圆幂定理及其应用

圆幂定理,实质上是反映两条相交直线与圆的位置关系的性质定理,共包含如正三个定理(1)相交弦定理;(2)割线定理;(3)切割线定理.如果把以上三定理按交点在圆内和圆外进行讨论,则交点在圆内:相交弦定理;交点在圆外;割线定理、切割线定理、切线长定理.     

圆幂定理与运动不变量

圆幂定理与运动不变量１０００２０北京市朝阳区中学教研室郭璋在中学平面几何课本中，把圆幂定理分为相交弦定理与切割线定理叙述．相交弦定理：圆的弦相交于圆内一点，各弦被这点内分（分点在线段内）成的两线段的乘积相等．切割线定理：圆的弦相交于圆外一点，各弦被这...     

圆的重要定理在抛物线上的推广

读了文[1]，本人受到启发，现把圆的相交弦定理、切割线定理、切线长定理推广到抛物线上。     

由相交弦定理、切(割)线定理想到的

大家知道,平面几何中有如下定理:1.相交弦定理过圆内一点引两条弦,各弦被这点所分成的两条线段长的乘积相等.2.切割线定理从圆外一点向圆引切线和任一割线,切线长的平方等于割线与它在圆外部分的乘积.     

高明的演员——相交弦定理

和圆有关的比例线段中,有相交弦定理与推论、切割线定理与推论等.如果你注意观察就可发现,所有的定理与推论,都是相交弦定理这个演员扮演的.不信就请听我说. 如图1,圆O中,弦AB、CD相交于P,则PA·PB=Pc·PD.这就是相交弦定理.     

圆锥曲线中点弦存在性的讨论

提出问题过一点作直线与圆锥曲线相交,得相交弦,使这一点恰好是这条弦的中点,这样的弦可能有,也可能不存在.是否存在与点的相对位置有关,不同的位置,就有不同结果,本文介绍点所在的区域与中点弦的存在的关系有以下结论.     

也谈圆中常见的两解问题

文[1]中,对圆中常见的两解问题进行了归纳: (1)两平行弦之间的距离;(2)弦所对的圆周角;(3)已知半径、两弦长,求两弦的夹角;(4)两圆相切; (5)半径不等的相交两圆的圆心距,笔者对此问题也进行过归纳与研究,下面结合课堂教学及相关的中考试题,谈谈圆中其他常见的两解问题。     

圆幂定理图形中的优美性质

<正>相交弦定理、割线定理、切割线定理统称为圆幂定理;它反映两条相交直线与圆的位置关系,其本质是与比例线段有关.本文给出圆幂定理图形中的其他性质,与读者共同分享.1相交弦定理图形中的性质性质1如图1,⊙O的两条弦AB、CD相交圆内一点P,PE、PF、PG、PH分别是⊙PAC、⊙PBD、⊙PAD、⊙PBC的直径,则PE⊥BD、     

探究抛物线中的相交弦问题

抛物线中的相交弦问题经常出现在各地中考试题(或模拟试题)中,突出考查学生的运算能力和推理能力.本文探究抛物线的顶点在坐标原点的情形,得到了与相交弦有关的一系列性质.     

话说公共弦在证题中的应用

在平面几何中,相交两圆的公共弦,是联络两圆的纽带和桥梁.公共弦既能巧妙地传递两圆中的相关信息,特别是传递两圆中的等角更是配合默契相得益彰,同时它还能有效地沟通题设和结论之间的联系,因此,我们要高度重视公共弦的应用,对于已给定的两个相交圆,添加辅助线公共弦是解决此类问题的关     

加强一个几何定理及其应用的指导

众所周知,圆幂定理是平面几何学中一个极其重娶的基本定理,它在几何证明积几何计算中有着广泛的应用。现行部编初中数学教材把它隐含在讲过相交弦定理、切割定理后练习题中,见《几何》第二册P_3,练习4:根据下图,运用勾股定理证明:(1)弦     

圆的基本问题(中)

<正>例11圆内两条非直径的弦相交,试证它们不能互相平分.证明设AC、BD是圆O内的不是直径的两条弦,它们相交于P.则应求证,AC、BD不能互相平分.可用反证法来证明.假若P是AC与BD的中点,如图8所示,联结OP,则由垂径定理可得,OP⊥AC,且OP⊥BD.(圆心与弦的中点的连线垂直于弦).因为一条直线不能同时垂直于两条相交的直线,得出矛盾.所以P不能同时是弦AC和BD的中点.也就是它们不能互相平分.     

