对一本教材中函数定义的一点看法

同济大学数学教研室主编的《高等数学》上册 (第四版 )第 6页中有关函数的定义是这样的 :设x、y是两个变量 ,D是给定的数集 ,如果对于每个 x∈D,变量 y按照一定法则总有确定的数值和它对应 ,则称 y是 x的函数 ,记作 y=f (x)。本书第 7页又说到 :如果自变量在定义域内任取一个数值时 ,对应的函数值只有一个 ,这种函数叫单值函数 ,否则叫多值函数。本书第 2 3页求三角函数的反函数时又出现多值函数的说法。如对 y=sinx(x∈ R) ,当求它的反函数时 ,任给 y∈ [-1 ,1 ],有无限多个 x使 sinx=y,于是给出反三角函数 Arcsinx=y,对 y=sinx当 x∈ [-…     

也谈函数概念

读《函数概念辨析》一文（载于本刊第二卷（1999）第三期第12页）后有所感．的确,对一个数学概念下的定义必须准确、明晰,不能有丝毫不确切或含混处．同济大学数学教研室主编的《高等数学｝｝教材中,函数（指的一元单值函数）是这样定义的：定义设X和y是两个变量,D是一个给定的数集,如果对于每一数XED,变量y按照一定法则总有确定的数值与它对应,则称y是X的函数．前文指出,定义中“确定”这两个字应改用“唯一”二字．我想该教材编者愿意,“确定的数值”就是指的‘”唯一的数值”,因为它说的是“数值”而不是“数组”;但毕竟不…     

分段函数的复合函数

复合函数是高等数学中一个重要概念,在微分和积分学里都要用到它.所谓复合函数,是这样定义的:如果函数f(u)的定义域是F, 而函数u=g(x)的定义域是G,值域为U(?)F,那么对于G内每一个X,经过中间变量u,相应地得到唯一确定的一个y.即y经过中间变量.u而成为x的函数.这个函数称为复合函数,并记为y=f[g(x)].     

函数与不等式——高三代数、三角综合复习

§1.函数1.函数与反函数:若对于自变量 x 每一个在允许范围内的确定值,另一个变量 y 有确定的值和它对应,则变量 y 叫做自变量 x 的函数,表成 y=f(x).这关系式中若以 y 为自变量,则变量 x 是 y 的函数,表成 x=f(y),叫做y=f(x)的反函数.     

关于f(x、y)连续性的几个定理

<正> 关于二元函数z=f(x、y)的连续性,在高等数学中,一般仅给出它的定义,除用定义判断其连续外,却很少涉及其它方法。本文将给出判断二元函数f(x、y)连续的几个充分条件。定理1 设f(x、y)在区域D上有定义,若1)f(x、y)对x、y连续,2)f(x、y)对x是单调的,则     

超越方程a~x=x(a>0且a≠1)根的分布

笔者曾在教学中遇到这样一个问题：当a＞1时,函数y＝ax的图象与函数y＝x的图象有无交点．对于中学生来讲,问题的难点在于：当a＞1时,如何取a使函数y＝αx的图象与函数y=x的图象有交点．问题的本质是超越方程ax=x的根的分布．本文将对这一问题利用分析的方法作深人地探讨．1根的分布定理1方程a"一x的根的分布：l）当。Me｝时,方程。x＝x无解;2）当a-e。时,方程a"一x有唯一解x-e;3）当1＜。＜e5时,方程。x一x有且只有两根今1,夸2,且占IE（工,庄）,主ZE（庄,十一）;4）当OMaMI时,方程a"一x有唯一解z,iE（0,1）．证明引进…     

高中数学反函数问题综述

反函数是高中函数问题的重要组成部分 ,以它为知识的一个交汇点 ,上下串联、并联 ,可以把函数与方程 (包括曲线与方程 )的一些重要基础知识、基本技能、基本方法和基本应用联成一个“局域网” .1　反函数的存在条件1 函数y=f(x) (x∈D ,y∈M)存在反函数的充要条件为下述情形之一 :( 1 )确定该函数的映射f:D→M为D到M上的一一映射 ;( 2 ) x1 、x2 ∈D ,当x1 ≠x2 时 ,都有f(x1 )≠f(x2 ) (或只要f(x1 ) =f(x2 ) ,就有x1 =x2 ) ;( 3)y =f(x) (x∈D ,y∈M)的图象与直线l:y=a(a∈M)有且仅有一个公共点 .2 单调函数必存在反函数 .2　反函…     

