具有某种对称性的两个函数的性质

具有某种对称性的两个函数的性质卜以军（江苏省建湖县钟庄中学２２４７４１）设有两个函数ｙ＝ｆ（ｘ）和ｙ＝ｇ（ｘ），它们的定义域都是实数集Ｒ．则有：１若函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图象与函数ｙ＝ｇ（ｘ）的图象既关于ｘ轴对称，又关于ｙ轴对称，则函数ｙ＝ｆ（ｘ）和ｙ＝...     

与反函数有关的几个对称问题

由高中《代数》（上册）互为反函数的性质知：互为反函数的两个函数ｙ＝ｆ（ｘ）与ｙ＝ｆ－１（ｘ）的图象关于直线ｙ＝ｘ对称．那么函数ｙ＝ｆ（ｘ＋１）与函数ｙ＝ｆ－１（ｘ＋１）的图象是否也关于直线ｙ＝ｘ对称？它们之间到底有何关系？本文从函数图象入手,探讨与之有关的几个问题：定理１　若函数ｙ＝ｆ（ｘ）的反函数为ｙ＝ｆ－１（ｘ）,则函数ｙ＝ｆ（ｘ＋ｃ）（ｃ∈Ｒ）与ｙ＝ｆ－１（ｘ＋ｃ）的图象关于直线ｙ＝ｘ＋ｃ对称．证明　设Ｐ（ａ,ｂ）是函数ｙ＝ｆ（ｘ＋ｃ）上任意一点,则　　　　　　ｂ＝ｆ（ａ＋ｃ）①而点Ｐ（ａ…     

纠正对反函数图象的一种错误认识

如果两个函数互为反函数，那么这两个函数的图象关于直线ｙ＝ｘ对称．因此，一些人认为若这两个函数的图象有交点，则交点必在直线ｙ＝ｘ上，在一些影响较广的中学数学辅导资料上甚至做为一条“性质”列出并用于解题，如［１］．实际上这是一种错误认识．产生错误的原因是...     

论函数与其反函数的图象的公共点

我们知道 ,单调函数都存在反函数 ,且反函数与原函数具有相同的增减性 ;互为反函数的两个函数的图象关于直线 ｙ =ｘ对称 ,但是它们的图象不一定有公共点 ,如函数ｙ =2 ｘ 与ｙ =ｌｏｇ2 ｘ的图象就没有公共点 .如果互为反函数的两个函数的图象有公共点 ,那么公共点是否一定在直线 ｙ =ｘ上呢 ?例 1　求下列函数的反函数 ,以及原函数与其反函数的图象的公共点 .1) ｆ(ｘ) =ｘ3 ;( 2 ) ｇ(ｘ) =-ｘ3.解　 1)由 ｙ =ｘ3,得ｘ =3 ｙ.因此函数 ｆ(ｘ) =ｘ3 的反函数为 ｆ-1 (ｘ) =3 ｘ .解方程组 ｙ =ｘ3,ｙ =3 ｘ .消去ｙ ,得 :ｘ3 =3 ｘ .两边…     

数形结合(待续)

数形结合（待续）晨旭（接上期）例１０（１９９０年理科）设函数ｙ＝ａｒｃｔｇｘ的图象沿ｘ轴正方向平移２个单位所得到的图象是Ｃ，又设图象Ｃ＇与Ｃ关于原点对称，那么Ｃ＇的对应函数分析：与图象Ｃ对应的函数是Ｃ＇与Ｃ关于原点对称，所以，与Ｃ’对应的函数应解选（...     

函数y=a~x和y=loga~x图象的交点

指数函数ｙ＝ａｘ和对数函数ｙ＝ｌｏｇａｘ互为反函数，它们的图象关于直线ｙ＝ｘ对称．探讨这两个图象交点的个数和位置，有助于加深对这两个函数性态的了解，并可以纠正一些流行的不正确的认识．《数学通报》１９９８年第１期载文〔１〕探讨了ａ＞１时两个图象交点的情...     

