体几何中,哪些真?哪些不真? 1.不相交的两条直线一定平行。 2.两条互相垂直的直线一定交于一点。 3.如果一条直线与两条互相平行的直线中的一条相交,那么必与另一条直线相交。 4.四条边都相等的四边形一定是菱形。 5.四边形的四个内角和必为360°。 6.各边都相等的四边形的两条对角线一定互相垂直。 7.平行于同一直线的两条直线一定平行。 8.垂直于同一条直线的两条直线一定平行。     

向量视野下的三线共点

<正>向量身份的独特性,对现代数学具有划时代意义.对解析几何的发展意义重大.一、问题由来在初中,我们学习过三角形的重心、内心、外心及垂心,其中涉及证明三线(高、中线、角平分线、中垂线)交于一点的问题.现在,笔者试图通过向量在平面几何中的应用,来简化证明过程,为读者打开向量的新思路,增强对向量的了解和基础应用.     

关于三角形外心线的几个不等式

众所周知,三角形中有高线、中线、内角平分线等几何元素.本文将给出与这些几何元素平行的一个新概念——三角形的外心线,并通过类比三角形中与高线、中线、内角平分线相关的不等式([1]),建立了三角形中与外心线有关的几个新的几何不等式.     

折纸,折出三角形的“四心”

<正>每逢学习三角形的主要线段时,我都会设计一次"手工课",通过折纸找三角形的"四心",同学们多元智能参与,跃跃欲试,兴趣盎然.三角形的"四心":1.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.2.三角形三个内角的平分线的交点叫做三角形的内心.3.三角形三条高所在直线的交点叫做三角形的垂心.4.三角形三边中垂线的交点叫做三角形的外心.     

三角形旁切圆切点的一个性质

定理　设△ABC的旁切圆⊙Ia、⊙Ib、⊙Ic 分别切BC、CA、AB于点X、Y、Z .过YZ和BC的中点X1和D作一直线X1D ,及类似的直线Y1E和Z1F(如图 1) .则X1D、Y1E、Z1F三线共点且该点恰为△DEF的内心 .先给出下面的引理 .引理 1[1] 　分别过三角形三边中点的三条周界平分线交于一点 ,这一点称为第二等周中心 (证明略 ) .图 1　　　　　　图 2引理 2　若四边形的一组对边相等 ,则相等的这一组对边交角的平分线必平行于另一组对边中点的连线 .证明　如图 2 ,设四边形ABCD中 ,AD=BC ,E、F分别为AB、CD的中点 ,AD、BC的延长线交于点…     

蝶形初探

两个对顶的三角形，如图1（甲），就构成一个蝶形ABCD，也即有一个自交点的四边封闭折线．和，从而它七个项角的和等于一个ACF同一个四边形BDEG内角的总和，因此，是540°．在四边形中，两条对角线一连，就构成一对共生的蝶形，如图1（乙），在梯形、平行四边形研究中，派上了大用场．在三角形内任取一点E，如图1（丙），将顶点和这点连结延长，即把三角形划分为三个共生蝶形，它们不仅在三角形的各心，而且在高、角平分线、中线研究中发挥着独特作用．圆周角定理、相交弦定理，如图1（丁）的研究，也离不开蝶形．笔者试翻了近年各省市…     

别忘了让平面向量与三角形谈“心”

<正>平面向量与三角形综合题目经常见,但根据平面内有一点满足一定的平面向量的条件式,判断该点是三角形的什么"心"的问题不太多,但也不能忽视,下面举例说明,以供参考.一、平面向量与三角形谈"外心"三角形的外心:三角形的三边的垂直平分线交于一点,这点叫做三角形外接圆的圆心,简称外心.     

三角形中一类新的几何不等式

众所周知,三角形中有高线、内角平分线、中线等几何元素.本文将给出与这些几何元素平行的一个新概念——三角形的外心线,并通过类比三角形中与高线、中线、内角平分线相关的不等式,建立三角形中一类与外心线有关的新的几何     

三角形界心的一组性质

文［1」证明了sit设AD、AM、AP分别是bAfN的角平分线、中线和周界中线，则（1）IM／／AP，（2）J．G、I共线且JG＝ZGI．定同1三角形内心即为其中位三角形的界心．江阴设A尸为西川究周界中线，西人MN为中位三角形，J为bABC内心（如图），由引理知，U斤AP，延长LI交NM于L’，WIJ。。。。。＋。＝t。，。。。。bLMN的周界中线；连NI延长交LM于N，同理可证NN是bLMN的周界中线，即I是bLMN的界心．定理1可视为“三角形外心是中位三角形的垂心”的对偶定理．又由于“三角形垂心是它垂足三角形的内心”，于是有定理2设bADC…