广义Beroulli方程及其解法

本文将一阶微分方程中的Bernoulli方程dy/dx=P(x)y Q(x)^n推广到一类一阶非线性方程dx/dx=Q(x)f(y) P(x)f(y).∫1／（f(y))dy（其中1／f(y)可积）并得到其初等解法。     

Riccati型方程f'(y)dy/dx=P(x)f~2(y)+Q(x)f(y)+R(x)e~(∫Q(x)dx)的一个新的可积条件

本文利用变量变换法与常数变易法给出Riccati型方程f'(y)dy/dx=P(x)f~2(y)+Q(x)f(y)+R(x)e~(∫Q(x)dx)的一个新的可积条件∫P(x)e~(∫Q(x)dx)dx=-1/2∫R(x)dx,同时给出该条件下方程的通解,并由此推得若干类Riccati方程的通解.     

关于常数变易法与积分因子的求法

一阶线性非齐次方程dy/dx p(x)y=Q(x)(1)所对应的线性齐次方程为dy/dx p(x)y=0 (2)方程(2)的通解为y=ce-∫p(x)dx(c是任意常数).常数交易法的要点是把任意常数c变为c(x),然后求方程(1)的通解.这一点初学者不易理解,常常会问“怎么想到把c变易为c(x)”.为了解决这个疑难问题,我们介绍以下分析方法.     

全微分定理的另一证法

<正> 微分式P(x,y)dx+Q(x,y)dy要成为某一函数全微分的条件有定理若P(x,y)与Q(x,y)在单连通区域D内有一阶连续偏导数,则P(x,y)dx+     

寻找积分因子的几种方法

寻找方程:p(x、y)dx Q(x、y)dy=0(1)的积分因子没有简单的一般规律可循.本文给出某些特殊情况下寻求积分因子的几种方法.方法Ⅰ顺藤摸瓜法.如果Pdx Qdy中有一部分P_1dx Q_1dy=du,且(p-p_2)dx (Q-Q_1)dy=0有积分因子f(u),则显然f(u)也是pdx Qdy=0的积分因子,请看下例:     

全微分方程的不定积分解法及其证明

0　引言一个一阶微分方程写成P( x,y) dx +Q( x,y) dy =0 ( 1 )形式后 ,如果它的左端恰好是某一个函数 u=u( x,y)的全微分 :du( x,y) =P( x,y) dx +Q( x,y) dy那么方程 ( 1 )就叫做全微分方程。这里 u x=P( x,y) ,　　 u y=Q( x,y)方程 ( 1 )就是 du( x,y) =0 ,其通解为 :u( x,y) =C　 ( C为常数 )可见 ,解全微分方程的关键在于求原函数 u( x,y)。因此 ,本文将提供一种求原函数 u( x,y)的简捷方法 ,并给出证明。1　引入记号为了表述方便 ,先引入记号如下 :设 M( x,y)为一个含有变量 x,y项的二元函数 ,定义 :( 1 )“M( x,y)”表示 M(…     

两类一阶线性偏微分方程的解

利用二元复合函数求导的链式法则,推导一阶线性齐次偏微分方程P(x)f1x+Q(y)f1y=0的解,由此得出一阶线性非齐次偏微分方程P(x)f1x+Q(x)f1y=R(x)f和P(x) f1zx+Q(y)f1y=R(x)f的通解.     

一类曲线积分的计算方法

对坐标的空间曲线积分的计算通常采用参数法或利用 Stokes公式 ,但对某些特定的空间曲线积分也可以将其转化为平面曲线的积分 ,因而也就简化了计算步骤。考虑如下曲线积分I =∫c P( x,y,z) dx +Q( x,y,z) dy +R( x,y,z) dz ( 1 )其中 c:F( x,y,z) =0z =φ( x,y) ,而 P,Q,R,F,φ对其各变元均具有一阶连续的偏导数。利用曲线积分的定义可以得到　　　　 I =∫c′{ P[x,y,φ( x,y) ]+R[x,y,φ( x,y) ]φ′x( x,y) } dx +{ Q[x,y,φ( x,y) ]+R[x,y,φ( x,y) ]φ′y( x,y) ]} dy ( 2 )其中 c′为 c在 xoy平面上的投影曲线 ,c′的方向与 c的…     

微分形式Pdx+Qdy+Rdz的积分因子

<正> 关于P(x,y)dx+Q(x,y)dy的积分因子问题,在一般微分方程的专著中多有论述,但微分形式P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz的积因分子问题,则比较复杂,论述甚少。本文就这一问题作出初步探索。     

一类Riccati型方程的通积分

给出 Riccati型方程 :f′(y) dydx=p(x) f 2 (y) +Q(x) f (y) +R(x) e∫Q( x) dx在条件 p(x) e∫Q( x) dx=21 ∫R(x) dx′下的通积分 ,由此 ,得到若干类 Riccati方程的通积分     

贝努力方程的简便解法

一阶线性微分方程y′ P(x)y=Q(x)的简便解法是将(1)两边同乘e integral~P(x)dx,得e integral~P(x)dz eintegral~P(x)dxP(x)y=e integral~P(x)dxQ(x)即d/dx(eintegrai~P(x)dxy)=eintegrai~P(x)dxQ(x)等式两边积分后,化简得(1)的通解是     

一阶微分方程的求解方法

导数已解出的一阶微分方程:y′=f(x,y)或p(x,y)dx Q(x,y)dy=0,其求解方法是:先判断方程是否是可解的已知类型.若是,用相应的方法求解;若不是,再通过适当的变量替换或积分因子,将方程化成已知类型后求解.下面举几个一题多解的例子,拓宽思路,以便寻求较为简单的解法.     

