三角形中一类新的几何不等式

众所周知,三角形中有高线、内角平分线、中线等几何元素.本文将给出与这些几何元素平行的一个新概念——三角形的外心线,并通过类比三角形中与高线、中线、内角平分线相关的不等式,建立三角形中一类与外心线有关的新的几何     

涉及三角形外心线的一类几何不等式

我们知道,三角形中涉及高线、内角平分线、中线等几何元素的几何不等式非常丰富(见[1]).本文通过引入三角形的一个新几何元素-三角形的外心线,并类比三角形中与高线、中线、内角平分线相关的几何不等式,建立了三角形中一类与外心线有关的新的几何不等式.这里,我们给出三角形外心线的定义如下.定义1过三角形的一个顶点和它的外接圆的圆心的直线,与这个顶点的对边或其延长线相交于一点,该顶点与交点间的线段叫做三角形的     

三角形的五心初谈(一)

<正>在欧几里得的《几何原本》中,没有三角形五心的概念.对三角形"心"的认识应该说是平面几何认识的深化,是近代人们较为系统的开拓.1对三角形五心的初识人们在几何作图和证明中逐渐发现,三角形的三条中线、三条角平分线、三条高线、三边的垂直平分线和一个内角的平分线以及另两个外角的平分线都是共点的.我们用极其初等的办法就可以证明.     

三角形的四心性质在竞赛中的应用

<正>三角形的重心、垂心、内心、外心是三角形的重要概念.重心:中线的交点,重心将中线长度分成2∶1;垂心:高线的交点,高线与对应边垂直;内心:角平分线的交点(内切圆的圆心),角平分线上的任意点到角两边的距离相等;外心:中垂线的交点(外接圆的圆心),外心到三角形各顶点的距离相等.利用三角形的四心的性质去解题是初中数学竞赛热点.     

三角形内外角平分线性质及其应用

在研究几何中,我们时常发现一些有趣的性质,如三角形的同一个角的内角平分线和外角平分线分其对边及其延长线上的四条线段成比例.此性质充分揭示出三角形的同一个角的内角平分线和外角平分线之间的内在关系,即由内、外角平分线所截得的四条共线线段成比例,它为我们证明此类问题开辟了一条行之     

等腰三角形的综合研究(上)

<正>(一)基础知识提要有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.其中相等的两条边叫做腰,第三边叫做底边.底边对的角叫做顶角,其余两个角叫做底角.一、等腰三角形的基本定理定理1等腰三角形的两个底角相等,两个角相等的三角形是等腰三角形.(简称为,三角形中等边对等角,等角对等边).定理2等腰三角形顶角的平分线也是底边上的中线、高线和垂直平分线.即等腰三角形的内心、重心、垂心和外心在一条直线上,     

三角形外角平分线三角形的性质

关于与三角形相关联的三角形 ,诸如垂足三角形、伪垂足三角形、中点三角形、内角三等分线三角形、外角三等分线三角形等等的研究 ,近年来有很多新的结果 .而对三角形外角平分线的交点所构成的三角形 (以下简称“三角形外角平分线三角形”)的研究并不多见 ,本文给出三角形外角平分线三角形的一些性质 ,旨在抛砖引玉 ,使对有关三角形的研究更趋完善 .图 1如图 1 ,△ ABC是一任意三角形 ,△ DEF是其外角平分线三角形 .设△ ABC的面积为△ ,外接圆半径为 R,三内角 A、B、C所对的边分别为 a、b、c;△ DEF的面积为△ 0 ,三内角 D、E、F所…     

关于三角形内角平分线长的一个不等式

关于三角形内角平分线长的一个不等式赵小云，孙文彩（杭州大学数学系３１００２８）（湖南南县第二中学４１３２０２）刘健在文［１］中证明了下述的三角形不等式：设△ＡＢＣ的内角Ａ，Ｂ，Ｃ的平分线与面积分别为Ｗａ，Ｗｂ，Ｗｃ与△，则（其中表示循环和，下同此）联...     

