数形结合解复合函数的零点个数的常见解法

<正>本文通过利用函数图像的方法研究复合函数y=g(f(x))的零点问题,即复合函数方程g(f(x))=0的根,令u=f(x)(内层方程),这样g(f(x))=0就转化成g(u)=0.当外层方程g(u)=0容易求解时,可以先解方程g(u)=0,再解内层方程u=f(x),这样方程的总个数即为复合函数y=g(f(x))的零点个数.     

"函数f(x)无零点方程f(x)=0无实根"吗?

在人教A版数学必修1教材中,关于"方程的根与函数的零点"给出了如下结论:方程f(x)=0有实数根(＜＝＞)函数y=f(x)的图象与x轴有交点(＜＝＞)函数y=f(x)有零点.上述结论明确了函数f(x)的零点、方程f(x)=0的实根、函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标之间的等价关系,这也是处理函数零点问题的重要方法和手段,即:将函数零点问题转化为相应方程的实根问题或相应函数图象的交点问题.……     

关于函数的零点

函数f(x)的零点,也称为方程f(x)=0的根,指的是使f(x)=0能成立的那些x点.由于许多实际问题与求方程的根或求函数的零点有关,所以讨论函数的零点有很重要的理论价值和实用价值.     

利用导数探究方程的根的个数

<正>利用导数可判断函数的单调性、求可导函数的最值与极值、还可判断函数的图象交点及方程的根的个数等.下面就如何利用导数探究方程的根的个数问题举例说明:例1已知函数f(x)=-x~2+8x与g(x)=6lnx+m,问:是否存在实数m,使得方程g(x)-f(x)=0有且只有两个不同的正实根.若存在,求实数m的值,若不存在,说明理由.     

一类特殊方程的解法探讨

本文在实数范围内探讨一类特殊方程的解法。 定理1 若F(x)在区间D上存在二阶导函数,且F″(x)>0(或F″(x)<0),又f(x),g(x),h(x),k(x)均为R上的函数,其值域均包含于D,f(x) g(x)=h(x) k(x),则方程F(f(x)) F(g(x))=F(h(x)) F(k(x))与方程f(x)=h(x)或f(x)=k(x)同解。     

一个定理的再推广

文[1]对文[2]中的定理推广为:若方程x f(x)=m和x f-1(x)=m的根分别为a,b.则a b=m.经类比探讨,笔者得到如下结论.定理若方程x·f(x)=m和x·f-1(x)=m分别有唯一根a,b.则a·b=m.该定理的证明用到类似文[2]的引理:若函数y=f(x)与y=g(x)图象的交点为P(x0,y0),则点P′(y0,x0)一定是函     

数形结合在函数与方程应用中的原则

<正>方程f(x)=0的根也称为函数f(x)的零点,研究方程f(x)=0的根就是研究函数y=f(x)的图像与x轴交点的横坐标.对零点问题的研究集中体现了数形结合的思想方法.本文举例谈谈数形结合在函数与方程中的应用中,需要把握主要的两个原则:简单性原则和等价性原则.方程f(x)-g(x)=0的解,可化为方程f(x)=g(x)的解,也可看作函     

关于隐函数样条的凸性分析

本文讨论由隐函数样条F(x)=αg~h(x)-(1-α)f(x)=0,x∈R~(?),0<α<1定义的函数(Functional spline)的凸性,得到:1)当 g(x)=l_0(x),f(x)=multiply from j to k l_j(x),其中,l_j(x)=sum from i=1 to n a_(ij)x_i+b_j 是线性的,且 (?)(x)≥0围成区域Ω,那么在Ω内,当 h>k 时,F(x)=αg~h(x)-(1-α)f(x)=0是凸的;2)在 R~2内,若 f(x,y)=0,g(x,y)=0定义两条凸曲线,那么隐函数样条不一定是凸的.但可以构造 f_1,g_1,使得 f_1与 f 定义同一条曲线,g_1与 g 也定义同一条曲线,而这时的隐函数样条是凸的.本文还给出了一个凸样条的充分条件.     

2007年江苏高考数学压轴题的巧思妙解

题目已知a,b,c,d是不全为零的实数,函数f(x)=bx~2 cx d,g(x)=ax~3 bx~2 cx d.方程f(x)=0有实数根,且f(x)=0的实数根都是g(f(x))=0的根;反之,g(f(x))=0的实数根都是f(x)=0的根1)求d的值;2)若a=0,求c的取值范围;3)若a=1,f(1)=0,求c的取值范围.原参考答案1)d=0解答略.2)c∈[0,4).解答略.3)由d=0,f(1)=0得b=-c,f(x)=bx2 cx=-cx(x-1).g(f(x))=f(x).[f2(x)-c f(x) c].由f(x)=0可以推得g(f(x))=0,知方程f(x)=0的根一定是方程g(f(x))=0的根.当c=0时,符合题意.当c≠0时,b≠0,方程f(x)=0的根不是f2(x)-c f(x) c=0的根.因此,根据题意方程f2(x)-c f(x) c…     

逆用方程根的定义巧解解析几何问题

大家知道,若方程f(x)=0的根为m,则有f(m)=0,反之,若f(m)=0,则m是方程f(x)=0的根,本文就此问题谈谈如何逆用方程根的定义解决解析几何问题,希望能引起同学们的注意.例1已知a2sinθ acosθ-1=0,b2sinθ bcosθ-1=0,a≠b.证明:过点(a,a2),(b,b2)的直线恒与单位圆相切.证明过(a,a2)     

