关于函数平均值的一个例注

设y=f（x）是［a，b］上的一个可积函数。我们知道，f（x）在［a，b］上的平均值定义f［x（t）］在［a，B］上的平均值一般来说是不同于f（x）在［a，b］上的平均值，在具体问题的平均值计算中需要注意。以下举例说明：例求摆线的第一拱（0＜t＜2。）上点到原点距离平方的平均值。解法一距离平方为d’二x’＋y’一（t－SISt）’＋（l－COSt）’一t‘＋2－ZCOSt－Ztsiflt（0＜t＜2。）若取t为自变量，则平均值解法二若取x为自变昌（0＜x＜2。）则解法三取弧长S为自变量（（0＜S＜8），孤长S与参数t的关系为：当t—2知时，总弧长S一8，…     

凑配均值不等式常用的变形技巧

（a1，a2，…，an是正数，n∈且≥2）解证有关不等式问题，常常无法直接解决，而是先将解证的不等式进行适当的变形，凑出均值不等式的条件，再用均值不等式解决．这时，恰当的变形便成为解题的关键．下面介绍七种常用的变形技巧．1补项例1已知X＞-1，且x≠0，n∈N，求证：（1＋x）n＞1＋nx．证明例2设x1，x2，…，xn。都是正数，证明：2拆项例3已知a、b∈R ，且a≠b，求证：证明a5＋b5例5已知a、b、c∈R ，且a＋b＋c＝1，求证：证明例8已知a＋b＋c—1，＄证：rt‘＋b‘＋C‘MM．证明”．”1一（a＋b＋c）‘一a‘＋b’＋c’＋Zab＋Zbc＋…     

一类函数条件最值的矩阵求法

设有n元二次齐次函数并设B＝（bij）为正定阵，求函数（1）在条件下的最大值与最小值。设则所讨论问题可表述为：求f（x1，x2，…，xn）＝x’八x在条件O＜a＜x’Bx＜b下的最大值与最小值。（3）本文的主要结果如下①：定理设A为n阶实对称阵，B为n阶正定阵，则1）卜一只刚一0的根全为实根；2）设人1＜人＜…＜人是卜一人则一0的全部根，则条件极值问题（3）的最大值finex和最小值八n为证明1）由于B是正定阵，故存在可逆阵P，使得B一PP。令C一（P－）AP－。则C为对称阵，从而其特征值均为实数。即IC－AEI一O的根为实根。但IC－AE；…     

在实数体上讨论二元二次多项式的因式分解

设二元二次多项式f(x,召)=ax“ 2吞xg eg“ Zdx Zey f(a,b,。中至少有一不等于0)则 l0f(x,万)a沪0(或c铸0)有axZ 2(右g d)x c夕2 Ze夕 faf二“一壑丝土自:十‘一鱼吐兰一、’ La八a, ey“ 2 ey f 一 a一了丝丝j’1 占a IJ·t(X l。设各=业并-)’}、。,贝。一‘6“一““,“’ 2     

对称问题的坐标代换法

高中数学中的中心对称和拍对称问题，解决的方法不乏多样，但笔者认为，利用坐标代换的方法来研究这类问题，更具有一般性和规律性．1中心对称问题求曲线C：八x，y）一0关于点Q（a，b）对称的曲线C’．设C上的任一点只（xl，yi）关于点Q的对称点为P（X，y），由中点坐标公式可得：fHI一一二十ZQlyl一一y十Zb因为点PI（xl，yi）在C上，即f（XI，yi）一0，k得f（一x＋Za，一y＋Zb）一0即为所求．例1抛物线y—ax’＋bx＋c与y一x‘一sx＋2关于点（3，2）对称，求系数a、b、c．解设点（xl，yi）是y—l‘一sl＋2上任一点即yi一xZ—5xl＋2…     

西安工业学院·高等数学

一、解下列各题：（每题6分，共6O分）：1．求极限2．求极限3．设4．设7．计算积分8．计算积分9．计算积分IO设八r）二「。，l、］”二、设人。）在x一。可导，且人a）一肝求极限hd“’“n’5．（IO分）三、证明当。mpl时，。“＜丁二】·（l分）四、求由曲线y‘一上二一和它的渐近线所围成的面积。（1分）f（）在卜a，a］上的凹凸性。（1分）西安工业学院·高等数学     

