体积比问题的类型及解法

体积问题是立体几何中的一类重要问题 ,其中求几个几何体的体积比是较常见的一类问题 ,且多以选择题、填空题设置 .通常可设法求出每一个几何体的体积 ,再求体积比 ;或借助几何体的体积关系 ,整体处理求得体积比 .对选择题、填空题型 ,也可采取特殊化 (赋予几何体相关特殊值、特殊图形、特殊位置等 )思维策略求解 .本文结合典型问题仅以解答题求解方式探究此类问题的求解方法 .1　直接法　对于某些规则几何体 ,若据题意其体积易于求得 ,则可直接求出其体积 ,再求其体积比 .例 1　 (1991年上海高考题 )一个圆柱的底面直径和高都等于一个球的…     

立几中补形法证题举例

“补形法”是把较复杂几何体向外延伸或补加,构成简单几何体。课本中不仅贯穿将复杂问题归结为简单问题的基本思想,而且较系统地给出补形方法。如在求斜棱柱侧面积时,是把斜棱柱的直截面下面部分,“补形”到上方组成直棱柱,在求圆台侧面积时,是把圆台侧面展开图,“补形”成圆锥侧面展开图。在求三棱锥体积时,是把它“补形”成一个三棱柱,然后再把这个三棱柱“割成”三个等积的三棱锥。在     

立体几何

立体几何的中档题主要综合考查空间线面间的位置关系和几何体概念及性质. 涉及题目的基本类型主要有:(1)证明空间线面平行或垂直;(2)求空间线面的成角或距离;(3)求几何体的侧面积、体积.     

两种典型方法解决与体积相关问题

对于空间几何体,一般情况下求体积都能直接应用体积公式来解决,但是对于一些特例问题则不能直接解决,下面介绍两种方法来解决与体积相关问题.1.用"割补法"解决不规则几何体的体积一般地说,对于不是常见的柱、锥、台、球,通常有两种方法,一是将其分割,把它分割成若干个能直接应用公式求体积的几何体,二是在原来的几何体的基础上补形,补成一个能直接应用公式求体积的几何体,不过此时要求所补部分的体积易求或能够用所求几何体的体积来表示,通常把上述方法称为"割补法".     

截面问题

用平面去截几何体,平面与几何体的交线所围成的平面图形,如凸多边形、圆、椭圆等,就是我们这里所说的截面.截面问题主要包括作图和计算两个方面.处理截面问题一般分为三个步骤:定位,定形,定量.其中,图形的定位是解决截面问题的关键.作截面的方法源于确定平面的公理3及其推论,一般都是先确定一个平面,然后在这个平面内完成作图.图1　例1图例1　在单位正方体ABCD A1B1C1D1中,M ,N ,P分别是棱B1C1,C1D1,D1D的中点.求过M ,N ,P三点的平面截这个正方体所得截面的面积.讲解　我们先来确定截面的位置和形状,然后再来计算截面的面积.如图1,…     

Simpson公式的联想

文 [1 ]、[2 ]所介绍的 Simpson公式是指如下的定理　夹在两平行平面之间的几何体 ,如果被平行于这两个平面的任何平面所截 ,截得的截面面积是截面距底平面高度的不超过三次的多项式函数 ,则此几何体的体积为V=h6( S上 +4 S中 +S下 ) , ( 1 )其中 h是几何体的高 ,S上 、S下 和 S中 分别表示几何体的上、下底面和中截面面积 .( 1 )式很容易利用平行截面面积为已知 ,立体体积的定积分方法得到 .设此立体的底面垂直于 x轴 ,下底面过坐标原点、立体的高为 h,平行于底面的截面面积 S( x)=ax3 +bx2 +cx+d,其中 a,b,c,d为常数 ,则此立体体积V=…     

