关于sinα±cosα的符号规律

在解三角问题时 ,经常要确定“ｓｉｎα±ｃｏｓα”的符号 ,通常的方法是利用三角函数的图象或单位圆中的三角函数线 ,既费时又繁琐 .那么是否有简单易行的方法呢 ,答案是肯定的 .下面就介绍一种方便、实用的确定“ｓｉｎα±ｃｏｓα”符号的方法 ,供同学们参考 .在直角坐标系中作出直线 ｙ =ｘ (或 ｙ=-ｘ) ,则1)当α角的终边落在直线 ｙ =ｘ(或 ｙ =-ｘ)的上方时 ,ｓｉｎα -ｃｏｓα >0 (或ｓｉｎα ｃｏｓα >0 ) .2 )当α角的终边落在直线 ｙ =ｘ(或 ｙ =-ｘ)的下方时 ,ｓｉｎα -ｃｏｓα <0 (或ｓｉｎα ｃｏｓα <0 ) .3)当α角…     

两条直线的“到角”与“夹角”

“两条直线ｌ1,ｌ2 的交角”中包括两个基本概念 :ｌ1到ｌ2 的角 ,ｌ1与ｌ2 的夹角 .弄清这两个概念的实质 ,掌握它们的区别与联系 ,并能准确、熟练地应用这些知识解决有关问题是十分重要的 .1　对“到角”与“夹角”概念及求角公式的认识1 .1　ｌ1到ｌ2 的角及到角公式设两条相交直线ｌ1,ｌ2 ,把直线ｌ1绕其交点依逆时针方向旋转到第一次与ｌ2 重合时所转的角 ,叫做ｌ1到ｌ2 的角 .依照定义可知ｌ1到ｌ2 的角θ是带有方向的角 ,ｌ1为始边 ,ｌ2 为终边 ,且θ∈ (0 ,π) .显然 ,ｌ2 到ｌ1的角θ′不同于θ ,这时ｌ2 为始边 ,ｌ1为终边 ,且θ …     

各种概念的角

一题如图:P为复平面上一点3~(1/2)/2,-1/2)。 PA⊥平面XOY,且|AP|=3~(1/2)/2。试用反正切表示下面各有关角。一串(1)直线OP的倾角α; (2)点P所对应的复数z的辐角及其主值; (3)点P的极坐标的极角(O为极点,Ox为极轴); (4)OA与复平面所成的角; (5)H为P在x轴上的射影,OA与PH所成的角; (6)平面AOY与平面XOY′所成的角。答案 (1)OP的倾角α=π-arctg(3~(1/2)/3)     

巧用“斜线与平面所成角的性质”解题

立体几何中有关角的范围问题,解答起来往往比较麻烦,有时辅助线也很难作,但用“斜线和平面所成的角,是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角”(以下称为“斜线与平面所成角的性质”)解,就很方便了。例如例1 rt△ABC的斜边BC在平面α内,且两直角边AB、AC与α所成的角分别为θ_1、θ_2。求     

化归思想在线面角中的运用探索

在立体几何中,空间向平面的化归是重要的思想方法,教学重点之一是空间角(异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角)的计算.所以在对空间角的教学中,培养学生由空间向平面的化归思想是重要途径.下面从线面角的教学谈化归思想的培养.1.在线面角概念教学中渗透化归思想空间直线与平面所成角(简称线面角)是转化为平面内两相交直线的夹角.斜线和它在平面上的射影所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角.证明:设平面α的一条斜线l在α内的射影为l′,角θ是l与l′所成的角.直线OD是平面α内与l′不同的任意一条直线,过点…     

线段、角目标检测(二)

一、判断(每空2分,共26分) 1.三条直线两两相交一定有3个交点。 ( ) 2.线段AB的长度是点A到点B的距离。 ( ) 3.当线段AM=MB时M就是线段AB的中点。 ( ) 4.平角是始边和终边互为反向延长线的角。 ( )     

终边相同的角的表示形式及应用

<正>所有与角α终边相同的,连同角α在内(而且只有这样的角)可以用式子k·360°+α,k∈Z表示,或用2kπ+α,k∈Z表示,它们互称终边相同的角.与角α终边相同的角的集合可记作S={β|β=k·360°+α,k∈Z},或S={β|β=2kπ+α,k∈Z}.下面举例说明这一表示形式及应用.例1写出在-720°到720°之间与-1050°的角终边相同的角的度数.简析首先写出与-1050°的角终边相同     

关于空间角和空间距离的复习

对于立体几何第一章《直线和平面》.若能恰当地将空间角和空间距离作为一条线索进行总复习,对于帮助学生深入理解概念,提高解题能力无疑能起一定的作用.本文力图从一个侧面叙述这个问题. 一、空间角的计算一般地,空间角包括“直线与平面所成的角”、“两平面所成的角”、“两异面直线所成的角”等.它们是由研究空间直线与平面、两个平面、两条直线的位置关系引入的,它们可以从一个侧面反映空间图形的位置关系.由于它们都能通过平面几何中的角来定义,因此空间用可以看作是平面几何中角的概念在空间的拓广.其计算方法一般也是将空间角转化为同一平面内两相交直线所成的角来计算.     

