无理函数y=（a1x+b1）～（1/2）+（a2x+b2）～（1/2）的最值求法

无理函数y=（a₁x+b₁）^1/2+（a₂x+b₂）^1/2（a1,a2,b1,b2均不为0）（1）的最值问题,是代数中较为典型的一类最值问题之一.当a1a2≥0时,函数（1）为单调函数,求出定义域后利用单调性很容易确定最大值和最小值.但当a1a2<0时,函数（1）最值的求解具有一定的难度.其实,当a1a2<0时,无理函数（1）可改写成如下形式:y=a（x-b）^1/2+c（d-x）^1/2（a,c>0,b,d≠0）（2）当b≤d时,函数才有意义.当b=d时,函数值域为单点集{0}.本文考虑b相似文献   

柯西不等式中取等条件的妙用

设a₁,a₂,a₃,…,a_n,b₁,b₂,b₃,…,b_n是实数,则（a₁²+a₂²+…+a_n²）（b₁²+b₂²+…+b_n²）≥（a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n）²,当且仅当b_i=0（i=1,2,…,n）或存在一个数k,使得a_i=kb_i（i=1,2,…,n）时,等号成立.以上不等式就是选修4-5《不等式选讲》中所介绍的柯西不等式（简记为"方和积不小于积和方"）,其应用十分广泛和灵活,善于挖掘等号成立的条件具有的潜在功能,可用于求代数式的值、解方程（组）、证明等式、判断三角形的形状、确定点的位置等.笔者分类例析,旨在探索题型规律,揭示解题方法.     

课外练习及参考答案

<正>初一年级1.在右图的数阵图中,如果每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字和相等,计算(x-y)²+(m-n)²的值.(北京含笑)2.将有理数1/2,1/3分别代入1/(-m+1)(m≠0,m≠1)运算求值,得到的结果记为a₁,b₁,再将a₁,b₁分别代入1/(-m+1)求值,得到的结果记为a₂,b₂,如此重复上述过程,(1) a₁=______,b₁=______;(2)a₁+b₁+a₂+b₂+a₃+b₃+…+a₅₄+b₅₄的值是______.     

一类数列不等式的巧证

数列不等式是高考中久考不冷的热点,此类题目技巧性强,思维量大,一般不容易突破.例如,有一类数列不等式a₁+a₂+…+a_nn进行放缩的方法为a_nn,而b_n是一个等比数列,即b_n=b₁q^n-1,接下去任务就是寻找公比q,a₁+a₂+a₃+…+a_n1+b₁q+b₁q²+…+b₁q^n-1=（b₁（1-qⁿ））/（1-q）1/（1-q）（这里01>0）,则有     

Global Phase Portraits of Uniform Isochronous Centers System of Degree Six with Polynomial Commutator

This paper studies the global phase portraits of uniform isochronous centers system of degree six with polynomial commutator.Such systems have the form ■=-y+xf(x,y),■=x+yf(x,y),where f(x,y)=a₁x+a₂xy+a₃xy²+a₄xy³+a₅xy⁴=xσ(y),and any zero of 1+a₁y+a₂y²+a₃y³+a₄y⁴+a₅y⁵,y=■ is an invariant straight line.At last,all gl...     

非线性向量边值问题的奇异摄动

本文研究摄动边值问题dx/dt=f(x,y,t;ε),εdy/dt=g(x,y,t;ε),a₁(ε)x(0,ε)+a₂(ε)y(0,ε)=a(ε)b₁(ε)x(1,ε)+εb₂(ε)y(1,ε)=β(ε)这里x,f,β∈Em,y,g,a∈En,0<ε《1,a₁(ε),a₂(ε),b₁(ε),b₂(ε)为适当阶数的矩阵.在g_y(t)是非奇异矩阵及其它的适当限制下,证明了解的存在唯一性,作出了解的n阶渐近近似式,并得出余项估计.     

