組合算法中的一對互逆公式及其應用

在這裹我們來介紹一對異常簡單的互逆公式(或稱反轉公式),就其性質來講,甚至此初等數論中的(?)公式還要简單些。公式的證明亦只用到初等代數裏的一些组合算法的知識。 設f(k),g(k)都代表任意的函數,其中的變數k只取非負整數值:k=0,1,2,3,…。又以(n/k)表示二項展開式的係數,當k>n時,共值規定為零,我們所要介紹的互逆公式便是:     

方程式a~p+b~q=c~r之整數解

數學通報1953年11月號問题與解答欄第68題:「試找出一組正整數a,b,c,滿足方程a~3+b~4=c~5」是有解的,例如:a=31~5,b=31~4c=31~3·2便是一解,不僅如此,我們還可進而證明下列一個較帶普遍性的結論: p,q,r爲正整數,且pr舆q互質,則方程a~p+b~q=c~r有正整數解。下面,我們就叙述這個結論的證明。 (1)先證明一個预備定理:m,n爲互質的正整數,則必有正整數x,y存在,滿足等式: xm-yn=1 證:由代數學知,對於任二個互質的整數     

一个奇素數定理

定理:如果2n+1是一个素數,那么,它必定是2~n+1或2~n-1的約數;当[n+(1/2)]是奇數時取正号,反之取負号。 証明:我們只要作出一个整係數方程,滿足下面三个条件,問題就解决了。 1) 2n+1是方程的根。 2) 常數項有約數2~n+1(或2~n-1)。 3) 常數項其他素約數与2n+1互素。 現在我們就來作这个整係數方程。当[(n+1)/2]是奇數時,我們給出方程:(x-2)(x-4)…(x-2n)= =-(x-4)(x-8)…(x-4n)。方程的常數項等於士2~n(2~n+1)n!,条件2),3)顯然滿足。以2n+1代入,我們还需要証明等式 multiply from k=1 to n (2n+1-2k)=-multiply from i=1 to n (2n+1-4i)对应於k的偶數值,我們取i=k/2,就有     

恆等于零的多項式定理在三角恆等式的証明上的应用

我們介紹关于恆等于零的多項式的定理在三角恆等式的証明上的应用。先証明下面对sin x和cos x的齐次多項式的定理: 定理如果M(sin x,cos x)是对于sin x和cos x的n次齐次多項式,且当自变量x的n+1个两两之差都不是n的倍数的值多項式为零,則M(sin x,cos x)≡0. 证 設已知多項式: 并且当x=α_i(这里i=1,2,3,…,n+1),而且其中任意两个之差不是π的倍数时,多項式为零。将数α_i代入已知多項式,得到: 先研究当α_i不具有π(2k+1)的形式,即α_i≠π/2(2k+1)的情况。用cos~nα_i除等式(1)的两端得到     

关于整系数多項式的因子分解

数学教学1955年第一期刊登了雅可夫金著李伯藩译“寻找不可約因式的一个方法”一文,下簡称文[1]。該文扼要的介紹了雅可夫金創立的分解整系数多項式的一个新方法。这个方法就理論上說是不同于我們所熟知的克洛湼克方法;就实用上說,在被分解多項式的次数及系数均不太大时是具体可行的。因而雅可夫金的方法是一个有价值的新方法。雅可夫金的方法基于下面的一个引理和一个定理: 引理一 設 f(x)=sum from k=0 to n akx~(n-k),φ(x)=sum from‘k=0 to P bkx~(P-k),ψ(x)=sum from k=0 to q ckx~(q-k) (1)是有非負整系数的多項式;如果f(x)=φ(x)ψ(x),那末参項式f(x)系数中最大的絕对值不小于多項式φ(x)和ψ(x)所有系数的絕对值。     

高中代數課本裹指數函數性質3的証明

高中代數課本裹指數函數性質3是:“設a>1,則当x的值增大時,a~x的值也随之增大”,其証明分成了下面的幾种情况,大意如下: (i) a>1,x_1与x_2为二正整數,則x_2>x_1(?)a~(x2)>x~(x1)。 (ii) a>1,x_1为正分數m/n,x_2为正分數p/q,則x_2>x_1(?)a~(p/q)>a~(m/n)。 (iii) a>1,x_1与x_2为二实數而其中之一或二者同時是無理數,則x_2>x_1(?)a~x2>a~x1。这种証法相当繁瑣而且各种情况亦未能尽举,須知在这以前已講过下面的兩件事: (i) 若a>1,x>0,則a~x>1(即指數函數性質2)。     

