利用Cramer规则求n阶行列式的值

如果线性方程组的系数行列式D■0,则(*)有唯一一组解:其中,D_j址把行列式D中的第j列的元素换之以方程组(*)的常数项b_1,b_2,…,b_n而得到的一个n阶形列式。这就址著名的Cramer规則。我们知道,Cramer规則的主要意义在于它给出了线性方程组的解与系数的明显关系,为线性方程组的理论上的讨论提供了方便。本文则试图说明Cramer规则对的部分n阶行列式的计算也是非     

Cramer法则的又一种证法

在《高等代数》（和《线性代数》）的教学中,Ｃｒａｍｅｒ法则被安排在“行列式”一章,但其证明方法却很初等,没有充分体现行列式的运算技巧．我们在教学中对Ｃｒａｍｅｒ法则的证明做了改进,通过构造ｎ＋１阶行列式巧妙地推证出结果,很受学生欢迎．曾见１９８８年《数学通报》１２期发表有该思路的证明方法,故这里称为“又一种证法”．克莱姆法则：如果方程组∑ｎｊ＝１ａｉｊｘｊ＝ｂｉ,ｉ＝１,２,…,ｎ的系数行列式Ｄ＝｜ａｉｊ｜≠０,则方程组有唯一解ｘｊ＝ＤｊＤ（ｊ＝１,２,…,ｎ）．其中,Ｄｊ是将Ｄ中第ｊ列元素换成…     

线性方程组的解法

在各种解方程的問題中,应用范围最广、解法最簡单的要算是一次方程組了。一次方程組通常称为綫性方程組。在許多实际問題中都有着大量的应用。例如,在大地測量問題中要解綫性方程組;計算水坝的应力分布的問題要解偏微分方程,而解这样的偏微分方程时往往要归結为解綫性方程組。随着我国社会主义建设的飞跃发展,在生产实际中提出了大量的问題需要通过解线性方程組来进行计算。在这一篇文章里,首先介紹一下一般的綫性方程组的解法,这种解法就是中学代数中的消元法,但比起中学代数的讲法更为簡单清楚,并且具有一般性。可以作为教师讲課的参考。然后再介紹綫性方程組的两种数值解法。本文不要求任何較高深的数学知識,一般具有中学水平的同志都能掌握。     

關於行列式理論的公理構成

行列式起源於解綫性方程組的問題,為了將解2未知量或3未知量綫性方程組的克來母规則推廣到n未知量的情形,我們從2階及3階行列式去找它們的內在规律,然後依照這種規律去定義n階行列式,並證明這樣定義的n階行列式確能使克來母規則成立。這在一般高等代數書上都有介紹,這裏不多說(可參看柯召譯庫洛什著高等代數教程第二章,此書以下簡稱庫高。) 由n階行列式的定義可以推出它們的很多性質,在庫高§23中曾指出利用這些性質中的若干條也可以反過來决定行列式。即若一方陣函數適合該若干條性質,則此函数必為方陣的行列式,這告訴我們對行列式可以有比較抽象的講     

整系数射影么模羣的自同构

<正> §1.序言 以表行列式之值为±1的n×n整系数矩陣所組成的乘法羣,而以表中行列式之值为+1的矩陣所組成的子羣.的中核由{I,-I}所組成(I是单位矩阵).以表对其中核的商羣,称之为的射影羣.当n是偶数吋,的中核也是由{I,-I}所組成,以表对其中核之商羣,称之为整系数射影模羣. 华罗庚教授和I.Reiner在[1]中决定了,及(m≥1)的自同构.当n是奇     

線代数学的基本概念

对於所謂“初等”数学来說,还保存着来自希腊科学的,一方面是代数方法而另一方面又是直观的几何概念的这种彼此分裂的特征。誠然,在解几何問題时常常要用到某些代数方法,但是在初等数学中,沒有把几何問題归結为代数問題的一般方法,同样也沒有对代数公式和代数关系式作几何解釋的一般方法。这样的一般方法中最簡單的是在空間中引入坐标系。这就使我們有可能在空間中的每一个点与三个实数x,y,z的数組之間建立起对应,与量x,y,z有关的每一个方程可以解釋为空間中的某一个面等等。这样一来,坐标法首先使我們能按照完全确定的法則,系統地利用代数以解决几何問題,分类和討論各种不同的几何形象(曲線,曲面等),其次使我們有可能按照非常一般的法則,对各种不同的代数关系式作几何解釋,例如,任何一个線性方程     

