初中数学竞赛中的一元二次方程问题

法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有以下关系:如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2,那么x1+x2=-ab,x1·x2=ac.反过来,如果x1,x2满足x1+x2=p,x1·x2=q,则x1,x2是一元二次方程x2+px+q=0的两个根.因此,人们把这个关系称为韦达定理.一元二次方程的韦达定理,揭示了根与系数的一种必然联系.利用这个关系,我     

一元二次方程根与系数作用大

对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当判别式Δ=b2-4ac≥0时,若两根为x1、x2,则两根与一元二次方程的系数关系为:x1+x2=-ba,x1·x2=ca,根与系数的这种关系又称为韦达定理;它的逆定理也是成立的,即当x1+x2=-ba,x1·x2=ca时,那么x1、x2则是ax2+bx+c=0(a≠0)的两根.一元二次方程的根与系数的关系,综合性强,应用极为广泛,在初中数学中占有极重要的地位,也是数学学习中的重点,更是中考试     

一元二次方程根与系数的关系及应用

在义务教育课程标准实验教科书九年级上册 (华东师大版 )第 2 2章《实践与探索》一节中 ,我们得到一个很重要的结论 ,即一元二次方程根与系数的关系 :如果一元二次方程ax2 +bx+c=0 (a≠ 0 )的两根是x1,x2 ,那么有x1+x2 =-ba ,x1·x2 =ca .这实际上就是著名的“韦达定理” .运用这个定理 ,在不解方程的情况下 ,可以解决许多与一元二次方程的根有关的问题 .一、已知一根求另一根及求未知系数例 1　已知方程x2 -6x +m =0的一个根是 5 ,求另一个根及m的值 .解 :设方程的另一个根为x1,根据根与系数的关系得x1+5 =6.得x1=1 .又∵x1·5 =m ,∴m =5 …     

一元二次方程根的非对称式的求值方法

设一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1和x2,利用根与系数的关系,我们能够熟练地求出关于它们的对称式x12+x22,     

运用二次函数图象研究二次方程初探

二次函数与二次方程的关系密切.对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)而言,当y=0时,就得到一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0).因此,一元二次方程的根就是相应的二次函数图象与x轴的交点的横坐标.我们     

运用根与系数关系解二次函数有关问题

<正>一元二次方程中"根与系数的关系"是一个重要内容.那么在二次函数中又有哪些常见题用到根与系数关系呢?我们来看一看.例1抛物线y=2x2+6x+m与x轴交于A、B,且AB=2.求m值.解设A(x1,0),B(x2,0).当y=0时,对应一元二次方程为2x2+6x+m=0,∵x1、x2为方程的两不等实根,∴由根与系数的关系可得     

韦达定理变形后的发现

设一元二次方程ax2 +bx +c =0 (a≠ 0 )的两个根为x1 、x2 ,则x1 +x2 =-ba ,　x1 x2 =ca.这就是著名的韦达定理 ,如果将其稍作如下变形 :ax1 +ax2 =-b ,　ax1 ·ax2 =ac,就会发现 ,以原方程各根的a倍为根的一元二次方程是x2 +bx +ac=0 .可看出此方程是把原方程的二次项系数a乘到常数项c上得到的 .我们不妨称x2 +bx +ac =0为ax2 +bx +c =0的衍变方程 .由于衍变方程的二次项系数是 1,一般情况下较原方程求解容易些 ,尤其当各项系数的绝对值较小或具有某些简算特征、两根为有理根时 ,利用二次三项式因式分解的规律公式x2+ (p + q)x + pq =(x +p…     

韦达定理的应用例谈

一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1,x2,则x1+x2=-b/a,x1x2=c/a.这是著名的韦达定理,它在数学解题中有非常重要的应用.现举例说明.     

北京数学奥林匹克学校课堂实录

课题根与系数的关系适用年级初中三年级学期2004-2005学年度第一学期训练目的设x1和x2是一元二次方程ax2 bx c=0(a≠0)的两根,则x1 x2=b/a,X1-x2=c/a.     

准确理解一元二次方程的根与系数的关系

<正>一元二次方程的根与系数之间存在下列关系:如果ax²+bx+c=0(a≠0)的两个根为x_1、x_2,那么x_1+x_2=-b/a,x_1x_2=c/a.这个关系通常称为韦达定理(Victa's theorem)学习时,我们要准确理解一元二次方程的根与系数的关系,把握其本质特征,理顺两根x_1、x_2与系数a、b、c之间的相互关联.而要全面准确地理解一元二次方程的根与系数的关     

初高中数学衔接讲座(二) 第三讲 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系

【知识技能要点讲解】一元二次方程以及根的判别式、根与系数的关系,是中学数学中最为重要的基本性质,有着极其广泛的应用.1.根的判别式一元二次方程ax2 bx c=0(a≠0),其根的判别式为Δ=b2-4ac,则有(1)Δ>0一元二次方程有两个不相等实数根,x1,2=-b2±aΔ;(2)Δ=0一元二次方程有     

一元二次方程中根与方程的进一步研究

一元二次方程.ax(2)+bx+c=0(a≠0)是数学中的重点和热点,且贯穿于整个中学数学之中,与其相关问题也是各类考试的重点和热点,所以,值得我们引领学生作深入的研究. 关于一元二次方程,有众所周知的这样结论: 命题1 若一元二次方程ax(2)+bx+c=0(a≠0)两根之和与商分别是m和n,则该一元二次方程为x(2)-mx+n=0.     