两例对数即时定义赏析

<正>一、基于对数性质的新定义运算【例1】已知a_n=log_n+1（n+2）（n∈N^*）,观察下列运算a₁×a₂=log₂ 3×log₃4=lg3/lg2×lg4/lg3=2,a₁·a₂·a₃·a₄·a₅·a₆=log₂3·log₃4……log₆7·log₇8=lg3/lg2·lg4/lg3……lg7/lg6·lg8/lg7=3,……     

黎曼猜想下一个素数k次幂及四个素数3次幂的华林-哥德巴赫问题

令k≥1是一个整数.在黎曼猜想成立的条件下,本文给出了n=p₁^k+p₂³+p₃³+p₃⁴+p₅³平均表法个数的一个合适的渐近公式,其中p₁,p₂,p₃,p₄,p₅都是素数,推广了之前的结果.     

从直角三角形到直角四面体的类比

<正>类比是一位伟大的引路人,她可以帮助我们提出新的问题,作出新的发现.下面我们运用类比对高中数学选修2—2人教A版课本P₈₃例3作进一步的探究.课本P₈₃例3类比直角三角形的勾股定理c²=a²+b²提出猜想:在直角四面体中有S²= S₁²+S₂²+S₃²,即斜面面积的平方等于三个直角面面积的平方和,但是课本并未给出证明,现证明如下:     

调和Hardy空间上的Toeplitz算子的酉等价性

记H²是单位圆盘D={ξ∈C:|ξ|<1}上的经典Hardy空间.设u和v是内函数且至少其中一个是非常值的,调和Hardy空间H_u,v²定义为H_u,v²=uH²⊕v(H²)^丄=uH²⊕vzH².对任意的x∈H_u,v²,定义H_u,v²上的调和Toeplitz算子T_φx=Q_u,v(φx),其中,Q_u,v:L²→H_u,v²为正交投影.该文刻画了调和Toeplitz算子和对偶截断Toeplitz算子的酉等价性,并给出了两个调和Toeplitz算子可交换的充要条件,调和Toeplitz代数的性质以及T_z的换位子的刻画.最后,该文还得到了...     

ALMOST SURE GLOBAL WELL-POSEDNESS FOR THE FOURTH-ORDER NONLINEAR SCHR?DINGER EQUATION WITH LARGE INITIAL DATA

We consider the fourth-order nonlinear Schr?dinger equation(4NLS)(i?_t+εΔ+Δ²)u=c₁u^m+c₂(?u)u^m-1+c₃(?u)²u^m-2,and establish the conditional almost sure global well-posedness for random initial data in H^s(R^d) for s ∈(s_c-1/2,s_c],when d≥3 and m≥5,where s_c:=d/2-2/(m-1) is the scaling critical regularity of 4NLS with the second order derivative nonlinea...     

问题与征解

<正>问题问题25 (供题者:华东师范大学庞学诚)设f在[0,1]中连续,f(0)≠f(1).若Vc∈f([0,1]),f(x)=c至多只有有限个解,则存在c₀∈f([0,1])使得f(x)=c₀恰有奇数个解.问题26 (供题者:南京大学石亚龙)假设A=(a_ij)是n阶实方阵(n≥2),满足a_ii=0(?i=1,2,…,n),并且对任何n元置换σ都有■.证明:存在实数b₁,b₂,…,b_n使得对任何1≤i,j≤n都有b_i-b_j≤a_ij.     

一类高阶非线性边值问题的奇异摄动

本文应用高阶微分不等式技巧和边界层校正法研究一类高阶非线性方程混合边值问题: e2yn=f(t,e,y,…,yn-2 Pj(ε)yj(0,ε)-qj(ε)yj+1(0,ε)=Aj(ε)(0≤j≤n-3)a₁(ε)y(n-2)(0,ε)-a₂(ε)yn-1(0,ε)=B(ε)b₁(ε)y(n-2)(1,ε)十b₂(ε)y(n-1)(1,ε)=C(ε)的奇异摄动。在较一般的条件下,证明了摄动解的存在性,并得到了摄动解直到n阶导函数的一致有效渐近展开式,从而推广和改进了前人的结果。     

华林—哥德巴赫问题:1个立方与9个四次方

设N为充分大的整数.本文证明了对于不超过N且满足某些必要同余条件的正整数n除至多O(N^17/18+ε)之外均可以表示为p₁³+p₂⁴+p₃⁴+p₄⁴+p₅⁴+p₆⁴+p₇⁴+p₈⁴+p₉⁴+p₁₀⁴的形式,其中p₁,p₂,…,p₁₀为素数.     