反函数的性质及应用

反函数是高中数学的重要知识点 ,也是难点 .本文主要系统介绍反函数的性质 ,并巧妙运用这些性质去解答相关的问题 .性质 1　函数 ｙ =ｆ(ｘ) 的定义域 ,正好是它的反函数 ｙ =ｆ- 1(ｘ)的值域 ;函数 ｙ =ｆ(ｘ) 的值域 ,正好是它的反函数 ｙ =ｆ- 1(ｘ)的定义域 .性质 2　函数 ｙ =ｆ(ｘ) 的图象和它的反函数 ｙ=ｆ- 1(ｘ)的图象关于直线 ｙ =ｘ对称 .性质 3　若单调函数 ｙ =ｆ(ｘ) 和 ｙ =ｇ(ｘ) 的图象关于直线 ｙ =ｘ对称 ,则函数 ｙ =ｆ(ｘ) 和 ｙ =ｇ(ｘ) 互为反函数 .性质 4　函数 ｙ =ｆ(ｘ) 若是单调函数 ,则它的反函数 ｙ =ｆ- 1(…     

深入理解偶函数概念

本文帮助同学们深入理解偶函数概念 .1　形象化感受作出函数 ｆ(ｘ) =ｘ2 的图象如图 1,你觉得这个图 1　ｆ(ｘ) =ｘ2 的图象图象与 ｙ轴之间有什么关系吗 ?若把 ｙ轴形象地看成“平面镜” ,把图象右支看成一个物体 (比如弯曲的铁丝 ) ,那么左支就可以看成什么 ?图象左右两支关于ｙ轴对称 .当把 ｙ轴看成平面镜时 ,那么图象左支可看成右支的像 ,左右两部分成双成对 ,我们不妨把它比喻作一对“配偶” .请同学们自己作出函数 ｆ(ｘ) =- |ｘ|的图象 ,再作类似如上的思考 .数学家就把图象关于 ｙ轴对称的一类函数通称为偶函数 ,“偶”就是“配偶…     

函数f（x）与f^—1（x）图象的交点一定落在直线y=x上吗？

最近碰到这样一个题目 :已知函数 ｙ =ａｘ ｂ的图象与它的反函数的图象有一个交点Ｍ ( 1,2 ) ,则两个函数图象共有交点(　　 )(Ａ) 1个 .　　　　　 (Ｂ) 2个 .(Ｃ) 3个 .　　　　　 (Ｄ) 4个 .分析 :注意到“互为反函数的图象关于直线 ｙ =ｘ对称” ,则点Ｍ关于直线 ｙ =ｘ的对称点Ｍ′( 2 ,1)也一定是它们的交点 .于是我选了 (Ｂ) .但书后的答案是 (Ｃ) .经过一番思索 ,我终于明白了 (Ｃ)为什么是正确答案 .将点Ｍ ( 1,2 ) ,Ｍ′( 2 ,1)代入 ｙ =ａｘ ｂ中 ,可得2 =ａ ｂ ,1=2ａ ｂ ,解得 ａ =- 3,ｂ =7.∴函数 ｙ =ａｘ ｂ的解析式…     

函数的对称性与周期性的关系及应用

对称性和周期性是函数的两个重要性质 ,它们之间存在什么内在的联系呢 ?这是本文要探讨的问题 .定理　函数 ｙ =ｆ(ｘ)满足 ｆ(Ｔ ｘ) =ｆ(Ｔ -ｘ) (Ｔ为常数 )的充要条件是 ｙ =ｆ(ｘ) 的图象关于直线ｘ =Ｔ对称 .证　设点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )关于直线ｘ =Ｔ的对称点为Ｐ′ (ｘ1,ｙ1) ,则 ｙ1=ｙ0 ,Ｔ =ｘ0 ｘ12 ,即ｘ0 =2Ｔ -ｘ1.1 )充分性 :若点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )为 ｙ =ｆ(ｘ)的图象上任一点 ,则 ｙ0 =ｆ(ｘ0 ) ,又因为 ｙ0=ｙ1,所以有 :ｙ1=ｆ(ｘ0 ) =ｆ(2Ｔ -ｘ1) =ｆ[Ｔ (Ｔ-ｘ1) ]=ｆ[Ｔ - (Ｔ -ｘ1) ]=ｆ(ｘ1) .∴Ｐ′(ｘ1,ｙ1)也在函数 …     