抛物线弦中点轨迹的一个重要结论

以下三道关于抛物线弦中点的轨迹问题引起了我的思考 ,即 :例 1　直线ｌ过抛物线 ｙ2 =4ｘ的顶点 ,与抛物线相交所得的弦为ＰＱ ,求ＰＱ的中点Ｍ的轨迹方程 .例 2　直线ｌ过抛物线 ｙ2 =16ｘ的焦点 ,与抛物线相交所得的弦为ＰＱ ,求ＰＱ的中点Ｍ的轨迹方程 .例 3　直线ｌ过 (0 ,4 )点 ,与抛物线ｘ2 =8ｙ相交所得的弦为ＰＱ ,求ＰＱ的中点Ｍ的轨迹方程 .将以上三题的相关结果列表如下 :表 1　例 1,例 2 ,例 3的解答结果内容题号抛物线方程弦中点轨迹方程弦所过定点弦中点轨迹顶点抛物线通径弦中点轨迹通径例 1ｙ2 =4ｘ ｙ2 =2ｘ (0 ,0 ) (0 ,…     

构造相反弦证明二次式的和差问题

在平面几何中,有关圆的不少命题的解决都与相交弦有关.本文举例介绍构造相交弦证明二次式的和差问题例1如图1,在△ABC中,已知,AD是∠A的平分线交BC于D,求证:AD2=AB·AC-BD·DC.     

圆锥曲线焦点弦弦长定理及其应用

所谓圆锥曲线的焦点弦,就是一直线经过圆锥曲线的焦点且与圆锥曲线相交于两点所成的线段。焦点弦弦长公式可由下面的定理和推论给出。定理苦e是圆锥曲线的离心率,p是焦点到准线的距离,则与圆锥曲线的对称轴的夹角为θ的焦点弦的长为:l=2ep/(1-e~2cos~2θ) 证明:如图1, 以圆锥曲线的焦点F为极点O,焦点向准线所作垂线的反向延长线为极轴建立极坐标系,则圆锥曲线的极坐标方程     

谈谈“和圆有关的比例线段”的学习

圆是初中数学的重要内容之一 ,是全国各省市中招考试必考的重要知识 ,尤其是“和圆有关的比例线段”的相关内容是中考试卷中经常出现的题目 .和圆有关的比例线段 ,知识点多 ,综合性强 ,题型广泛 ,方法灵活 .因此 ,同学们在学习这节内容时 ,要给予高度重视 .以下谈谈“和圆有关的比例线段”的学习需注意的几个要点 ,并举例说明 ,供读者阅读参考 .一、熟练掌握相关定理及推论1.相交弦定理 :圆内的两条相交弦 ,被交点分成的两条线段长的积相等 .如图 1,弦AB ,CD相交于P点 ,则有PA·PB =PC·PD .2 .相交弦定理的推论 :如果弦与直径垂直相…     

由习题谈弦长公式

<正>高中数学选修2-1(以下简称课本)第三章圆锥曲线与方程"4.3直线与圆锥曲线的交点"一节中有如下几道习题:习题1求直线x-y=0被曲线2x2+y2=2截得的弦长.习题2直线x-2y+2=0与椭圆x2+4y2=4相交于A、B两点,求A、B两点间的距离.……这些题目的共同特点是:已知直线l与曲线C相交于A、B两点,求线段AB的距离(即弦长).当然这类题目均可先联立方程组求出交点A、B的坐标,再由两点间距离公式求弦长     

绕过“求交点”这一关之我见

《解几》中有一类粗看要解交点,实际上可以另辟途径,不解交点同样能使问题得到解决的二次曲线相交问题。下面介绍几种避免求交点的方法,仅供读者参考。一利用“线系”绕过“求交点”例1 求⊙O:x~2+y~2=9被⊙c_1:(x-3)~2+y~2=27所截得的劣孤长及弦长。     

求动圆圆心轨迹的规律性解法

动圆指圆心和半径都在动的圆，在我们常见的有关求动圆圆心的轨迹题中，这儿种条件是经常出现的：1)过定点；2)与定直线相切；3)与定直线相交所得弦长为定值l:4)与定圆相切(包括外切和内切)。     

1995年全国初中联赛两道几何题的探索

１９９５年全国初中联赛两道几何题的探索５５０００３贵州教育学院李长明一第一试中的一道选择题１题目设ＡＢ是⊙Ｏ的一条弦，ＣＤ是○·Ｏ的直径，且与弦ＡＢ相交，记，则（Ａ）Ｍ＞Ｎ；（Ｂ）Ｍ＝Ｎ；（Ｃ）Ｍ＜Ｎ；（Ｄ）Ｍ、Ｎ的大小关系不确定２原解法简介为计算面...