利用二重积分证明积分不等式

有时将一元函数的积分问题转化为二元函数的二重积分问题 ,会给解题带来方便 .本文通过几个范例说明利用二重积分证明积分不等式的方法 .例 1　设函数 f (x)与 g(x)在 [a,b]上连续 ,证明 Cauchy-Schwarz积分不等式(∫baf (x) g(x) dx) 2≤∫baf 2 (x) dx∫bag2 (x) dx　　证明　记积分区域 D =[a,b]× [a,b],利用定积分与积分变量符号无关的性质等 ,有(∫baf (x) g(x) dx) 2 =∫baf (x) g(x) dx∫baf (y) g(y) dy = Df (x) g(x) f (y) g(y) dxdy≤ D12 [f2 (x) g2 (y) f2 (y) g2 (x) ]dxdy=12 ∫baf 2 (x) dx∫bag2 (y) dy 12 ∫baf …     

二元全微分的原函数的求法

设du＝P（x，y）dx＋Q（x，y）dy，称P（x，y）dx＋Q（x，y）dy为函数u（x，y）的全微分，u（x，y）为P（x，y）dx＋Q（x，x）dx的一个原函数。若已知P（x，y）dx＋Q（x，y）dy为某一函数的全微分，如何求u（x，y）呢？今举例说明如下：例求全微分（x＋y）dx＋（x—y）dy的一个原函数。首先注意，在本题中P（x，y）一一函数的全微分，即存在原函数u（x，y），使有du（x，y）＝（x＋y）dx＋（x－y）dy．解法一，简单路径法可选取或为积分路径，即这里取则解法二，微分方程法由前式解得。（x，s）一专x’＋xv＋。s），其中。，）为y的一个…     

恰当近似全微分问题

<正> 在数学分析中我们已经知道,假如 P(x,y),Q(x,y)是平面区域 G 上的连续函数,那么 P(x,y)dx+Q(x,y)dy是恰当全微分(即某一个二元函数的全微分)的充要条件是曲线积分integral from C P(x,y)dx+Q(x,y)dy与路线 C 无关(C 是区域 G 上的可求长曲线).如果 P(x,y),Q(x,y)并非连续,这时问题就变得复杂一些,因为托尔斯托夫证明了:即使在勒贝格意义下的第二型曲线积分     

完全测度空间上的 Fubini 定理

<正> 对于定义在矩形I={(x,y),a≤x≤b,c≤y≤d}上的连续函数f(x,y),我们有古典的公式:integral from I f(x,y)dxdy=ingetral from a to b[ingetral from c to d f(x,y)dy]dx=integral from a to b f(x,y)dx]dy。本文推广累次积分公式,给出完全测度空间上的Fubini 定理。给定两个测度空间(X,(?),μ),(y,(?),v),称X×Y 中集A×B 为矩形,若A∈(?),B∈(?),     

一类特殊积分因子存在的充要条件及其应用

本文主要探讨一阶微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0具有特殊积分因子μ(x~αy~β)存在的充要条件及其应用.     

Dulac函数在研究极限环个数中的应用

本文利用Dulac函数和不变集讨论一般二维系统 dx/dt=P(x,y),dy/dt=Q(x,y)的极限环的个数。特别地,对Lienard方程给出了包围多个奇点的极限环唯一性和唯二性的一组简洁的充分条件,并用于研究几类多项式微分系统。     

西安建筑科技大学·高等数学期末试题(2005.1.3)

一、填空与单项选择题(每小题3分,共30分)1.已知当x→0时,无穷小1-cosx与asin2x2等价,则a=2.limx∞x-sinxx+sinx=3.12∫-12cosxln1+x1-xdx4.设f(x)的一个原函数是sinx,则xf∫′(x)dx=5.曲线y=e-x+2x上与直线x-y+2=0平行的切线方程是6.函数y=∫x0t(t-1)dt的极小值是()(A)0(B)-16(C)16(D)567.若连续曲线y=1f(x)与y=f2(x)在[a,b]上关于x轴对称,则b∫af1(x)dx+b∫af2(x)dx的值为()(A)2∫baf1(x)dx(B)2∫ba2f(x)dx(C)0(D)2∫ba[f(x)-f2(x)]dx8.设y=exsinx,则dy=()dex(A)sinx-cosx(B)sinx+cosx(C)ex(sinx-cos(x)D)ex(sinx+cosx)9.下列函数中(…     

一类二阶非线性系统的全局渐近稳定性

本文利用微分方程定性理论讨论一类更广泛的二阶非线性系统 dx/dt=h(y)-F(x),dy/dt=-g(x)Q(x,y)零解的全局渐近稳定性.给出了上述系统无环的三个充分条件以及全局渐近稳定的三个定理.