用割补法求几何体的体积

在求几何体的体积时,我们有时会遇到不能直接套用体积公式的情形,这时可通过分割或补形把此几何体分割为几个基本图形或拼补为一个基本图形,以便适用公式,“能割善补”是解几何题的基本方法之一．例1 已知斜三棱柱的一个侧面的面积等于S,这个侧面与它所对的棱的距离是a,求这     

简单几何体与球

1 重点、难点分析 本单元以常见的几何体为载体,一是继续研究如何证明线线、线面、面面平行与垂直,如何求空间的各种距离,如何求空间的各种角,二是研究这些几何体的性质、侧面积、全面积及体积等.本单元的重点是棱柱、正棱锥、正多面体、球的概念;棱柱、直棱柱、棱锥、正棱锥、正四面体、长方体、正方体的性质;球的性质、体积、表面积.难点是正确判断简单几何体中的点、线、面之间的关系,如何把空间问题转化为平面问题及球体积、表面积公式的推导方法的理解.     

组合体的计算方法

由若干个简单几何体组合的几何体称为组合体.组合体一般分两大类,一类是若干个简单几何体在外部接、切而成:另一类则是在内部切、接而成.解组合体的问题,涉及有关组合体的面积,体积计算.一般都要作出其纵剖面或轴截面,将关键的点、线集中在一个平面图形中,以求将立体问题平面化.或抓住组合图形中关键切、接点与线或交接面,将问题转化为熟知的简单几何体问题。     

立体几何常见图形变式解题例谈

《立体几何》P1 1 2上说“生产和生活中的物体、形状虽然复杂 ,但是很多可以看作是由柱体、台体、球体、球缺等组合 (如铆钉 )或者切割 (如螺帽 )而成的”.这就是割补法的思想方法 .本文谈谈在几何体的割补分解中经常用到的几种常见的、基本的几何图形的变式 .1　平面展开利用几何体平面展开前后的对比 ,觅寻图中“变”与“不变”的位置关系 ,可以巧妙地解决一些问题 .“以直代曲”是将图形平展变式的结果 ,它是处理“质点沿几何体的表面曲线运动路径最短”这一典型问题的重要办法 .例 1　设正三棱锥 A— BCD的底面边长为 a,体积为 1 11 2 a3,过顶点 B作与侧棱 AC、AD都相交的截面 BEF,求此截面周长范围 .简析　如图 1中 (甲 ) ,设顶点 A在底面BCD的射影为 O,AO =h,　 13.12 a .asin 6 0&;#176;.h =1 11 2 a3 　 h =333a,　　 BO =33a,(甲 )　　　　　　　　　 (乙 )图 1为了求△ BEF的周长 ,如直接求三边的长 ,困难可想而知 .如将三边之和整体考虑 ,可将三棱锥沿 AB剪开平展成图 1 (乙 ) .则可用图 (乙 )中的直线段 B...     

空间中的面积和体积问题

计算几何体的面积和体积问题．是立体几何中一类比较常见的综合问题，往往需要运用立体几何中的多种知识、概念和方法．     

立体图形体积的计算方法与技巧

立体图形体积的计算方法与技巧４１３２００湖南省南县一中向庆余计算几何体的体积，除直接代入公式计算外，还经常应用以下一些方法和技巧．１剖分几何体将不规则的几何体或不便求积的几何体剖分成几个规则的几何体，分别求体积．例１图１中的多面体的底面是边长为ａ的正...     

一类三角形面积的求法

<正>在平面直角坐标系中求三角形的面积是很常见的题型,而对于三边都不与坐标轴平行或重合的三角形面积,一般采用"割补法"间接求面积,大多数的学生都喜欢采用补成矩形(或直角梯形)等来进行面积的加减,而笔者遇到这类问题时常采用的一种求面积的方法是用平行于y轴的直线去分割.     

