已知数列通项公式求其递推式的定理及应用

先分析两个递推式：（1）Sn=a^n＋b^n=（a＋b）Sn-1-abSn-2；（2）Sn=a^n＋b^n＋c^n=（n＋b＋c）Sn-1-（ab＋bc＋ca）Sn-2＋abcSn-3．     

一道高考题解法的再探究

文[1]对递推数列a1=a，a（n＋1）=f（n）an＋g（n）的两种特殊情况给出了通项an的解法．本文介绍这个问题的一般解法，即通过构造辅助数列，用累加法求其通项an．     

分式线性递归数列的通项求法

定义1 由递推公式an＋1=aan＋b/can＋d（c≠0,且ad-ba≠0）及初始值a1=p确定的数列，称为分式线性递归数列．     

一类行列式的计算公式

利用母函数导出具有递推关系Dn=b1Dn-1 b2Dn-2的行列式的计算公式.     

柯西不等式中取等条件的妙用

设a1,n2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数,则（a1^2＋a2^2＋…＋an^2）（b1^2＋62^2＋…＋b1^2）≥（a1b1＋a1b2＋…＋anbn）^2,当且仅当bi=0（i=1,2,…,n）或存在一个数k,使得ai=kbi（i=1,2,…,n）时,等号成立．     

利用点列共线巧证等差数列的几个有趣性质

等差数列的通项可以表示为an=dn＋（a1-d），从函数的观点看，点列（n，an）在直线y—kx＋b（k=d，b=a1-d）上．故有下面的命题：     

赋予新内容 用递推公式

递推数列是数列一章的难点,若赋予新知识内容,则关系更加隐蔽,题目难度更大,现举例说明,供读者参考.一、赋予三角内容例1已知数列{an}满足a1=1,an=an-1cosx＋cos（n-1）x（x≠kπ,n≥2）,求通项公式an.解∵a1=1,an=an-1cosx＋cos（n-1）x（n≥2）.     

谈数列中一个背景的演绎构造

在求解数列通项问题中，对于an＋1=qan＋f（n）这一条件背景，若能合理的对f（n）进行演绎变化，就能构造出以下的递推形式：bn＋1=kb。（k是非零常数，n∈N＊），从而能够揭示出隐含的等比关系，可使问题豁然明朗，     

网球运动员专项知觉技能训练有效性试验研究

（2012年江苏高考第20题）已知各项均为正数的两个数列：{an}和{bn}满足：an＋1=an＋bn/√a2n＋b2n,n∈N＋. （1）设bn＋1=1＋bn/an,n∈N＋,求证：数列{（bn/an）2}是等差数例.     

Precise Rates in the Law of Iterated Logarithm for the Moment of I.I.D. Random Variables

Let{X,Xn;n≥1} be a sequence of i,i.d, random variables, E X = 0, E X^2 = σ^2 〈 ∞.Set Sn=X1＋X2＋…＋Xn,Mn=max k≤n│Sk│,n≥1.Let an=O（1/loglogn）.In this paper,we prove that,for b〉-1,lim ε→0 →^2（b＋1）∑n=1^∞ （loglogn）^b/nlogn n^1/2 E{Mn-σ（ε＋an）√2nloglogn}＋σ2^-b/（b＋1）（2b＋3）E│N│^2b＋3∑k=0^∞ （-1）k/（2k＋1）^2b＋3 holds if and only if EX=0 and EX^2=σ^2〈∞.     

具有递推关系的一类计算对象的解法

1.定理　设 Dn 是一个与自然数 n有关的计算对象 ,具有递推关系 Dn=a1Dn- 1+a2 Dn- 2 +…+ak Dn- k,其中 a1,a2 ,… ,ak 是 k个已知常数。如果矩阵A =a1a2 … ak- 1ak1 0… 0 00 1… 0 0……………0 0… 1 0可对角化 ,即存在可逆矩阵 P,P- 1AP=Λ,Λ=λ1λ2 λk;并且 PΛn- 1P- 1Dk廌2D2=b1廱k- 1bk,则Dn=bk。证明　∵ Dn=a1Dn- 1+a2 Dn- 2 +… +ak Dn- k,∴ Dn+k- 1=a1Dn+k- 2 +a2 Dn+k- 3+… +ak Dn- 1,从而Hn =Dn+k- 1Dn+k- 2Dn+k- 3廌n=a1Dn+k- 2 +a2 Dn+k- 3+… +ak Dn- 1Dn+k- 2Dn+k- 3廌n=a1a2 … ak- 1ak1 0… 0 00 1…     