函数对称性及简单应用

性质1y=f(x)关于x=a轴对称<=>f（a＋x）＝f（a—x）（或f（x）＝f（2a-x)，f(-x)=f2＋x)等)性质2y=f(x)关于（a，b)中心对称<=>f(a＋x) f(a－x）=2b（或f(x)＋f（2e-x）＝2b，f（-x） f（2a＋x）＝2b等）特别地有：（1）y=f(x)关于（a，0）对称b八a＋x）—一人a－x）（或人x）—一人如一动，人一X）—一人加十X）等）（2）y一人工）关于（0，b）对称白人工）＋＊（一X）一Zb证明1．y一人工）关于x＝a轮对称hoJ一人。＋＊关于x—0对称edy一人x＋a）为偶函数今户八一x＋a）一人x＋。），通过提元面得人）一人加一），人一）一八b＋＊等．2．…     

一个不等式的巧证

设a，b，c∈R，且a＋b＋c＞0，ab十bc ca＞0，abc＞0，柬：a＞0，b＞0，c＞0．此题在分种参考书中曾出现过，原证法都是用反证法证明的．这里结出一种简捷的巧证．设f(x）=（x＋a）（x＋b）（x＋c）＝x‘＋（a＋b＋c）x3＋（ab bc ca）x＋abc从尾舟式来看，显然当X＞ow人X）＞o．意味着y一八X）的图象更X轴的正半细无交点，而y一人x）弓xs青三个交点（－a，0），（－b，0），（－C，0），所以必有一a＜0，一b＜0，－c＜0即a＞0，b＞0，c＞0．一个不等式的巧证@周满庭$安徽省宣城中学!242000…     

变上限积分integral from n=a to x () f(t)dt的一个应用

本文将利用变上限定积分构造辅助函数的方法，建立并证明一类新的积分不等式。定理1设f（x）在［a，b］上连续，在（a，b）内可导，f（a）=0，如果．那么如果广（x）＞l，那么不等式（l）反向，且仅当人x）20，入。）一x－a或几。）一lr－a＋b＿I。＿。、上三二时等号成立。2”“。、——～。证明对于任意给定的t6［a，b」，构造函数对t求导数得：F’（t）二由厂（t）＞O，知f（）单调递增，又f（）一O，故f（）＞O，tC［a，hi又O＜／（t）＜1，．”．G’（t）＞O，G（t）单调递增。”．’G（a）一O．”．G（t）＞O即产（t）一G（t）f…     

关于分段函数及含绝对值函数的求导问题

本文讨论分段函数的求导问题，建立了求导时方法选取的一般程式。对于含绝对值的函数，给出了一个求导定理。一、分段函数的导数分段函数的求导，关键在于求分段点处的导数，常用方法有：①不连续则不可导；②导数或左右导数的定义；③导数单侧极限定理*：设f（x）在（a，b）内连续，x0∈（a，b），在（a，x0）及（x0，b）内可导且limf（x）、limf（x）都存在，则导数单侧极限定理用左右导数定义及微分中值定理可证，此处从略。下面仅作几点说明：1“定理中若厂十（X。）一片一（X。），则几X）在X。处可导，若不相等，则人X）在X。处不…     

对一道习题的思考

从相关习题出发，借助夹逼定理可证明：lim n→∞（b1a^n1＋b2a^n2＋…＋bma6n m）1/n=max{a1,a2,…,am}；设函数φ（x）,f（x）在[a,b]上都是正连续函数，则有lim n→∞{∫^b aφ（x）[f（x）]^n dx}^1/n=max a≤x≤b{f（x）}     

再谈广义奇(偶)函数及其周期性

文［1］对奇（偶）函数的概念作了推广，并对其性质和周期性问题进行了探讨．笔者读后，获益匪浅．现试图将原文论及的问题再作推广．一几个概念定义至对于函数f（x），若存在常数a、b、m、n（m＞0，n＞0），对于其定义域内的任意x：（1）当都有f（a＋mx）=f（b－nx）成立时，则称函数f（x）为广义偶函数．特别地，如果a=b=0，m=n，则f（x）就是偶函数．（2）当都有f（a＋mx）=－f（b－nx）成立时，则称函数f（x）为广义奇函数．特别地，如果a=b=0，m=n，则f（x）就是奇函数．定义2对于一个图形的两部分，从第一部分上的各点作定直线l的垂线…     

2011年高考湖北卷理科压轴题的解法探讨

2011年高考湖北理科压轴题（第21题）： （Ⅰ）已知函数f（x）=lnx—x＋1,x∈（0,＋∞）,求函数f（x）的最大值; （Ⅱ）设ak,bk（k=1,2,…,n）均为正数,证明： （1）若a1b1＋a2b2＋…＋anbn≤b1＋b2＋…＋bn,则a1^b1a^b2^2≤1;     

对称性在定积分计算中的应用

设f（x）和g（x）在[a,b]上连续,f（x）关于点（（a＋b）／2,c）对称,g（x）关于直线x=（a＋b）／2对称,根据定积分的性质,通过变量代换,可证∫a ^bf（x）g（x）dx=c∫a^bg（x）dx,,该结论及其推论可用以简化定积分计算,实例说明其应用．     