几何体的割与补

在平面几何中,为了求任意多边形的面积,讲过割补法,在立体几何中,为了研究某些几何体的性质或计算它的体积,也常常把几何体割补成我们熟悉的几何体。例1 (课本128页第17题) 斜三梭柱的一个侧面的面积等于S,这个侧面与它所对的侧梭的距离等于a,求证这     

立体几何中求体积的八种方法

求体积是立体几何教学的重点和难点。所以,有必要归纳小结求体积的常用方法。1 公式法 基本几何体(柱、锥、台、球)皆有体积公式,求它们的体积,自然是用公式,代公式。不过,     

数学中的“盖房与拆迁”——三视图

<正>"空间几何题的三视图"是髙中数学新课程的新增内容之一,也是近几年高考的热点内容,主要题型就是给出几何体的三视图,计算几何体的面积和体积等相关量.学生丢分的主要原因是不能由三视图还原为几何体,画出相应的直观图.快速、准确地解决三视图还原问题,首先要掌握简单几何体的三视图.对正方体、长方体、三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥、圆柱、圆锥、圆台和球的三视图分别是什么药熟悉并掌     

高考专题复习系列讲座(6)——立体几何

1.高考热点和复习建议近几年来,各地立体几何高考试题总体保持稳定,难度适中,考试题型既有选择题和填空题,又有解答题,分数一般在20分以上,归纳分析各地高考试题,立体几何部分主要有以下热点.1)空间线线关系、线面关系、面面关系,其中平行与垂直的判定和性质应用是重点;2)空间角、空间距离的计算问题;3)棱柱、棱锥等简单几何体的有关面积与体积计算及有关截面问题;4)球的知识主要侧重于计算表面积、体积及球面距离;5)作为B版教材,越来越重视向量在证明和计算中的工具作用;6)开放型命题、存在型命题渐成命题热点.在复习备考过程中,除了要明…     

截面在解题中的妙用

有些立几问题 ,看似与截面无关 ,但若能恰当地作出截面 ,借用截面可使复杂问题得到简化、隐含条件得到显化 .以下举例说明 .1　妙用截面　实现体积转化1 997、1 999两届高考试题中都出现求多面体内部几何体的体积 ,大多数学生感到比较困难 .可巧作截面 ,借用截面实现体积转化 ,化为有一面在多面体表面的几何体体积 ,以达简化的目标 .例 1　如图 ,已知正四棱柱ＡＢＣＤ -Ａ1 Ｂ1 Ｃ1 Ｄ1 ,点Ｅ在棱Ｄ1 Ｄ上 ,截面ＥＡＣ ∥Ｄ1 Ｂ ,且面ＥＡＣ与底面ＡＢＣＤ所成的角为 45°,ＡＢ =ａ ,求三棱锥Ｂ1 -ＥＡＣ的体积 .( 1 999年全国高考题 )分析 …     

例谈多面体的外接(内切)球半径的求法

<正>三视图问题是高考的必考内容,在2017届各地的高考模拟题中出现了三视图考查的新动向——求三视图还原而成的几何体的外接(内切)球的表面积或体积的问题,这是高考的重点,也是学生学习的难点.困难表现在两个方面:一是根据三视图如何准确还原几何体;二是依据画出的几何体的特征如何采用适当的     

台体体积公式V=1／6h（S上＋4S中＋S下）的应用

台体体积公式 :V =16 h(S上 + 4S中 +S下) ,其中S上 为上底面的面积 ,S下 为图形的下底面的面积 ,S中 为图形平行于上、下底面且到上、下底面的距离相等的截面的面积 .这个公式有很多应用 ,它不仅可以用于计算我们熟悉的图形的体积 ,也可以用于计算一些条件特殊的立体图形的体积 .1　常见几何体中公式的应用1)棱 (圆 )柱 (已知底面积和高 ) :因为S上 =S中=S下 =S ,所以V =16 h(S上 + 4S中 +S下) =Sh .2 )棱 (圆 )锥 (已知底面积和高 ) :根据中截面和底面相似 ,且相似比为 1∶4 ,易知 :S上 =0 ,S中 =14S ,S下 =S ,代入V =16 h(S上 …