一道高考试题的几种解法

题目 ( 1994年全国高考文科试题 )如果函数ｙ =ｓｉｎ2ｘ ａｃｏｓ2ｘ的图象关于直线ｘ =- π8对称 ,那么ａ = (　　 )(Ａ) 2 .　 (Ｂ) - 2 .　 (Ｃ) 1.　 (Ｄ) - 1.解法 1　因 ｙ =ｓｉｎ2ｘ ａｃｏｓ2ｘ =1 ａ2·ｓｉｎ( 2ｘ φ) ,且其图象关于直线ｘ =- π8对称 ,所以 ,直线ｘ =- π8必经过图象的波峰或波谷 ,从而有ｓｉｎ( - π4 ) ａｃｏｓ( - π4 ) =± 1 ａ2 ,即 ( - 1 ａ) 2= 2 ( 1 ａ2 ) ,得ａ =- 1,应选 (Ｄ) .解法 2　因函数ｙ =ｓｉｎ2ｘ ａｃｏｓ2ｘ的图象关于直线ｘ =- π8对称 ,所以 ,把它沿着ｘ轴向右平移π8单位 ,得…     

函数图象的有关问题

函数图象是函数的一种表达形式 ,是刻划函数性质的重要内容 ,函数图象也是高考命题的热点 .下面例谈函数图象的类型及解题策略 .一、图象的变换1.图象的平移函数 ｙ =ｆ(ｘ)的图象沿ｘ轴向左或向右平移ａ(ａ >0 )个单位 ,所得到的图象的函数表达式为 ｙ =ｆ(ｘ +ａ) 或 ｙ =ｆ(ｘ -ａ) ;而沿 ｙ轴向下或向上平移ｂ(ｂ>0 )个单位所得到的图象为ｙ +ｂ =ｆ(ｘ)或 ｙ -ｂ=ｆ(ｘ) .例 1　函数ｙ =1- 1ｘ - 1的图象是 (　　 ) .(2 0 0 2全国高考试题 )(Ａ)　　 (Ｂ)　　(Ｃ)　　 (Ｄ)　　分析　函数ｙ =1- 1ｘ - 1的图象是由ｙ =- 1ｘ的图象沿ｘ…     

(六)函数及其图象目标测试(满分100分,45分钟完成)

（六）函数及其图象目标测试（满分１００分，４５分钟完成）一、填空：（共４０分，每小题４分）１、函数的定义，设在某一变化过程中，有两个变量ｘ和ｙ，如果对于ｘ，ｙ的值，那么就把ｙ叫做ｘ的函数，ｘ叫做。２、求下列函数中自变量ｘ的取值范围：（１）ｙ＝３ｘ２＋...     

对《函数y=a~x和y=loga~x图象的交点》的补充

余炯沛先生在［１］中导出了定理若０＜ａ＜１,则函数ｙ＝ａｘ和ｙ＝ｌｏｇａｘ的图象,当ｅ－ｅ≤ａ＜１时有且仅有一个交点（此交点在直线ｙ＝ｘ上）;当０＜ａ＜ｅ－ｅ时有三个交点,其中一个在直线ｙ＝ｘ上,其余两个在直线ｙ＝ｘ外并且关于直线ｙ＝ｘ对称．文［１］...     