談第二种倒數方程

數学通報1955年10月号王友鋆同志有一篇討論倒數方程定义的文章:談倒數方程,我們在初等數学複習及研究(代數)的教学中也遇到了同样的問題,王友鋆同志的文章沒有談到倒數方程的解法,这篇短文僅就第二种倒数方程的解法問題作一些討論,为了完备起見,我們先从定义開始。定义 設f(x)=0为複數体上的n(>0)次方程,a_1,a_2,…,a_n为此方程的全部根,若-1/(a_1),-1/(a_2),…,-1/(a_n)也是f(x)=0的全部-1/a_1,-1/a_2,…,-1/a_n也是f(x)=0的全部根,則称f(x)=0为第二种倒數方程。定理1 n次方程f(x)=0为第二种倒數方程的充分必要条件是:f(x)=εx~nf(-1/x),其中当n为偶數時ε=1或-1;当n为奇數     

素數

在人類社会發展的最早階段就已遇到运用計算和使用整數的必要性,整數是指無窮序列 1,2,3,4,5,…… (1)中的項,(1)就是常說的自然數列。 誠然,只是由於很長的过程,才能意識到序列 (1) 中含有任意大的数;例如人類最初只会数到二、三、四,而所有較大的數則被包含在“多”这一概念之中。在我們的語言中有“二重數”(把單數和多數同時放在一起)就是这一事实的反映;我們說:“一个(?)”,“兩个     

关于Bieberbach多項式

<正> 設D为包含原点的有界Jordan单連通区域,記B_n(z)为所有n次多項式{P_n(z)}中在条件P_n(0)=0,P′_n(0)=1下使得积分达到极小值的多項式,容易知道这多項式是唯一确定的,这就是熟知的Bieberbach多項式.     

關于不定方程的三個定理

為了方便起見,現將本文中所用的幾個記號加以說明,並將涉及到的幾個整數性質加以叙述而不予證明。另外,凡本文中所用之字母,如a,b,c,…,若不加說明,皆指正整數而言。 幾個記號:(a_1,a_2,…,a_n)表示a_1,a_2,…,a_n的最大公約數;[a_1,a_2,…,a_n]表示a_1,a_2,…,a_n的最小公倍數,a|b表示a能除盡b。涉及到的幾個整數性質: Ⅰ. 若a,b為任何正整數,則ab-(a+b)≥-1。Ⅱ. 若(a_1,a_2,…,a_n)=d_n,則a_1=a′_1d_n,a_2=a′_2 d_n,…,a_n=a′_nd_n,且(a′_1,a′_2,…,a′_n)=1。Ⅲ. 若[a,b]=m,a|c,b|c,則m|c。Ⅳ. 如果在全是整數的等式k+l+…+n=p+q+…+s中,所有的項,除掉一項外,都是b的倍數,則這一項也一定是b的倍數(即b能除盡這一項)。     

三角函数周期的探讨

有高中“三角函数”这一章中,我们知道y =Asin(ωx + φ) (x∈R ,Aω≠0 ,A ,ω,φ为常数)与y =Acos(ωx + φ) (x∈R ,Aω≠0 ,A ,ω,φ为常数)及y =Asin2 (ωx + φ) (x∈R ,Aω≠0 ,A ,ω,φ为常数)与y =Acos2 (ωx +φ) (x∈R ,A·ω≠0 ,A ,ω,φ为常数)这些三角函数的周期.那么,三角函数y =Asinn(ωx+ φ)与y =Acosn(ωx + φ) (A·ω≠0 ,A ,ω,φ为常数x∈R)的周期又是怎样的呢?定理1　1 )函数y =sinnx (x∈R) .当n为偶数时的周期为kπ,(k∈Z ,k≠0 ) ,最小正周期为π;当n为奇数时,周期为2kπ(k∈Z ,k≠0 ) ,最小正周期为…     

無窮小

無窮小是以零為極限的變量,對於這種變量引用普遍的極限定義可得如下的深入的定義:若對於任何指定的正數ε,變量y在其變化過程中達到這樣一個時刻,從該時刻起y的絕對值恒保持小於ε,則變量y稱為無窮小,如n依次取所有的自然數1,2,3,…时,變量為無窮小,因為當n>100時y<0.1,當n>10000時y<0.01,一般當n>1/ε~2时y<ε。若變量y的極限為有盡數a,则極限式limy=a相當於關係式lim(y-a)=0,即相當於差(y-a)為無窮小,因此我們也可以反過來:把無窮小的定義—特殊場合     