构造等边三角形解赛题

几何题难,难在作辅助线.在人们的思维定势中,常以作延长线、作高线、作角平分线和作中线为思考的方向,而以某线为一边,作等边三角形这样的辅助线很难想到.若在解题时我们能构造等边三角形解题,就可以简化思考     

三角形的"四心"的三种向量表示

众所周知,三角形的"四心"——重心(三条中线的交点)、内心(三个内角的角平分线的交点)、外心(三条线段中垂线的交点)、垂心(三条高线的交点),在三角形中有着极其重要的地位.因此,高考对三角形"四心"的考查从没间断,且常考常新.特别是与三角形"四心"有关的向量问题,由于它能凸现出较好的区分和选拔功能,因而备受各级各类考试命题者的青睐.作者近几年在这方面作了一些收集、探究工作,通过实例总结提炼了一些解题方法和规律,现整理成文,奉献给大家,希望能对读者在学习中有所启迪.……     

三角形一个共点线命题的"姊妹"命题

文[1]给出这样一个共点线定理: 三角形一内角平分线分原三角形为两个新的三角形,其内心和该内角的外角平分线与对边延长线的交点共线.     

例析三角形中位线定理及其应用

与三角形有关的“线”非常多，如高线、中线、角平分线、垂直平分线等，它们都在解决三角形有关问题中扮演着不同的“角色”、发挥着不同的作用.本文中以北师大版初中数学教材为蓝本，结合例题分析三角形中位线定理及其应用，可以给一线教师带来帮助.     

sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)≤1/8新证

在△ABC中,成立着不等式,这是同学们熟知的。本文应用三角形内角平分线的长与高的关系,给出这个不等式的一个新颖、简捷的证法,供参考。     

与三角形主要线段有关的命题

初中《九义》教材，几何第二册第三章一开始，介绍了三角形的角平分线，三角形的中线及三角形的高。本文例说与三角形的这些主要线段有关的命题，供同行在几何复习教学时参考。命题１若Ｉ为△ＡＢＣ的内角平分线的交点，ＡＩ的延长线交△ＡＢＣ的外接圆于点Ｄ，则：①ＤＩ...     

三角形“四心”的性质及应用

三角形的四心,是三角形的垂心、重心、外心和内心的总称。它们分别是三角形三条高、三条中线、三內角平分线和三边中垂线的交点。其中三角形的重心和内心,显然应在三角形形内;但对于三角形的垂心和外心,其位置应依三角形的形状而定——锐角三角形     

折纸,折出三角形的“四心”

<正>每逢学习三角形的主要线段时,我都会设计一次"手工课",通过折纸找三角形的"四心",同学们多元智能参与,跃跃欲试,兴趣盎然.三角形的"四心":1.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.2.三角形三个内角的平分线的交点叫做三角形的内心.3.三角形三条高所在直线的交点叫做三角形的垂心.4.三角形三边中垂线的交点叫做三角形的外心.     

关于三角形角平分线与边长的一个不等式

关于三角形角平分线与边长的一个不等式３３１１１３华东交通大学刘健１引言１９９４年，杨学校“’与王振、陈计”’先后用不同的方法证明了涉及三角形内角平分线的不等式：Ｗ。ＷａＷｃ＿３Ｈ——＋Ｍ＋＝３ＭＭ，（ｌ）其中。、ｂ、ｃ与Ｗ．、Ｗａ、Ｗｅ分别为任意面Ａ...     

基于三角形的内角平分线问题的求解策略

三角形的角平分线是指三角形的一个角的平分线和对边相交,角的顶点和交点间的线段．这样在解析几何中涉及到与三角形的角平分线的问题常常有求三角形顶点的坐标、内角平分线的长度、内角平分线所在的直线方程、分点的坐标等．上述问题求解常用策略如下：     

与三角形角平分线相关的三条结论

三角形的三个内角之和为180°,这是平面几何中一条十分重要的定理.那么在此基础上,三角形的内角或外角平分线与其内角间有怎样的关系呢?本文总结出与角平分线有关的三条结论.结论1三角形的任意两条角平分线间的夹角等于第三个角的一半加上90°;结论2三角形的任一内角角平分线与它不相邻的任一外角的角平分线间的夹角等于第三个角的一半;结论3三角形的任意两个外角的角平分线间的夹角等于90°减去第三个角的一半.证明如下:1.如图1,△ABC中,∠ABC与∠BCA的角平     

探究三角形主要线段与三角形全等

<正>同学们知道判定两个三角形全等需要三个条件,并有SSS,SAS,ASA,AAS,HL等判定方法,这些都是从三角形边角的角度判定的.同学们还知道,全等三角形对应中线、对应角平分线、对应高线分别相等.那么,反过来,从三角形边角和主要线段(中线、角平分线、高线)中取三个条件,能判定两个三角形全等吗?我们按照下面的思路探究,先固定三角形中边角的两个条件,再添加一个关于三角形主要线段的条件.