对微积分中主要矛盾的粗浅认识

前言1958年,我从中国科学院数学研究所调到中国科学技术大学教书．在科大,我大多时间在教微积分．教了8年之后,于1966年对微积分的教学产生了一些想法,于是写了一篇关于微积分教学改革的想法的短文,题为“对高等数学课程改革的一些尝试”,刊登在《自然辩证法研究通讯》1966年第1期上,并且按照这个想法写了一本微积分教材《简明微积分》（第一版,1978－1983年,人民教育出版社;第二版,1993年,中国科学技术大学出版社;第三版,1997年,中国科学技术大学出版社）．这本教材正式出版后,在中国科大部分系一直用到现在,已甘年了．微…     

美国微积分教材的应用性和启发性赏析

美国微积分教材的最大特色是应用性和启发性,即注重把数学理论应用于解决实际问题,并使学生自始至终带着问题学习和思考微积分．本文通过列举美国微积分教材中的典型内容和例子说明了这两大特点,供大家学习借鉴．     

Liouville在分数阶微积分概念方面的研究

分数阶微积分的概念是以整数阶微积分理论研究为基础,而分数阶微积分概念的建立经历了漫长的过程.探析此过程中数学家在研究分数阶微积分理论方面的贡献,进而整理Liouville在分数阶微积分概念方面的研究,进一步概括分数阶微积分第一定义的由来以及为后续相关研究奠定的坚实基础.     

关于拐点的定义

一、问题的提出当前各种各样的高等数学辅导书很多 ,这是好现象。我校一年级学生几乎人手一册。但是由于各种辅导书的作者对拐点的定义理解不同 ,因此在解答涉及拐点概念的一类题时 ,不同版本的辅导书的解答彼此间是矛盾的 ,这给学生的学习带来一定的困难。我在每周四下午 2 :0 0～ 4:3 0给全校一年级学生答疑时 ,就遇到三个学生各拿一本参考书 ,让我回答哪本参考书的说法是正确的。学生甲拿一本张仁德、蒋中蠡等 4位学者编的《高等数学辅导与习题》一书中的 74页第 5小题 :“5.若 ( x0 ,f( x0 ) )为函数曲线 y=f( x)的凹凸分界点 ,则 ( x0 …     

微积分的再思考

基于代数和显式一致估计的微积分思想可以追溯到前牛顿时代,或者欧拉和拉格朗日.由于所涉及的数学非常简单,新的方法可以从一些简单的例子出发,直接、自然却严格地建立微分和积分的流线型理论,并不需要连续性、极限和紧性的概念.     

微积分教学改革的一些做法和体会

97—98学年是我的学术休假年，因上海交大的邀请，来交大应用数学系工作．我在美国工作的学校—威斯康星州立大学—LaCrosse校区的数学系曾在美国自然科学基金会资助下搞微积分教学改革，主要是传统的微积分教学与计算机使用的相结合，使原来的理论学习变为计算机屏幕上可见的图形，从而加深了学生的印象，也使学生更能理解和掌握．微积分作为一门大学生入学时的基础课，能打好计算机的基础很重要，为以后学习其他需要与计算机结合的课程打下了良好的基础．另外，由于计算机的迅速发展，其他的数学学科，如数值分析、微分方程、数理统计等…     

微积分看作0.9

由一张示意图入手,把山坡分割为"微分三角形",后者的高简称微分,图中还有小缝.于是,山坡全高=微分的和+小缝的和,或变为:微分的和=全高一小缝的和.当山坡为多项式曲线,小缝的和可以精确计算,特别,可以相继取为小数,0.1,0.01,0.001,….若令全高=1,那么:微分的和=0.9,求出了!如果承认0.9=1,又有:微分的和=全高,此即微积分基本公式.谁想的到这个公式即1=0.9?     

由Dirichlet函数引出的微积分中若干反例

在本文中，我们主要利用Dirichlet函数的构造特点给出微积分中的若干反例．     

广义积分∫0^π/2ln^2sinxdx的计算

利用部分函数的级数展开，给出广义积分∫0^π/2ln^2sinxdx的计算，这种方法和证明过程很有特色.     

让微积分的学习生动有趣

对理工科大学生而言 ,从小学直到大学 ,数学课恐怕是历时最长、负担最重的一门课 .在小学阶段学生或许还能感受到数学与现实生活的联系 ,体验到数学学习的乐趣 .一旦进入初中和高中 ,由于众所周知的原因 ,数学学习恐怕就不再是一件有趣的事情了 .在许多学生眼里 ,数学成了“枯燥”、“泛味”的代名词 .进入大学这种情况可能并没有什么好转 ,而且除了“枯燥”、“泛味”之外 ,还加上一条“学了没用”.的确 ,学生学完微积分 ,可能会知道导数可以用来求出函数的单调区间、极值和最值等 ;中值定理很重要 ,那是因为在证明过程中常常用到 ;计算曲…     

微积分在数列求和中的应用

数列求和是中学阶段数列部分的重要内容之一 ,有许多初等解决方法 .本文探讨的是运用微积分知识进行数列求和的基本方法 ,从中可见高等数学与初等数学的密切联系 .1　微分知识在数列求和中的应用首先证明一个等式 :1 ｘ ｘ2 … ｘｎ =Ｃ1 ｎ 1 Ｃ2 ｎ 1 (ｘ - 1 ) Ｃ3ｎ 1 (ｘ- 1 ) 2 … Ｃｎ 1 ｎ 1 (ｘ- 1 ) ｎ事实上利用二项式定理有 :ｘｎ 1 =[1 (ｘ- 1 ) ]ｎ 1 =1 Ｃ1 ｎ 1 (ｘ - 1 ) Ｃ2 ｎ 1 (ｘ- 1 ) 2 … ｃｎ 1 ｎ 1 (ｘ- 1 ) ｎ 1而 :(ｘ - 1 ) (1 ｘ ｘ2 … ｘｎ) =ｘｎ 1 -1因而 :(ｘ- 1 ) (1 ｘ ｘ2 …ｘｎ) …     

关于《微积分》教材中一道习题的商榷

指出现用教材《微积分》中的一处疏忽错误,并给出正确的提法和必要的讨论。     

评《论极限理论的微分之谜》

文《论极限理论的微分之谜》对微积分的基础理论的质疑是站不住脚的,事实上,微积分的基础是牢固的,可以从函数的定义域和函数的连续性的角度给予澄清。     

试用非ε语言讲解微积分

微积分的出现,与其说是整个数学史,不如说是整个人类历史的一件大事.17世纪中叶牛顿和莱布尼兹创立了微积分后,分析学便飞快地向前发展,18世纪达到了空前灿烂的程度.其内容之丰富,应用之广泛,简直令人眼花缭乱.它在实践的需要中产生,同时又深刻地影响着自然科学和生产技术的发展.微积分经历了17世纪的奠基和充实,18世纪的争论和发展,19世纪的革新和完成.今天若没有微积分,将是不可想象的事.它对于自然科学工作者,就象望远镜之于天文学家,显微镜之于生物学家一样重要.     

极限概念发展的几个历史阶段

极限概念是分析数学中最基本的概念之一,用以描述变量在一定变化过程中的终极状态.极限理论是微积分学的基础,它从方法论上突出地表现了微积分学不同于初等数学的特点.从古至今,人们对于极限概念的认识经历了一段漫长的过程.从最初时期朴素、直观的极限观经过了2000多年的发展,演变成为近代严格的极限理论,在现代数学中,人们又引进了更广泛和更一般的极限概念.这其中的思想演变是渐进的、相互推动的.本文针对极限概念在不同时期的特点给予粗略的概述.