1998年高考文科第25题的一种简捷解法

高中《代数》下册（必修本）第１２页例７：已知ａ，ｂ，ｍ∈Ｒ＋，并且ａ＜ｂ，则ａ＋ｍｂ＋ｍ＞ａｂ．对此不等式，我们将条件ａ＜ｂ换作ａ＞ｂ，则相应地有结论：如果ａ，ｂ，ｍ∈Ｒ＋，且ａ＞ｂ，那么ａｂ＞ａ＋ｍｂ＋ｍ．利用分析法很容易证明，此处略．这两个结论在...     

对一道课本例题的探究

高中代数下册 (必修 )第 7页例 2 ,已知 :ａ、ｂ∈Ｒ+并且ａ≠ｂ ,求证 :ａ5 +ｂ5 >ａ3 ｂ2 +ａ2 ｂ3 .作差 ,分解因式得 (ａ +ｂ) (ａ -ｂ) 2 (ａ2 +ａｂ +ｂ2 ) ,因为ａ、ｂ∈Ｒ+ ,所以ａ2 +ａｂ +ｂ2 >0 ,……对此 ,有同学提出 :因为ａ2 +ａｂ +ｂ2 =(ａ + ｂ2 ) 2 + 34ｂ2 其实只需ａ≠ｂ ,就可推出ａ2 +ａｂ+ｂ2 >0 ,因此 ,条件ａ、ｂ∈Ｒ+ 对原不等式并非必要 ,可弱化为ａ +ｂ >0 .与此类似的问题是否都存在这样的情况呢 ?这时我们若以批判的态度审视课本中同一页的练习 :已知 :ａ、ｂ∈Ｒ+且ａ≠ｂ ,求证 :ａ4 +ｂ4 >ａ3 ｂ +ａｂ3 ,…     

不等式(a b)(b c)(c a)》=8abc(a,b,c∈R~ )的引伸

不等式（ａ＋ｂ）（ｂ＋ｃ）（ｃ＋ａ）８ａｂｃ（ａ，ｂ，ｃ∈Ｒ＋）的引伸周才凯（湖南省长沙市雅礼中学４１０００７）高中《代数》（必修）下册Ｐ１１上有这样一道习题：已知ａ，ｂ，ｃ＞０，求证（ａ＋ｂ）（ｂ＋ｃ）（ｃ＋ａ）８ａｂｃ（１）对ａ，ｂ，ｃ中每两...     

你会用“增量法”证明不等式吗?

不等式的证明 ,方法灵活多样 ,技巧性强 ,除课本上介绍的一些证明方法外 ,增量代换法也是证明不等式较为有效的方法之一 ,但往往被同学们忽视 .若ａ >ｂ ,则可令ａ =ｂ ｔ,其中ｔ >0 ,ｔ被称为增量 .运用增量代换解题、证题的方法叫做增量代换法 ,简称增量法 .增量代换可将不等关系式用等式表示出来 ,用增量法证明不等式有时显得简洁、明快 .下面以高中代数下册 (必修 ) (老教材 )中的例习题为例 ,说明其作用 .例 1　已知ａ ,ｂ ,ｍ∈Ｒ ,且ａ <ｂ .求证 :ａ ｍｂ ｍ >ａｂ.(Ｐ1 2例 7)证　∵ｂ >ａ ,∴可设ｂ =ａ ｔ (ｔ >0 ) .又∵ｍ …     

一道数学奥林匹克问题的推广

《中等数学》2 0 0 0年第 4期中有数学奥林匹克问题高 97.　已知ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,求证 :(ａ 1 ) 3ｂ (ｂ 1 ) 3ｃ (ｃ 1 ) 3ａ ≥814.下面给出此题的证明 .证　左边≥ 3 (ａ 1 ) (ｂ 1 ) (ｃ 1 )3 ａｂｃ=3(ａ 12 12 ) (ｂ 12 12 ) (ｃ 12 12 )3 ａｂｃ≥ 3·33 ａ4·33 ｂ4·33 ｃ43 ａｂｃ =814.等号当且仅当ａ =ｂ =ｃ =12 时成立 .实际上 ,原命题可推广为 :ａ1,ａ2 ,… ,ａｎ∈Ｒ ,ｍ ,ｎ∈Ｎ ,求证 :　　(ａ2 1 ) ｍａ1 (ａ3 1 ) ｍａ2 … (ａ1 1 ) ｍａｎ≥ ｎｍｍ(ｍ - 1 ) ｍ -1.证　左边≥ｎ[(ａ2 1 ) (ａ3 1 )…     

谈谈“倒数变换”的一个有趣作用

有些不等式证明题,当直接证较困难时,可试着对其变量作“倒数变换”,看新命题是否易证．用此法常可使一些不等式证得自然、简捷．下面举例说明．例１已知ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ＋,求证ｂ２ｃ２＋ｃ２ａ２＋ａ２ｂ２ａ＋ｂ＋ｃ≥ａｂｃ这是高中代数下册中的一个习题,它是和均...     