三角在代数上的一个应用

指明一个实系数多項式P(x)是否有实根常常是一件很重要的事情。我們已經有施斗姆方法能指出P(x)实根的个数,当然也指出了非实复根的个数。下面仅提出一个P(x)有非实复根的充分条件作为三角在代数上的一个应用。定理实系数多項式P(x)=x~n+a_1x~(n-1)+…++a_n当(a_1-a_3+a_5-…)~2+(1-a_2+a_4--…)~2≤1,a_n(?)0时,一定有非实复根。为了証明这个定理,我們先証明两个公式: sin(α_1+α_2+…+α_n)==cos α_1 cos α_2…cos α_n(T_1-T_3+T_5-…),(1)cos(α_1+α_2+…+α_n)==cos α_1 cos α_2…cos α_n(1-T_2+T_4-…),(2)其中T_k为tg α_1,tg α_2,…,tg α_n中每k个相乘相加k=1,2…n。为了証明公式(1),(2)采用如下的归納法:設有两个命題f(n),g(n)。1) 当f(1),g(1)都是真确的。2) 假設f(n-1),g(n-1)都是真确的,可以推出f(n),g(n)也是真确的。则对所有的自然数n,f(n),g(n)都是真确的。     

給“數学教學”編者的信

在第30版■吉西略夫的代數教科書中的第57頁上,所叙述的雙曲線定義,能够把學生引入迷路,就是:“函數y=k/x的圖象稱為雙曲線。當k與x為正值時,雙曲線在第一象限,但當k為負而x為正時,它再第四象限,當變數x為負值時,即得雙曲線的另一枝,當k>0它在第三象限,但當k<0它在第二象限。”把參數與自變數的值在一句話中混淆起來,無論就科學的或是教學法的觀點來說,都是不允許的,這樣只能使學生糊塗。教本中的這個地方應該如下地叙述: “函數y=k/x的圖象稱為雙曲線。首先假定k為正,於是當x的值為正時,對應的y值也為正,而我們得到雙曲線的點在第一象限內,當x的值為負時,雙曲線的點在第三象限內。由於對於x=0的值,任何y的值都不能與之對應,所以在縱軸上沒有雙曲線的點;因此整個曲線分成兩枝,一枝在第一象限而另一枝在第三象限。     

一个包含Euler函数的方程

对任意自然数n≥1,著名的Euler函数ψ(n)定义为不大于n且与n互素的正整数的个数.本文的主要目的是研究方程ψ(ψ(ψ(n)))=2ω(n)的可解性,其中ω(n)表示n的所有不同素因子的个数,并给出了该方程的所有正整数解.     

关于三维除数问题

<正> §1.用d_3(n)記将n表成三个因子乘积的表法个数,則有渐近公式此处P_3(log x)为log x的一个二次多項式,也就是ζ~3(x)x~(s-1)/s在极点s=1上的殘数.又用a_3表使     

具正規核的積分方程

<正> §1.引言 凡合條件即是說凡合條件kk[x,y]=kk[x,y](1.1)的核k(x,y)叫做正規核(normal kernel).這種核顯然包括實對稱核、實畸對稱核、艾氏核及畸艾氏核等為特例。在本文中,我們將討論具此種核之積分方程之性質及解法尤其是關於此種核之特值及奇值(即希米特(E.Schmidt)的特值)之性質     

一組函數方程

<正> 我們要證明以下定理: 給定區間I=(0,∞),x,ξ屬於I;n為任意非負整數,l=0,1,2,…,n;我們用符號B_k~l記     

三角多項式的恆等定理兼談三角函数的周期

本文主要目的在于提出并証明一个关于三角多項式的恆等定理,并用以計算一些三角函数多項式的周期。此定理的証明沒有在书籍或文献中发现,因而这里的証法是否妥当,尚希讀者指正。 (一) 三角多項式的恒等定理在代数学中,把形为φ(x)=c_0+c_1x+c_2x~2+…+c_nx~n的函数叫做关于x的多項式,其中n是正整数或零,c_0,c_1,c_2,…,c_n都是常数。当c_n(?)0时,n称为多項式φ(x)的次数。同样地,对于形为 f(x)=a_0+(a_1cos x+b_1 sin x)++(a_2cos 2x+b_2 sin 2x)+…++(a_ncos nx+b_n sin nx)的函数叫做关于x的三角多項式,其中n是正整数,所有的a_i(i=0,1,2,…,n)与b_j(j=1,2,…,n)都是常数。当a_n与b_n真不同时为零时(或a_n~2+b_n~2)(?)0时),n称为三角多項式f(x)的次数。因而,三角多項式是关于角系数为正整数的正弦与余弦的綫性組合。     

三类包含Euler函数的方程

讨论了三类包含Euler函数的方程x-ψ(x)=2~(ω(x)),x-ψ(ψ(x))=2~(ω(x))与ψ(x~k)=2~(ω(x~k))的可解性,利用初等方法给出这三类方程的所有正整数解,其中ψ(x)为Euler函数,ω(x)为x的相异素因子个数.