一类“形似而神异”的递推数列

2011年广东高考数学第20题第（1）问是：设b〉0,数列{an}满足a1=b,an=（nan-1）/（an-1＋2n-1）（n≥2）,求数列{an}的通项公式.看到这个问题,使我们想起了2006年江西高考22题第（1）问：已知数列{an}满足：a1=32,且an=（3nan-1）/（2an-1＋n-1）（n≥2,n∈...     

分式递推——平移变换型

这种递推关系的原型来源于新、旧教材课本上的一道例题：已知数列{an}中,a1=1,an=1＋an-1^-1（n〉1）,写出这个数列的前5项（现人教A版必修5第31页例3）．很明显,此类结构的递推关系一般很难直接求出其通项公式,自然会给命题者以无限遐想的空间,从而命制出形态各异的难点题目,笔者注意到,从2006年起,高考数列的目光就开始亲睐此种递推关系的数列而且都是压轴的22题．     

探究一道高考题的幕后知识

湖北卷（理）22题：已知不等式1/2＋1/3＋…＋1/n〉1/2[log2 n],其中n为大于2的整数，[log2 n]表示不超过log2 n的最大整数，设数列｜an｜的各项为正，且满足：a1=b（b〉0）,an≤nan-1/n＋an-1,n=2,3,4…，     

一道高考填空题的解法探究

2013年高考新课标卷I理科第12题为：设△AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn,△AnBnCn的面积为Sn,n=1,2,3,…,若b1〉c1,b1＋c1=2a1,an＋1=an,bn＋1=cn＋an/2,cn＋1=bn＋an/2,则（）     

一个组合问题的解法及拓展

文[1]用待定系数法求出了由递推式 αn＋1=cαn＋d/ααn＋b确定的数列{αn}的通项公司（只要方程αx^2＋（b-c）x-d=0有根（包括复数根），都可用[1]的方法求解；若无根，则α=0，b=c，d≠0，得{αn}是等差数列。[1]中对数列{αn}的各项取倒数时，应要求αn≠0（n∈N^＊）。     

一道2009年高考数列不等式试题的几种简捷证法

2009年高考山东卷理科第20题为：等比数列{an}的前n项和为Sn,已知对任意的n∈n^＊,点（n,Sn）均在函数y=b^x＋r（b〉0）且b≠1,b,r均为常数）的图象上．     

Precise asymptotics in Chung’s law of the iterated logarithm

Let X, X1, X2,... be i.i.d, random variables with mean zero and positive, finite variance σ^2, and set Sn = X1 ＋... ＋ Xn, n≥1. The author proves that, if EX^2I{｜X｜≥t} = 0（（log log t）^-1） as t→∞, then for any a〉-1 and b〉 -1,lim ε↑1/√1＋a（1/√1＋a-ε）b＋1 ∑n=1^∞（logn）^a（loglogn）^b/nP{max κ≤n｜Sκ｜≤√σ^2π^2n/8loglogn（ε＋an）}=4/π（1/2（1＋a）^3/2）^b＋1 Г（b＋1）,whenever an = o（1/log log n）. The author obtains the sufficient and necessary conditions for this kind of results to hold.     

竞赛中的递推数列问题

一般地，如果一个数列的第n项an与前面的k项a（n-1），a（n-2），…，a（n-l）（k为某个正整数，且k〈n）之间有关系an=f（a（n-1），a（n-2），，…，a（n-k）），则称该关系为k阶递推关系，或称为递归关系，这里厂是关于a（n-1），a（n-2），…，a（n-k）的k元函数，称为递推函数或递归函数。由k阶递推关系及给定的前k项a1，a2，…，ak的值（称为初始值）所确定的数列称为k阶递推数列或k阶递归数列．一阶、二阶递推数列是高中数学竞赛大纲要求的内容．     

巧换元两法证一题

中学生数学2010年1月上给出的一道“巧证不等式”题：已知a,b∈R＋,且a＋b=1,求证：an＋bn≥（1/2）n-1（n∈N＋）.