纠正一道例题的推广的错误

现行高中代数（下）课本在不等式一章中有这样的一道例题：设ａ，ｂ∈Ｒ＋，ａ≠ｂ，求证ａ３＋ｂ３＞ａ２ｂ＋ａｂ２．文［１］中作出如下的推广：命题１若ａ，ｂ∈Ｒ＋，ａ≠ｂ，ｍ，ｎ∈Ｎ，则ａｍ＋ｎ＋ｂｍ＋ｎ＞ａｍｂｎ＋ａｎｂｍ命题２若ａ，ｂ∈Ｒ＋，ａ≠ｂ，ｍ...     

一道课本习题的变式研究

变式教学是一种创造性教学方式 ,它对培养学生思维的灵活性和创造性都起着积极的作用 .通过对定理公式的变通可训练学生思维的变通性 ,以及思维的广阔性 .对高中《代数》(必修 )下册Ｐ3 2 第 9题我们给出了以下几种变式 .原题　已知ａ >ｂ >ｃ,求证1ａ -ｂ 1ｂ -ｃ 1ｃ -ａ>0 .从证明过程中不难发现 ,对于ａ >ｂ>ｃ,不仅结论 1ａ -ｂ 1ｂ -ｃ>1ａ -ｃ成立 ,而且结论 1ａ -ｂ 1ｂ -ｃ>2ａ -ｃ也成立 ,于是得到如下结论 .变式 1　已知ａ >ｂ >ｃ ,ｎ∈Ｎ ,且 1ａ -ｂ 1ｂ -ｃ≥ ｎａ -ｃ,则ｎ的最大可能的值是 (　　 )(Ａ) 2 .　 (Ｂ) 3.…     

一组重要不等式的次数特征及应用

高中教材上有这么一组重要的不等式：ａ２＋ｂ２≥２ａｂ（ａ,ｂ∈Ｒ）,ａ＋ｂ２≥ａｂ（ａ,ｂ∈Ｒ＋）,ａ３＋ｂ３＋ｃ３≥３ａｂｃ（ａ,ｂ,ｃ∈Ｒ＋）,ａ＋ｂ＋ｃ３≥３ａｂｃ（ａ,ｂ,ｃ∈Ｒ＋）．我们对这组不等式的次数作如下分析：当我们把ａ,ｂ,ｃ都看成变量时,上述不等式左右两边的次数相同;当我们把ａ看成变量,而把ｂ,ｃ看作常数时,则上述不等式左右两边的次数不同．基于这些认识,当我们在证明某些左右次数不同的不等式时,可采用如下对策．１．同次转化：利用已知条件,将待证的不等式转化为左右同次式,再来求证…     

数学问题解答

20 0 0年 9月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 2 71　已知ａ,ｂ,ｃ∈Ｒ ,求证 :当ａｂｃ≤ 1时 ,ａｂ ｂｃ ｃａ ≥ａ ｂ ｃ.当ａｂｃ≥ 1时 ,ａｂ ｂｃ ｃａ >1ａ 1ｂ 1ｃ证明　当ａｂｃ≤ 1时 ,(1 )当ａ ｂ ｃ≥ａｂ ｂｃ ｃａ时 ,∵　 ａｂ ｂｃ ｃａ ａｂ ｂｃ ｃａ≥ 2 (ａ ｂ ｃ)∴　 ａｂ ｂｃ ｃａ≥ 2 (ａ ｂ ｃ) - (ａｂ ｂｃ ｃａ)≥ａ ｂ ｃ(2 )当ａｂ ｂｃ ｃａ ≥ａ ｂ ｃ时 ,∵　ａ2 ｃ ｂ2 ａ ｃ2 ｂ ｃ ａ ｂ≥ 2 (ａｃ ｂａ ｃｂ)∴　ａ2 ｃ ｂ2 ａ ｃ2 ｂ≥ 2 (ａｃ ｂａ ｃｂ) - (ｃ ａ…     

课本例习题的变式研究(高二)

一、不等式的性质和证明题１　（Ｐ７例２）已知ａ,ｂ∈Ｒ＋,并且ａ≠ｂ,求证ａ５＋ｂ５＞ａ３ｂ２＋ａ２ｂ３．评注　类似这道例题,课本上还有Ｐ８练习３,Ｐ１４例９．它们的条件与上例完全相同,结论分别要求证ａ４＋ｂ４＞ａ３ｂ＋ａｂ３和ａ３＋ｂ３＞ａ２ｂ＋ａｂ２．我们可以对这一问题加以推广．变式题　已知ａ,ｂ∈Ｒ＋,并且ａ≠ｂ,求证：ａｎ＋ｂｎ＞ａｍｂｎ－ｍ＋ａｎ－ｍｂｍ（ｍ,ｎ∈Ｚ,ｎ＞ｍ）．题２　（Ｐ８定理１）如果ａ,ｂ∈Ｒ,那么ａ２＋ｂ２≥２ａｂ（当且仅当ａ＝ｂ时取“＝”号）．评注　由ａ２＋ｂ２≥…     