积分上限函数在运用微分中值定理证题中的应用

一、在运用洛尔定理证题中的应用分析将结论改写为，由于给出的条件：f（x）在［0，1］上连例3设y＝f（x）是闭区间［0，1」上的任一非负连续函数。（1）试证存在x。E（O，1），使得在区间「0，x＊上以f（x。）为高的矩形面积等于在区间［x。，l］上以y一八x）为曲边的梯形面积；（2）设入。）在（0，1）内可导，且／（x）＞－——，证明（1）中的lr。唯一。分析（1）矩形面积一T／（x。），曲边梯形面积一I人x）d。，即欲证明的结论为。。八x。）一if。）dx．If（）dx－x。f（。）一O（一）（）’。x＝。。一Ifx）dx－。。八万。）一0，…     

利用积分上限函数证明积分不等式

积分不等式的证明,是高等数学学习中的一个难点,也是工科研究生入学考试中常出现的一类试题．本文欲通过若干范例说明,借助积分上限函数,把积分不等式转化为函数不等式来证明,是一种行之有效的方法．倒三设f（x）在[a,b]上单调增且连续,证明：其中不等号用到f（x）在[a,u]上的单调递增性,由此,F（u）在[a,b]上单调递减,所以F（b）≤F（a）＝0,即例2设f（x）在[a,b]上正值连续,证明所以F（u）在[a,b]上单调递增．而F（a）=0,故有F（b）≥0,即例3证明Cauchy－Schwarz积分不等式其中人x）与g（x）是「a,hi上的连续函数…     

关于拉格朗日中值定理的几点注记

由拉格朗日中值定理很容易得到定理1定理1若函数f（x）在（a，b）内可徽，则对（a，b）内的任意两点x1〈x2，在（x1，x2）内至少有一点ξ（a＜ξ＜b），使等式成立。那么，若函数x（x）在（a，b）内可微，对于区间（a，b）的内任一点ξ，可否从（a，b）内找到两点X1及x2，满足等式一般不可以。考察函数f（x）=X3，（－1＜X＜1）．对于ξ=0就找不到所需的x1、X2，使（1）成立。事实上，时，但是，当的条件加强时，有定理2定理2若函数f（x）在（a，的内二次可微且产（＄）一0，a＜誊＜b，则在区间内可找到两个值由、X。满足f（。）一人X；…     

西北工业大学(1996—1997学年第1学期)高等数学试卷(A卷)

一、填空题（每小题3分，共9分，填错或不填均得零分）1．设厂（x）一g（x），则dfsin’x）2。。。。s。n手十。。s士。－；3·。f。x。－l。－In＿，。f。。。x。。－Inx，。。仁。x。dx－·二、选择题（每小题3分，共9分，选错或不选均得零分）1．设函数人X）在［O，1」上有产（X）＞0，且尸（0）20，则／（1），广（o），八1）一八0）或f（）一人1）的大小顺序是：（A）f（1）＞f（0）＞f（）一f（）；（）f（1）＞f（1）一f（）＞f（0）；（C）f（）一f（）＞广（l）＞广（0）；（D）f（l）＞f（）一f（）＞广（0）答：「j2·设ah＜…     

涉及双中值点存在性的一道习题的另证

有别于一般文献所使用的构造辅助函数方法,针对在[0,1]上连续,在（0,1）上可导,且满足f （0）＝0,f （1）＝1的函数 f （x）,先用反证法可证,存在 a ,b ∈（0,1）,使得 f′（a）＜1＜ f′（b）,进而利用导函数的介值性可证,存在ξ,η∈（0,1）,使得 f′（ξ） f′（η）＝1（ξ≠η）。     

一个不等式的应用

高中代数下册（必修）习题十五第6为：已知ad≠be，求证：（a2＋b2）（c2＋d2）＞（ac＋bd）2．若去掉已知条件，则有（a2＋b2）（c2＋d2）≥（ac＋bd）2（*）当且仅当ad＝be时取“＝”号．若灵活巧妙地顺用或逆用（*）式，可一些问题获得简洁的解证．例1若实数m、n、x、y满足m2＋n2＝a，x2十y2＝e（a≠b），则mx十ny的最大是昙（）解依题没，据（*）式，有ab＝（m2＋n2）（x2＋y2）≥（mx＋ny）2故应选（B）．例2若a、b、c、d∈R ，则一（1＋1）’一4．故应填4．例3若X’十／一1，则3X＋4y的取值范围是解依题设，据（。）式，有（3X十4y…