一个代数定理的应用

本文现将部编高中代数第二册(甲种本)第四章4.6节介绍的三元齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式为零的定理在部分代数题解题时的应用介绍如下: 例1 设a、b、c都为正数,其中至少有一个不等于1,又a~xb~yc~z=a~yb~zc~x=a~zb~xc~y=1,求证:     

介紹九年一貫制代数試用課本

北京师范大学数学系普通教育改革小組建議的九年一贯制的数学課程包括代数、初等函数、制图学、微积分学、概率論与数理統計五門。“代数”课本是以唯物辯証法的原理,把原有算术,初中及部分高中代数以及大部分有用的平面几何知识(其他有用的几何知识分别放在初等函数及制图学中)。按以函数力綱、数形結合、計算与概念結合的精神組成的一个新系统。“代数”共分十册,在一到五年级讲授。教材内容尽量貫彻理論联系实际的精神?概念从实际引入,問題从实际提出,在数的运算方面搜集了大量实际问题,有計算我国与资本主义国家工业生产速度的比较,工厂、人民公社产量、劳动生产率的计算,也有儿童参加     

关于方程的几个问题

历年来在高等代数的教学中,总发現某些学生对方程有着模糊的概念。例如,按照現行教材,中学毕业生进入高等学校后第一次接触到方程概念的是克萊姆規則:n个未知量n个方程的綫性方程組 a_(11)x~1+a_(12)x_2+ …+a_(1n)x_n=b_1, a_(21)x_1+a_(22)x_2+…+a_(2n)x_n=b_2, a_(n1)+a_(n2)x_2+…+a_(nn)x_n=b_n (1)的系数行列式D=|aij≠0时,(1)有解且仅有一解,即x_i=Di/D,i=1,2,…,n。 証明分两步:第一步是假定(1)有解,得出xi=Di/D。第二步是用真x_i=Di/D代入(1),得出真的等式,因而x_i=Di/D的确是(1)的解。較多的同学感到第二步是多余的,沒有必要。另一个例子是在討論向量方程     

齐次线性方程组有非零解条件的应用

六年制重点高中《代数》第二册P_155给出了下面的定理:齐次线性方组有非零解的充要条件是其系数行列式等于零。这一定理在初等数学解题中应用比较广泛,本文拟举几例说明如下。例1 已知 siny+sinz/sinx=sinz+sinx/siny =sinx+siny/sinz=k,试求k的值。解:由已知得视sinx、siny、sinz为未知数,依题意知上述方程组有非零解,于是     

中学教材里的一次方程组

一次方程组在中学教材里占有重要地位.有关一次方程组理论的系统叙述,都已见于一般的高等代数书中,这里不必重复,至于解一次方程组的一些技巧,因为并不算难,所以也不用多说,本文只打算围绕中学教材,而且在用很少一点算术知识的基础上,谈一淡用初等解法解一次方程组的理论,以便使中学教科书上解一次方程组的法则,能够找到一个根据,供教师参考.     

关于师范学校代数課中二元二次方程組的教学体会

师范学校代数課本中二元二次方程組編排在二次方程和可以化成二次方程的方程之后,不同于高中代数編排在函数和它的圖象之后便于方程組的解得到几何解釋;但这部分教材与二次方程的联系非常紧密,將它放在二次方程之后不是沒有优点的。同时把函数与圖象推迟来講可以綜合所学过的代数教材,对于解方程组同样也能給予新的函数解釋和几何意义。下面是我講这部分教材的一些体会。     

第35届IMO第2题的另一证法

第３５届ＩＭＯ第２题的另一证法许以超（中国科学院数学研究所１０００８０）本届ＩＭＯ在香港举办，六道考题中有三道初等数论题，二道代数题，一道几何题．本文给出这道几何题之解析几何证明（即代数方法证明）．由于中学将初等数论放在代数课中讲授．由此可见，今年Ｉ...     