关于计算重根的若干迭代程序

考虑具有重数为m的实根x~*的代数或超越方程 f(x)=(x-x~*)~mg(x)=0, (1)此处m为大于1的正整数,g(x)在含有x~*的某邻域内连续、可微、有界且异于零。我们知道,广义Newton-Raphson I.F。 x_(?+1)=X_n-λf(X_n)/f′(X_n),(n=0,1,2,…) (2)只当在使用时先测得所求根x~*的重数m,且令λ=m时,它所产生的序列{X_n}才能以平方敛速逼近x~*。但精确测定方程(1)的根x~*的重数m,是需要进行一些专门计算的。因此,人们常用在求根过程中已有的信息来测定根的重数m,这里通常是获得一个逼近m的序列。     

一个定理的再推广

定理若函数f-1(x),g-1(x)分别是函数f(x),g(x)的反函数(下同),且g-1(x)=g(x),则方程f(x)=g(x)有根a方程f-1(x)=g(x)有根g(a).证由f(a)=g(a),可得f-1(g(a))=a=g-1(g(a))=g(g(a)),即方程f-1(x)=g(x)有根g(a).由f-1(g(a))=g(g(a))=g-1(g(a))=a得f(a)=g(a),即方程f(x)=g(x)有根a.推     

用导数三探零点问题

方程f(x)=0的根也称为函数f(x)的零点,研究方程f(x)=0的根就是研究函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标.对零点问题的研究几乎汇聚了函数的所有知识点和数学思想方法,因而往往被压轴.在2011年高考冲刺复习中,如     

综合题新编选登

题158已知函数f(x)的导数f′(x)满足0α时,总有f(x)α,在α与β之间存在一点c,αα,所以f′(c)=1,与已知0相似文献   

从f′(x)=0谈起

<正>导数是解决函数图像、性质以及方程不等式等问题的有力工具,f′(x)=0的根是利用导数分析函数性质过程中最为核心的量.它关联着函数的单调性、极值(最值)等,但某些函数的导数为零时,根不易求得,成为解题过程中的难点.我们举例探究对非常规零点的求解或使用,寻求恰当处理方式.1.方程f′(x)=0无实数根     

浅谈函数的性质与方程的解

函数是中学数学的重要内容之一。它与数学中其它知识有着密切的联系;本文就函数的性质与方程的解给读者介绍一些方法。一、利用函数的对称性例1 已知函数 y=f(x)满足 f(2+x)=f(2-x).试证:方程 f(x)=0的根成对出现;并且若这个方程有四个根,试求这四个根之和。分析:由于 f(2+x)=f(2-x),这说明函数 y=f(x)的对称轴为 x=2,即 f(x)=f(4-x)∴当 x_0是方程 f(x)=0的一个根,同时4-x_0亦一定是 f(x)=0的根,故方程 f(x)=0     

与分担全纯函数相关的正规族

设F是在区域D内的一族亚纯函数,其零点重级至少为k,k是一个正整数,a(z)(≠0)在区域D内全纯.若对于任意的f∈F,有(1)f(z)与a(z)没有公共的零点;(2)f(z)=0f(k)(z)=a(z)■0|f~((k+1))(z)-a'(x)||a(z)|,则F在D内正规.     

具有指定亏函数和指定亏量的素函数

设F(z)为亚纯函数,若F可表为 F(z)=f°g(z) (1) 其中g为整函数,f为亚纯函数(当f为有理函数时,g可为亚纯函数)。我们称(1)为F的一个分解。若F的任何形如(1)的分解都只能是f或g为线性函数,则称F为素的。如果F的任何形如(1)的分解都只能以g为多项式或f为有理函数的形式出现,则称F为拟素的。     

方程根的定义在解竞赛题中的妙用

(1)x0是方程ax c=0(a≠0)的根ax0 c=0;(2)x0是方程ax2 bx c=0(a≠0)的根ax02 bx0 c=0.特别地,若ax21 bx1 c=0,ax22 bx2 c=0(a≠0),则当x1≠x2时,x1,x2是一元二次方程ax2 bx c=0(a≠0)的两个不等实根;当x1=x2时,x1,x2是方程ax2 bx c=0(a≠0)的两个相等实根.灵活运用上述结论,求解涉及方程根的有关数学问题,常能化繁为简,化难为易,请看下面数例(所选例子均为各地中考题或数学竞赛题):例1如果方程2003x 4a=2004a-3x的根是x=1,则a=.(第十四届“希望杯”初一第二试试题)解:∵方程2003x 4a=2004a-3x的根是x=1,∴2003 4a=2004a-3,故a=1.003.例2若α…     

方程f(x)=P-x与f-1(x)=P-x的两根之和一定为P吗

常见题目:①设方程10x=p-x的根为x1,方程lgx=p-x的根为x2,则x1 x2=p;②设方程x3=p-x的根为x1,方程3x=p-x的根为x2,则x1 x2=p.可以用数形结合法或函数的单调性证明,此略.我们类比猜想:方程f(x)=p-x与f-1(x)=p-x的两根之和一定为p(p为实常数)吗?经过探究发现,此结论不一定成立.一