转化与化归思想漫谈

化归与转化思想是一种重要的思维模式,也是解决数学问题的一种重要的思想和方法.所谓化归与转化思想,就是在数学研究中,使一种研究对象在一定条件下化归与转化为另一种研究对象的思想.也就是说解数学题时,如果直接解原问题难以入手,或者由原问题的条件难以直接得到问题的结论,这时,我们不妨对原问题换一个方式、换一个角度、换一种观点考虑,而在这种新的方式、新的角度或新的观点下,将会使原问题变得易于解决.其一般模式是:     

巧用换元法解赛题

<正>解数学问题时,如果直接解决原问题时有困难,或原问题不易下手,或由原问题的条件难以直接得出结论时,往往需要引入一个或若干个"新元"代换问题中原来的元,即可得到原问题的结果,这种解决问题的方法,称为换元法,又称变量代换法或辅助元素法;通过引进新元,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者把条件与结论联系起来,或者变为熟悉的形式,把复杂的计算和推证简化.     

“特殊化”在数学解题中的作用

解数学题时,如果直接解原题有时难以入手,不妨先考察它的某些简单的特例,通过解答这些特例,最终达到解决原题的目的。这种解决数学问题的策略,通常称为“特殊化”。 本世纪著名的数学家希尔伯特 Hilbert     

谈数学解题中的“变更问题法”

数学解题(或证题)中,常遇到一些问题,对问题直接求解(证)较为困难,我们往往将原问題变换为一个新问题,通过新问题的求解(证),达到解决原问题的目的,这种解题方法我们称它为“变更问题法”。“变更问题法”是数学问题中应用极为广泛的解题方法。本文想对“变更问题法”的形式与原则作些探讨。     

例谈换元法的应用

面对一个数学问题,如果直接求解有困难,或不易下手,或由问题的条件难以直接得出结论时,往往需要引入一个或几个"新元"代换问题中原来的"元",使得以"新元"为基础的问题求解比较简易,解决以后将结果倒回去恢复原来的元,即可得原问题的结果.这种解决问题的方法称为换元法.又称变量代换法.换元法的基本思想是通过变量     

从特殊到一般探究发现提出的新问题

<正>从一个问题出发能探究发现提出新问题是一个人创造性思维的体现,这种思维能力影响着同学们未来的发展.在平时学习中,同学们应注意体会和有意识地尝试从一个问题出发提出新问题.原问题如图1,已知:正方形ABCD和正方形DEFG,B、D、F共线,M是BF中点.求证:AM=MG,AM⊥MG.解决原问题.     

联想出智慧

解数学题的关键在于恰当地变换、即将原问题变换成另一个较易解决的新问题。而变换的关键在于巧妙地联想。联想是由一事物想到另一事物的心理活动过程,是联结生疏问题与熟知问题的桥梁,达到化未知为已知的目的。联     

谈化归思想在立体几何中的运用

谈化归思想在立体几何中的运用２３５２００安徽省肖县中学颛孙长宗，王明坤，薛盘龙数学解题过程，实质上就是从条件出发，对原问题进行一系列转化的过程．即将新问题转化成已经解决了的问题．这种解决问题的思想方法又称化归．本文就化归思想方法在立体几何解题申的运用...     

几个积分公式的改进

<正> 本文对文献[1]中三个积分公式给出五个改进的公式。改进以后的公式以原公式为特例,内容比原公式有所深入和拓广,可以解决某些用原公式不能解决或不能直接解决的问题。定理1 (积分上限函数的求导公式)     

浅谈化归与转化思想

化归与转化的思想,就是在研究和解决数学问题时采用某种方式,借助某种函数性质、图像、公式或已知条件将问题通过变换加以转化,进而达到解决问题的思想.转化是将数学命题由一种形式转化成另一种形式的变换过程,化归是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题.化归与转化思想是中学数学最基本的思想方法,堪称数学思想的精髓,它渗透到了数学教学内容的各个领域和解题过程的各个环节中.转化有等价转化与不等价转化.等价转化后的新问题与原问题实质是一样的,不等价转化则部分改变了原对象的实质,需对所得结论进行必要的修正.     