谈矩阵表示的顺序消元法解线性方程组

在讲授“行列式和线性方程组”一章时,学生提出:“三元线性方程(Ⅱ)的系数行列式D=0时,究竟在什么情况下有无穷多解,在什么情况下无解?用顺序消元法(矩阵表示)解线性方程组时是否一定要限制在D≠0的条件下?”本来这些问题在高等代数中都得到了满意的解决,但要用到一些较深的高等数学中的概念。我们只把课本上介绍的顺序消元法(矩阵表示)的知识稍加深化,在不涉及高深概念的前提下满足了这一部分学生的求知欲望。课本上已写明:顺序消元法解线性方程组的矩阵表示实际上是通过方程组的系数和常数项的变化来表示方程组的消元过程。基于这个思想,我们认为解三元线性方程组     

通过反例正确引导学生应用题设

在讲授完高中代数第二册“行列式和线性方程组”这一章后,我们给同学们留下这样一个题目:已知a,b,c是不全为零的三个实数,A,B,C是三个锐角,且它们满足下列关系式 a=bcosC+ccosB b=ccosA+acosC (M) c=acosB+bcosA 求证 A+B+C=π。有相当一部分同学不会解,我在改作业时发现有几个数学成绩优秀的学生是这样解的:把所给的关系式(M)看成关于cosA、cosB、cosC为未知数的三元线性方程组,则系数行列式     

卷积方程的分类

<正> 卷积方程迄今未曾有过系统的分类,虽然卷积方程特例之一的偏微分方程的分类是颇有可述的.首先,大家都熟悉常实系数线性偏微分方程及方组的分类(附带说清,以下仅考虑常系数线性方程情形,因为变系数乃至非线性情形都以前者的分类为根据).这种依赖于代数准则的古典分类以其初等性、确定性及不变性著称,但缺点则在于对椭圆型以外的类型刻划不足.近代出现了考虑到方程或方程组的低阶项的分类,例如1937年(?)的适定组(见[1]),1951年 G(?)rding 的双曲方程(见[2]),1955年(?)的抛物组(见[3])及Douglis-Nirenberg 的椭圆组(见[4])等.正由于低阶项的附加考虑,扩大了古典定解问题     

一类无理式的有理化因式

《数学通报》2 0 0 0年第 1 1期文 [1 ]研究了一类无理式的分母有理化问题 ,文中将无理式ａ0 ａ1 ｂ的有理化因式ａ0 -ａ1 ｂ用二阶行列式表示为1ａ1ｂａ0, (1 )然后猜想并证明了无理式ａ0 ａ13 ｂ ａ23 ｂ2 的一个有理化因式可以用三阶行列式表示为1ａ1 ａ23 ｂａ0 ａ13 ｂ2 ｂａ2 ａ0,(2 )一般地 ,无理式ａ0 ａ1ｎｂ … ａｎ- 1ｎｂｎ- 1 的一个有理化因式可以表示为一个ｎ阶的行列式 (详见原文 ) .这是一个非常漂亮的结果 ,充分显示了高等代数中的行列式这一工具在初等代数中的“意外”的非凡作用 .只可惜文 [1 ]所举的例子没有典型…     

广义范德蒙行列式

把n阶范德蒙行列式D中任一行(设为第i行)上元素的幂指数一般化,换成任意的整数k(正,零或负),这样得到的行列式与三个参数有关:阶数n,行数i,指数k.它既包含了原来的行列式D,又涵盖了其他许多不同的行列式.本文对指数k的不同情形分别进行讨论,并以D与D第二行元素的初等对称多项式分别表示出k≥n与k0时行列式之值.     

三元线性方程组当系数行列式为零时解的讨论

现行六年制重点中学高中数学课本《代数》第二册第四章在讲三元线性方程组的解法时,对于系数行列式D=0时解的情况只说了一句话:“方程组或者无解或者有无穷多解(证明从略)”。(见上述课本P.146倒数第五行)。我在讲授这部分内容时,学生总是爱问:“什么情况下无解?什么情况下有无穷多解?这无穷多解如何表达出来?”为满足学生的求知欲望,同时培养学生分析问题和解决问题的能力,我使用下面的方法来解决问题,花的时间不多,而效果较好。现介绍如下,供读者参考。我们对照上述课本P.143的4.5节来阐述问题。为节省篇幅,许多符号都借用上述课本中已有的,此处不再赘述。比如,系数行列式用D表示,C_3表示D中元素c_3的代数余子式,等等。当D=0时,三元线性方程组解的情况可分     

介值定理与区间法解不等式

在初等代数中,常用列表法解一元高次不等式.由于这一方法是以多项式理论为基础的,所以有很大的局限性.本文将以连续函数的介值定理为依据,阐明区间法解不等式的一般原理,从而将区间法推广到解更广的一类不等式(基本上可包括初等代数中的全部不等式),并且对解法作进一步的改善与简化. 先回顾一下介值定理,它的证明可在任何