关于函数图象对称问题的相关命题研究

函数是高中数学的重点内容之一 ,函数问题的多变体现了函数的特点 .研究函数图象的对称特点 ,对更进一步理解函数的性质是十分重要的 .1　图象关于点对称问题的相关命题定理　奇函数ｙ=ｆ(ｘ) ,ｘ∈Ｒ的图象关于原点对称 .(证明见教材 ,略 .)奇函数满足ｆ(-ｘ)= -ｆ(ｘ)可写为ｆ(0 +ｘ) +ｆ(0 -ｘ) =0 ,ｘ∈Ｒ .由以上关系式拓展得如下命题 .命题 1　若一个函数ｙ =ｆ(ｘ)对任意ｘ∈Ｒ满足ｆ(ａ -ｘ) +ｆ(ａ+ｘ) =2ｂ,当且仅当它的图象关于点 (ａ,ｂ)成对称图形 .证明　设点Ｍ(ｍ ,ｎ)为函数ｆ(ｘ)图象上任意一点 ,它关于点 (ａ ,ｂ)的对称…     

“五点法”作函数y=Asin(ωx φ)简图的思考

作函数 ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ φ)的简图 ,主要是先找出在确定图象形状时起关键作用的五个点 ,要找出这五个点该作变量代换 ,设Ｘ=ωｘ φ ,由Ｘ取 0 ,π2 ,π ,3π2 ,2π来解出对应的ｘ值 ,由此再作出函数的图象 ,这又称为“五点法”作图 .同时 ,我们知道五个点中有三个点是函数图象与ｘ轴的交点 ,都是函数 ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ φ)图象的对称中心 ,另二个点是使函数取得最值的点 ,过这两个点所作的与ｙ轴平行的直线都是函数 ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ φ)图象的对称轴 .因此 ,分别由ωｘ φ =ｋπ和ωｘ φ =ｋπ π2 可求得函数 ｙ =Ａｓｉｎ(…     

抽象函数关系给出的对称性与周期性

命题１设函数ｙ＝ｆ（ｘ）的定义域为Ｒ,且满足条件ｆ（ａ＋ｘ）＝ｆ（ｂ－ｘ）,则函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图象关于直线ｘ＝ａ＋ｂ２成轴对称．证明设函数ｙ＝ｆ（ｘ）图象上任一点为Ｐ′（ｘ′,ｙ′）,它关于直线ｘ＝ａ＋ｂ２的对称点为Ｐ（ｘ,ｙ）,则ｘ＝ａ＋ｂ－ｘ′...     

(四)一次函数及其图象目标测式(满分100分,45分钟完成)

（四）一次函数及其图象目标测式（满分１００分，４５分钟完成）一、填空：（共４０分，每小题４分）１、点Ｐ（ａ，－ｂ）关于ｘ轴的对称点是，关于ｙ轴的对称点是。２、在直角坐标系中，ｙ轴左方的点的横坐标是数，ｘ轴上方的点的纵坐标是数。３、函数ｙ＝ｘｘ－２中，...     

高一同步测试题

指数函数与对数函数选择题1　函数 ｆ(ｘ) =2 3 2ｘ -ｘ2 ( 1≤ｘ≤ 3) ,则 ｆ- 1(ｘ)的定义域是 (　　 )(Ａ) [1,4 ].　　　　 (Ｂ) [1, ∞ ].(Ｃ) [0 ,4 ]. (Ｄ) ( 0 , ∞ ) .2　将函数 ｙ =2 ｘ 的图象向左平移 1个单位得图象Ｃ1;再将Ｃ1向上平移 1个单位得图象Ｃ2 ;作出Ｃ2 关于直线 ｙ =ｘ对称的图象Ｃ3,则Ｃ3对应的函数解析式是 (　　 )(Ａ) ｙ =ｌｏｇ2 (ｘ - 1) 1　 (ｘ >1) .(Ｂ) ｙ =ｌｏｇ2 (ｘ - 1) - 1　 (ｘ >1) .(Ｃ) ｙ =ｌｏｇ2 (ｘ 1) - 1　 (ｘ >- 1) .(Ｄ) ｙ =ｌｏｇ2 (ｘ 1) 1　 (ｘ >- 1) .3　 0 .9<ａ <1,ｘ =…     

解决正弦曲线左右平移的一种简易方法

解决正弦曲线左右平移的一种简易方法赵占祥（湖南省邵阳县第一中学４２２１００）关于正弦函数ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）的图象变换，现行高中课本有较详尽的叙述．现提出问题：１．ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）是由ｙ＝ｓｉｎｘ先平移变换，再沿ｘ轴作伸缩变换，最后沿ｙ轴...