一道课本例题的联想

从前我们学过分式的基本性质 ,分式的分子分母同乘 (或除 )以一个数 ,分式的值不变 .值得想一想的是 ,要是分子分母同时加上或减去一个数 ,分式的值变不变呢 ?显然 ,分式的值要变 .高二代数课本Ｐ12例 7给出了这个问题的答案 .即若ａ ,ｂ ,ｍ∈Ｒ 并且ａ <ｂ ,则 ａ ｍｂ ｍ >ａｂ .即一个分子分母为正数的真分数 ,分子分母同加一个正数 ,其值变大 .由此例题 ,我作了一点思考 ,可得下面关于真分数的一系列的结论 .其证明方法可参见课本Ｐ12例 7的证明 .1　若ａ ,ｂ ,ｍ∈Ｒ ,ｍ <ａ <ｂ ,则 ａ -ｍｂ -ｍ <ａｂ .2　若ａ ,ｂ ,ｍ∈Ｒ ,…     

一道课本不等式的再推广

文［１］对高中代数下册中的习题：已知ａ，ｂ，ｃ＞０，求证：２（ａ３＋ｂ３＋ｃ３）≥ａ２（ｂ＋ｃ）＋ｂ２（ａ＋ｃ）＋ｃ２（ａ＋ｂ）（１）从变元指数上进行了推广，得到：若ａ，ｂ，ｃ＞０，ｋ，ｍ，ｎ∈Ｎ，ｍ＋ｋ＝ｎ，ｍ≥ｋ，则２（ａｎ＋ｂｎ＋ｃｎ）≥ａｍ（...     

一个不等式的几种实际模型

题目　若ａ ,ｂ ,ｍ∈Ｒ ,ａ <ｂ ,求证 :ａ ｍｂ ｍ >ａｂ.本文给出这个不等式的几种实际模型 .1　比例模型某中学计划招收高一新生ａ人 ,使学生总数达到ｂ人 ,这样高一新生所占比例为ａｂ,现准备高一扩招ｍ人 ,则高一新生所占比例变为ａ ｍｂ ｍ .显然 ,ａ ｍｂ ｍ >ａｂ.2　概率模型盒中有白球和黑球共ｂ个 ,其中白球ａ个 ,从中任取一个 ,取得白球的概率为 ａｂ,若再加入白球ｍ个 ,从中任取一个 ,取得白球的概率为 ａ ｍｂ ｍ.显然 ,摸取白球的概率增大 .即ａ ｍｂ ｍ >ａｂ.3　物理模型在ａ克酒精 (体积为ｂ毫升 )中加入ｍ毫…     

不等式a^3＋b^3＋c^3≥3abc的新证法

对于三元基本不等式“若ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ+,则ａ3+ｂ3+ｃ3≥ 3ａｂｃ” ,老教材是利用因式分解的办法 ,将ａ3+ｂ3+ｃ3- 3ａｂｃ化为12 (ａ +ｂ +ｃ) [(ａ -ｂ) 2 +(ｂ -ｃ) 2 +(ｃ -ａ) 2 ]后 ,再判断其值的正负而获证的 ,新教材是利用构造的办法 ,联想构造不等式“若ａ ,ｂ∈Ｒ+,则ａ3+ｂ3≥ａ2 ｂ +ａｂ2 ” ,后利用二元基本不等式“若ａ ,ｂ∈Ｒ+,则ａ +ｂ≥ 2ａｂ”而证得的 .显然老教材中的证明对因式分解要求较高 ,学生较难掌握 ,故老教材中的证明被新教材中的证明取而代之了 ,但新教材中的构造证法技巧性亦较强 ,且构造的是一个一般性…     

谈对均值不等式的理解和应用

均值不等式是不等式一章中最基础、应用最广泛的灵活因子 ,它是考查学生素质、能力的一个窗口 ,是高考的热点 .对均值不等式的应用可从以下三个方面着手 .1　通过特征分析 ,用于证不等式均值不等式1)ａ2 +ｂ2 ≥ 2ａｂ=ａｂ +ａｂ(ａ ,ｂ∈Ｒ) ,2 )ａ +ｂ≥ 2ａｂ =ａｂ +ａｂ(ａ ,ｂ∈Ｒ+ ) .两端的结构、数字具有如下特征 :1)次数相等 ;2 )项数相等或不等式右侧系数与左侧项数相等 ;3)左和右积 .当要证的不等式具有上述特征时 ,考虑用均值不等式证明 .例 1　已知ａ ,ｂ,ｃ为不全相等的正数 ,求证 :ａ(ｂ2 +ｃ2 ) +ｂ(ｃ2 +ａ2 ) +ｃ(ａ2 +…     