我解大系数一元二次方程的一点心得

在一元二次方程中,我发现“不解方程,求作一个新方程使各根是原方程各根的k倍的新方程与原方程间的系数有一定的关系.”例如:不解方程x2+11x+12=0,求作一个新方程使其各根分别为原方程各根的3倍.解的结果为x2+33x+108=0,即为x2+3×11x+32×12=0.经反复验证是正确的.证明如下:设方程x2+bx+c=0的两根分别为x1、x2,则x1+x2=-b,x1x2=c.∴kx1+kx2=     

初三代数第一学期期中自测题

A组题一、填空题 (每小题 3分 ,共 3 0分 )1 .一元二次方程的一般形式是 ,其中二次项为 ,一次项系数为 ,常数项为 .2 .4x2 +7=3x( 2x -1 )化为一般形式是 ,其中二次项系数是 ,一次项系数是 ,常数项是 .3 .方程 5x2 =0的根是 ;方程 2x2 -4=0的根是 ;方程 3 (x -1 ) 2 =9的根是 .4.方程x2 -2x -1 =0有的实数根 ;方程 4x2+4x+1 =0有的实数根 ;方程 3x2 -x +6=0有的实数根 .5 .一元二次方程x2 +3x -1 =0的两根之和为,两根之积为 ,以 5和 -3为根的一元方程是.6.方程 3x2 -3x +1 =0的根的情况是 ,方程-2x2 -x +5 0 =0的根的情况是 .7.在实数范围…     

一无二次方程的整数根的求法

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)是初中数学的重点内容,本文介绍解整系数一元二次方程含有参数的整数根问题的五种基本方法. 1.求根公式法若能将方程ax2+bx+c=0的根表示成有理式则可结合整除性求解. 例1 求整数m,使关于x的一元二次     

一元二次方程的一个性质及应用

设一元二次方程ax2 bx c=0(a≠O)有两根x1、x2,耶么我们可以得出一个重要性质:若a b c=0,则有一根是1,反之,若一根为1,则a b c=0. 运用上述性质不仅可以求出特殊类型的一元二次方程的根,而且可以解决某些竞赛题.     

初三代数第一学期期末自测题

A组一、填空题1 .13 x2 =2x的二次项是 ,一次项是 ,常数项是 .2 .二次方程 2ax2 +bx +c=0 (a≠ 0 )有一根为 1 ,那么 2a +b +c=.3 .已知 (m +1 )xm2 -2m -1 +3x -2 =0是关于x的一元二次方程 ,那么m的取值范围是 .4.已知点P在第二象限 ,它的横坐标与纵坐标的和为 1 ,点P的坐标可以是 (只要写出符合条件的一个点的坐标即可 ) .5 .已知y +3与x-1成正比例 ,且x =2时 ,y=2 ,则x=-3时 ,y=.6.若解方程 2xx +1 -m +1x2 +x=x+1x 产生增根 ,则m=.7.要使直线y =3x -2通过点 ( 2 ,1 0 ) ,应把此直线向上平移个单位 .8.若直线y =-x +a和直线y =x +b的交…     

构造一元二次方程巧解竞赛题

对于实数a,b,若满足:a+b=p且ab=q,则a,b是关于x的一元二次方程:x2-px+q =0的两个实数根,于是△≥0,即:(-p)2 -4q≥0,则p2≥4q.利用上述构造一元二次方程的方法,通过建立不等式,我们可简洁、有效地解答数学竞赛题,本文举例介绍其应用.     

二次函数与一元二次方程的关系及运用

二次函数和一元二次方程是我们学习的两个"二次"问题,两者之间有着怎样的关系呢?下面为同学们一一介绍.一、两者的关系(1)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值等于m,求自变量x的值,可以解一元二次方程ax2+bx+c=m(即ax2+bx+c-m=0).反过来,解方程ax2+bx+c=0(a≠0)又看做已知二次函数y=ax2+bx+c值为0,求自变量x的值;     

初中生也要学习合情推理与论证

小明经常遇到这样的一元二次方程x2 3x 2=0,5x2-7x 2=0,….发现它们总有一个根为1,这是否成一个规律呢? 猜想1 方程ax2 bx c=0(a≠0)中,若有a b c=0则方程有一个根为1,另一个根是常数项与二次项系数的比. 小芳对于小明提出的猜想很感兴趣,连忙对小明说:①求证方程(a-b)x2 (b-c)x c-a=0(其中a≠b)有一个根是1.②若x=1是方程ax2 bx c=0的根,则