Hurwitz-Radon問题——等价和約化是处理数学問題的一种基本方法

讀者在处理数学問題可能已經有过这样的經驗:試图直接解决一个数学問題正在一筹莫展的时候,往往是把它化成另一个等价的問題而得到解决;直接解决原問題之所以感到棘手,一方面固然可能由于原問題的确难以直接处理,另一方面也可能是由于对問題的这种表現形式以及解决它所需的知識和工具掌握得不够充分。把一个問題化为另一个等价的問題,就增大了我們已經掌握的工具和知識的利用率;問題采用不同的表現形式,就会因使用的方法不同而增大了解决它的可能性。列举出問題的一切表現形式,以便从中选出一种合适的来处理,从方法論的观点說来,这是十分重要的。本文的目的,一方面固然是介紹Hurwitz-     

“欲进先退”的解题策略

有些数学题,直接求解有时较困难,这时不妨先退下来,退到一个较容场解决的问题上,进而寻得解决原问题的途径。即所谓“欲进先退”。下面举例谈谈这思考方法在解题中的应用。     

常量与变量相互转化解题例析

有些数学问题直接根据原有的变量或常量求解，难以入手．如能注意常量与变量的相对性，使它们相互转化，从而使问题获得解决或得以快速解决，现举例说明．     

圆锥曲线非标准方程的一种简便求法

众所周知,求圆锥曲线的非标准方程,常利用坐标轴的平移和旋转,使圆锥曲线的对称轴合于新坐标轴,先求得该曲线在新坐标系下的标准方程,再通过平移、旋转公式,求出在原坐标系下曲线的方程。用这种方法解题,运算过程繁复,容易出错,有时还会把条件复杂化,甚至难以下手。本文给出圆锥曲线非标准方程的一种与对称轴方程联系密切的形式,直接将它用于解题,有关的问题可以简便地得到解决。     

构造法与数学美─廉论正向思维与逆向思维

构造法与数学美─廉论正向思维与逆向思维傅世球（湖南怀化师专４１８００８）长期以来，人们对构造法进行教学法研究与探讨．所谓构造法，就是在解数学题时，利用观察与联想，恰当地、合理地构造与原问题有关的辅助问题并转化成一个或几个比较简单的、易于解决的新问题，...     

勤思考,善转化一例

<正>同学们在解决一些新的数学问题时,常常会感到无从下手.那么如何解决呢?认真观察题目中数据的结构特征,勤于思考,善于把新问题转化为已知的知识进行处理,往往能收到"柳暗花明又一村"的奇效.下面以一道题为例来谈谈怎样把一个新问题转化成所熟知的问题来解决.     

数学问题解决的一条有效途径——特征分析法

解决数学问题的关键在于恰当地转化,即将原数学问题转化成另一个较易解决的新问题,而转化的关键在于抓住问题的特征,并由此进行分析、变换、联想、构造．所谓特征,就是指能反映问题的条件与结论的内在联系的那些外形结构特点、数值特点、位置特点、差异特点等等．通过对问题特征的分析,寻求其特征蕴含的方法,从而使问题获解的思维方法,叫特征分析法．运用这种方法来实现问题的解决,往往可迅速获得问题解决的途径或简化问题解决的过程,收到事半功倍的效果,下面从四个方面加以阐述．１ 外形结构特征分析 任何一个数学问题都是一个有…     

一道课本例题解法的背景分析及推广

课本例题是重要的教学资源,充分利用这一资源,对减轻学生负担、培养学生提出问题与解决问题的能力,是一条有效的途径．人教版A版选修4—4《坐标系与参数方程》第37页例2就是这样一道好题,笔者力寻其简解的依据,并把问题在知识的最近发展区内作进一步的推广,解决了与原问题相关的一类新问题,使例题效益达到最大化．     

辅助问题的构思和设计

数学问题的探讨求解是一个不断地把原问题向着简单的、熟悉的、或者是已经解决了的问题转化的过程。G·波利亚指出:“当原问题看来不可解时,人类的高明之处就在于会迂回绕过不能直接克服的障碍,就在于能想出某个适当的辅助问题”。这里说的辅助问题,也就是原问题转化过程中的桥梁:或者是从问题本身的结构层次上考虑,可以是原问题的一个简单的、具有启发和引导作用的特殊情形;或者是从这个问题与另一个问题之间的对应关系上考虑,可以是建立在另一个系统上的与原问题邻近     

关于问题情境数学性的思考

问题情境一般是指,为了一节课乃至一章内容的教学,而特别设定的某个具体(生活)问题,在问题解决的过程中创设出新的学习情境,提出和解决新问题.