求三角函数周期的一种方法

在三角函数中,求周期是一个重要内容,也是一个难点。在常见的一些题目中,如求y=|sinx| |cosx|,y=(1-sinx)~(1/2) (1 sinx)~(1/2)的周期等一类,学生做起来总觉得不顺手,掌握比较困难,为了使这类问题易于解决,不妨试用“不变量函数方幂法”。什么叫“不变量函数方幂法”呢? 定义若函数y=f(x)在定义域A上恒非负,或者恒非正,则称函数y=f(x)为A上的不变量函数。定理若函数y=f(x)是定义在A上的不变量函数,且y=f~a(x)也是A上的不变量函数(a为非零有理数),则函数y=f(x)与y=     

关于周期函数的定义及教学中应注意的问题

1问题的提出在中学数学教学时，经常会遇到类似这样的问题：函数y＝sinx（x＞0）是不是周期函数？要回答这个问题，我们还得从周期函数的定义谈起．2关于周期函数的定义关于周期函数的定义，我们常见的有如下两种：定义1设f（X）是定义在某数集M上的函数，若有在一常数T（≠0），具有性质；（i）对于任回x∈M，有±T∈M;（ii）对于任何x∈M，有f（x＋T）＝f（x），那么称f（x）为集M上的周期函数．常数T称为f（x）的一个周期．定义2对于函数y＝f（x）的定义域内的任意一个x的值，若存在一个非零常数T，使得f（x＋T）＝f（x）恒成立，则…     

利用二重积分证明积分不等式

有时将一元函数的积分问题转化为二元函数的二重积分问题 ,会给解题带来方便 .本文通过几个范例说明利用二重积分证明积分不等式的方法 .例 1　设函数 f (x)与 g(x)在 [a,b]上连续 ,证明 Cauchy-Schwarz积分不等式(∫baf (x) g(x) dx) 2≤∫baf 2 (x) dx∫bag2 (x) dx　　证明　记积分区域 D =[a,b]× [a,b],利用定积分与积分变量符号无关的性质等 ,有(∫baf (x) g(x) dx) 2 =∫baf (x) g(x) dx∫baf (y) g(y) dy = Df (x) g(x) f (y) g(y) dxdy≤ D12 [f2 (x) g2 (y) f2 (y) g2 (x) ]dxdy=12 ∫baf 2 (x) dx∫bag2 (y) dy 12 ∫baf …     

二重积分计算的一点注记

<正> 众所周知,在有界闭区域D 上连续的函数f(x,y)的二重积分integral integral from D f(x,y)dxdy 存在,而且它可以化为二次积分来计算,例如:如果积分区域D 为X—型区域,即D 可用不等式Φ_1(x)≤y≤Φ_2(x),a≤x≤b 表示,其中函数Φ_1(x)、Φ_2(x)在[a,b]上连续.则有公式:     

函数对称性及简单应用

性质1y=f(x)关于x=a轴对称<=>f（a＋x）＝f（a—x）（或f（x）＝f（2a-x)，f(-x)=f2＋x)等)性质2y=f(x)关于（a，b)中心对称<=>f(a＋x) f(a－x）=2b（或f(x)＋f（2e-x）＝2b，f（-x） f（2a＋x）＝2b等）特别地有：（1）y=f(x)关于（a，0）对称b八a＋x）—一人a－x）（或人x）—一人如一动，人一X）—一人加十X）等）（2）y一人工）关于（0，b）对称白人工）＋＊（一X）一Zb证明1．y一人工）关于x＝a轮对称hoJ一人。＋＊关于x—0对称edy一人x＋a）为偶函数今户八一x＋a）一人x＋。），通过提元面得人）一人加一），人一）一八b＋＊等．2．…     

浅谈求函数y=a1x2+b1x+c1/a2x2+b2x+c2值域的判别式法

函数y=a1x2+b1x+c1/a2x2+b2x+c2值域的求法,很多资料上给出方法是判别式(即△)法,而一旦自变量的范围给以限定,当△法失效时,还有其他方法吗?一般资料上就避而不谈了.要全面系统解决函数y=a1x2+b1x+c1/a2x2+b2x+c2值域的问题,本文以为需解决以下三个事情:①判别式法的过程和依据,②自变量有限制时还能用判别式法吗?③自变量有范围限制,问题可以归结为三类常见函数:反比例函数;y=t+c/t(c＞0);y=t+c/t(c＜0)的值域求法.     