均值不等式的妙用

二元和三元均值不等式是高中数学的重要内容之一 ,无论是证明不等式、求最值 ,还是确定参变量的取值范围 ,其神奇功效是显而易见的 .1　ａ2 ｂ2 ≥ 2ａｂ (ａ ,ｂ∈Ｒ)　例 1　已知ａ ,ｂ∈ (0 ,1) ,求证ａ1-ａ2 ｂ1-ｂ2 ≥ ａ ｂ1-ａｂ.证　∵ａ2 ｂ2 ≥ 2ａｂ ,∴ ａ1-ａ2 ｂ1-ｂ2 =ａ(1-ｂ2 ) ｂ(1-ａ2 )(1-ａ2 ) (1-ｂ2 )=(ａ ｂ) (1-ａｂ)1- (ａ2 ｂ2 ) ａ2 ｂ2>(ａ ｂ) (1-ａｂ)1- 2ａｂ ａ2 ｂ2=ａ ｂ1-ａｂ.例 2　若ａ ,ｂ∈Ｒ ,求证ａａ 2ｂ ｂ2ａ ｂ≥ 23.证　原不等式等价于3ａ(2ａ ｂ) 3ｂ(ａ 2ｂ)≥ 2 (ａ …     

教材例习题组成的不等式链

人民教育出版社出版的全日制普通高级中学教科书 (试验本 )数学第二册 (上 ) (必修 )中 ,有以下几道例、习题 :1)已知ａ ,ｂ ,ｃ都是正数 ,求证 :(ａ +ｂ) (ｂ +ｃ) (ｃ +ａ)≥ 8ａｂｃ(Ｐ11练习第 1题 )(1)2 )已知ａ ,ｂ ,ｃ是不全相等的正数 .求证 :ａ(ｂ2 +ｃ2 ) +ｂ(ｃ2 +ａ2 ) +ｃ(ａ2 +ｂ2 ) >6ａｂｃ(Ｐ14例 5 )(2 )3)如果ａ ,ｂ ,ｃ为正数 ,那么　　　　ａ3+ｂ3+ｃ3≥ 3ａｂｃ (3)当且仅当ａ =ｂ =ｃ时上式取“ =”号 (Ｐ2 4阅读材料 :ｎ个正数的算术平均数与几何平均数 ) .4 )已知ａ ,ｂ ,ｃ是正数 ,且不全相等 ,求证 :2 (ａ3+ｂ3+…     

应用放缩法证明不等式

放缩法是证明不等式的重要方法 .应用哪些方法进行放缩 ,向哪个方向放缩 ,放缩到什么程度 ?是使用该法证明不等式的难点 .本文将就这些方面作些介绍 .1　去掉式子中某些正项或负项去掉式子中某些正项或者负项 ,可使式子缩小或者放大 .例 1　设ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ 且ａｂ ｂｃ ａｃ =1,求证 :ａ ｂ ｃ≥ 3 .证　∵ (ａ ｂ ｃ) 2 =ａ2 ｂ2 ｃ2 2ａｂ 2ｂｃ 2ａｃ=12 [(ａ -ｂ) 2 (ｂ -ｃ) 2 (ｃ -ａ) 2 ] 3(ａｂ ｂｃ ａｃ)≥ 3(ａｂ ｂｃ ａｃ) =3 ,∵ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,∴ａ ｂ ｃ≥ 3 .例 2　在△ＡＢＣ中 ,求证 :ｓｉ…     

不等式(a+b+c)/3≥(abc)~(1/3)的应用三例

在高中教材中有一个重要不等式为 :如果ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ+ ,则 ａ +ｂ +ｃ3≥ 3ａｂｃ ,当且仅当ａ =ｂ =ｃ时取等号 .灵活应用这一重要不等式往往可以收到很好的解题效果 .下面举三例说明 .例 1　比较 (12 ) 13 与ｌｏｇ1312 的大小 .分析 :这两个数大小比较初看起来不易运用常规办法处理 ,如果分析 (12 ) 13 这一个数而应用公式1ａ+1ｂ+1ｃ3≥31ａ·1ｂ·1ｃ ,即 3ａｂｃ≥31ａ+1ｂ+1ｃ(ａ ,ｂ,ｃ∈Ｒ+ )进行放缩处理 ,问题就会迎刃而解 .解　∵ (12 ) 13 =312 =312 ·1·1>32 +1+1=34,而 34=ｌｏｇ3 (3) 3 4 =ｌｏｇ342 7>ｌｏｇ3416=ｌｏ…