一类含幅、相等式的非线性方程组的线性化及其应用

一类有理分式复函数G(jω)=1+a₁jω+a₂(jω)2+…+a_m(jω)n/b₀+b₁jω+b₂jω+…+b_n(jω)n常被用来描述系统的性能.当其有关的幅值(模)和相角(幅角)的数据能获取时,可以对G(jω)进行综合.诸未知系数a_i及b_i(i=0,1,…,m,…,n)将通过解一类含幅、相等式的非线性代数方程组_i i=1,2,…,r.确解的初值[9].本文通过简单的数学处理,将这类非线性方程组完全线性化为同维的线性方程组,从而得以直接解.此法还可以推广到分母含纯(jω)因子和e-jωi0因子的系统.文章最后通过例子简介了这种方法在控制工程领域的应用.     

求函数y=ax^2＋bx＋c／px^2＋qx＋r值域的方法探讨

求形如函数y =ax2 +bx +cpx2 +qx +r px2 +qx +r≠ 0的值域问题是众多求函数值域中的基本类型 ,其方法也是学生必须掌握的 ,分析探讨如下 :一、当函数的定义域D为全体实数时 ,即x∈R时 ,px2 +qx +r≠ 0 ;可以采用判别式法求函数的值域 ,即原函数可化为关于x的一元二次方程(yp -a)x2 + (yq -b)x +yr -c =0　 ( )(1)当yp -a =0时 ,即y =ap 时 ,若 ( )有解 ,则y可取到 ap ,若 ( )无解 ,则y不能取到 ap;(2 )当yp -a≠ 0时 ,一元二次方程 ( )有实根 ,所以其判别式△≥ 0 ,即 (yq -b) 2 - 4(yp -a) (yr -c)≥ 0 ,可解得y的取值范围 ;综全 (1) (2 …     

关于限制性m-位分拆函数(英文)

Let n,m,k be positive integers and b_m,k be the number of representations of n as n = m^a₀ + m^a₁ + ··· + m^a_j with 0 ≤ a₀ ≤ a₁ ≤···≤ a_j < k.In this note,we obtain some congruences and distribution properties of b_m,k.     

浅谈求函数y=a1x2+b1x+c1/a2x2+b2x+c2值域的判别式法

函数y=a1x2+b1x+c1/a2x2+b2x+c2值域的求法,很多资料上给出方法是判别式(即△)法,而一旦自变量的范围给以限定,当△法失效时,还有其他方法吗?一般资料上就避而不谈了.要全面系统解决函数y=a1x2+b1x+c1/a2x2+b2x+c2值域的问题,本文以为需解决以下三个事情:①判别式法的过程和依据,②自变量有限制时还能用判别式法吗?③自变量有范围限制,问题可以归结为三类常见函数:反比例函数;y=t+c/t(c＞0);y=t+c/t(c＜0)的值域求法.     

独立同分布随机变量加权和的概率估计

设{ξ_i}_i=1ⁿ为独立同分布的随机变量,且P(ξ_i=1)=P(ξ_i=-1)=1/2.设a=(a₁,…,a_n)为与{ξⁱ}_i=1ⁿ独立的服从超球面S^n-1={(a₁,…,a_n)∈Rⁿ|∑_i-1ⁿ a_i²=1}上均匀分布的随机变量,该文用极坐标变换得到了P(|∑_i=1ⁿ a_iξ_i|≤1)的表达式.当n<7时,该文通过直接计算得到此概率值大于等于1/2;当n≥8时,该文通过R软件也得到了此概率值大于等于1/2.特别地,n=3,4时,借助于贝塔函数,该文直接证明了该概率值大于等于1/2.     

二次函数中的非常规题举例

<正>在现行教材中,只讲到二次函数的常规问题,但非常规问题还很多,往往又有一定难度,现举几例供同学们参考.例1已知x,y是实数,当x²+2y2+2y²=1,求2x+3y2=1,求2x+3y²的最值.分析这是在x2的最值.分析这是在x²+2y2+2y²=1(x,y为实数)的条件下,求S=2x+3y2=1(x,y为实数)的条件下,求S=2x+3y²的最值问题,叫做条