对可导函数求最值的一种简单方法

现行高中数学课本上对可导函数求最值的方法介绍如下：设y=f(x)是定义在[a,b]上的函数,y=f(x)在(a,b)内有导数,那么,求y=f(x)在[a,b]上的最大、最小值的步骤是：(1)求y=f(x)在(a,b)内的极值．(2)将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较,其中最大的一个     

浅谈二重极限与累次极限

在学习二元函数极限的过程中,一般的高等数学教材,只介绍二重极限的概念及求法,即当P(x,y)→P_o(x_o,y_o)时,函数Z=f(x,y)的极限,记作(?)或(?).但有些初学者会提出这样的问题:若先将y固定,让x→X_0,然后再让y→y_0,这是什么类型的极限呢?与(?)有何区别?下面就这个问题作一点讨论.对任一给定的y(y≠y_o),若极限(?)存在,结果是y的函数,不妨记作v(?)(y)=(?);又假设极限(?)存在,则称A为f(x,y)先对x后对y的累次极限,记作(?).类似地可以定义先对y后对x的累次极限(?).求累次极限,实质上每一次都是先固定一个变量后对另一个变量求极限.二重极限的定义虽然形式上与一元函数极限的定义相似,但它是一元函数极限概念的推广.     

四次函数图像的对称性

定义:若一个函数的图像关于直线x=a对称,称该函数为轴对称函数. 　　本文先讨论四次函数y=x4+ax3+bx2+cx+d的对称性,再进一步讨论一般四次函数y=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0(a0≠0)的对称性.……     

相关速率

本文讨论两个变量之间的相关速率问题,即:存在着某种函数关系的两个变量,当其中一个变量随着时间发生变化时,另一个变量随时间变化的情况.若变量x与y的关系由F(x,y)=0确定,当变量x以一常速率(dxdt为一个常数)随时间t发生变化时,变量y也随时间t发生变化,x与y都可描述为时间t的函     

正比例函数与反比例函数的思考

上海市初二数学教材第二十一章“正比例函数与反比例函数”共有三个单元:比例及性质;正比例函数与反比例函数;函数在第二单元中,正比例函数的定义为:“一般地,如果变量x、y满足y=kx(k≠0),那么称变量x、y成正比例,函数y=kx为正比例函数”.反比例函数的定义为:“一般地,如果变量x、y满足y=kx(k≠0),那么称变量x、y成反比例,函数y=kx为反比例函数.”本人认为,这样定义存在两点不足:1.它没能反映正比例函数、反比例函数与比例之间的内在联系,甚至让人觉得第一单元和第二单元间并没联系.在第一单元学习了比例,知道比例是形如a∶b=c∶d(bd≠0)的…     

复合函数零点问题的探讨

<正>前不久,在函数复习中有下面的问题:已知f(x)为偶函数,当x≥0时,f(x)=2a|x-1|-a(a>0),若函数y=f[f(x)]恰有10个零点,则a的取值范围为().(A)(0,1/2)(B)(1/2,1/3)(C)(0,1/2](D)[3/2,+∞)分析这是一类特殊的复合函数,就是以自身为中间变量构成的复合函数,即y=f(f(x)),我把它称之为"自身复合函数".显然,自身复合函数的内函数和外函数有相同的图像.     

多值函数与复变函数

<正> 函数的特点在于单值。所谓由集合X到集合Y的函数是指,在X与Y的元素之间建立了一个多一对应,使得对于X中任一值X在Y中有且只有一值y与之对应(但不同的x可以对应于相同的y),如果同一的x可以对应于不同的y,人们便不使用函数的名词而使用对应(多多对应)或关系了。因此严格说来,函数应只限于单值函数,不应有多值函数。