为什么用单位圆上点的坐标定义任意角的三角函数

在人教版《普通高中实验教科书·数学4·必修(A版)》(简称“人教A版”)中,三角函数采用了如下定义(简称“单位圆定义法”):图1“如图1,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么:(1)y叫做α的正弦,记作sinα,即sinα=y;(2)x叫做α的余弦,记作cosα,即cosα=x;(3)xy叫做α的正切,记作tanα,即tanα=xy(x≠0).可以看出,当α=2π kπ(k∈Z)时,α的终边在y轴上,这时点P的横坐标x等于0,所以tanα=yx无意义.除此之外,对于确定的角α,上述三个值都是唯一确定的.所以,正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值…     

角的周期性的认识与探究

<正>一、问题提出:认识角的周期性完成了三角函数的学习之后,我们知道所有与任意角α终边相同的角均可表示为:α+k·360°(k∈Z).所以两个终边相同的角之间一定相差360°的整数倍,因此我们可将旋转的最小正周期T视为360°.认识了终边相同的角,感受了角的周期性之后,我们自然会提出:如何认识角的周期性,又如     

对现行高中数学教学参考书的几点意见

笔者在教学中发现 ,与人教版现行高中课本《立体几何》、《平面解析几何》相配套的教学参考书有不妥之处 ,现对其提出几点意见 ,供商榷 .1　高中《立体几何教学参考书》1 高中《立体几何》(必修 )课本第 33页上的第 9题 :“求证 :两条平行线和同一个平面所成的角相等 .”本题应分两种情况论证 :(1 )两条平行线与同一平面平行 ;(2 )两条平行线与同一平面相交 ,这又分为垂直相交和斜交两种情形 .教学参考书中的答案只证明了第 (2 )种情况中的斜交情形 .2 同一课本第 48页上前 2题的第 (1 )小题 :“求证 :每两条都相交且不共点的四条直线共面…     

怎样计算两条异面直线之间的距离

空间两条不重合直线的位置关系有以下三种情况:在同一平面内有(1)相交直线和(2)平行直线;不能在同一平面内的有(3)异面直线。要确定两条相交直线之间的相关位置,只要确定这两条相交直线所成的角就够了.但要确定两异面直线的相关位置,就必须引进两条直线的交角和它们之间的距离两个概念,借助于这两个数来恰切地确定它们的位置关系.所谓异面直线间的距离是指它们间     

答疑解惑 因势利导 培养能力

一、从一道质疑题谈起几个高一学生兴冲冲地边争论边跑来问教师一道题:“a、b是两条异面直线,它们分别和平面M交成20°和65°角,求a、b间所成的角r的最大值。”(原题附有答案95°,没过程。)虽然这道题的答案错误是明显的,但经分析,我们认为这是一道好题,它涉及立几、代数、三角多方面知识,蕴藏着多种培养能力的因素,认真剖析。对学生大有好处。因此,没有停留在仅仅指出答案错误的水平上,而是作了多方面的分析和探讨,目的是充分发挥答疑作用。二、剖析错误,引导学生重视概念我们和学生一道讨论,学生中的答案是多种多样     

直线与平面单元测试题

一、选择题１ＰＡ、ＰＢ是平面α过α外一点Ｐ的两条斜线，它们夹６０°角，它们都与α成４５°角，则它们在α上的射影所夹角为（）．（Ａ）３０°（Ｂ）４５°（Ｃ）９０°（Ｄ）１２０°２平面α与平面β相交，直线ｍ⊥α，则（）．（Ａ）β内不一定有直线与ｍ平行...     

合情推理显身手

近年来“合情推理”题型倍受青睐,符合“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动,发展合情推理能力和初步的演绎推理能力”的理念.现列举几例,以抛砖引玉.例1(2004年河北省中考题)我们知道:由于圆是中心对称图形,所以过圆心的任何一条直线都可以将圆分割成面积相等的两部分(如图1).图1探索下列问题:(1)在图2给出的四个正方形中,各画出一条直线(依次是:水平方向的直线、竖直方向的直线、与水平方向成45°角的直线和任意的直线),将每个正方形都分割成面积相等的两部分;图2(2)一条竖直方的直线m以及任意的直线n,在由左向右平移的过程中,将正六边…     

两直线垂直问题的求解思路

两条直线垂直是两直线间的一种特殊位置关系。论证两直线垂直是平面几何中的基本问题之一,也是数学竞赛中一类颇受青睐的问题,本文介绍求解此类问题的若干思路。 论证两直线垂直常从如下几方面考虑: 从角考虑:相交成直角的两直线垂直,相交得邻补角相等的两直线垂直,直径所张圆周角的两边垂直; 从线考虑:分别与两互垂线平行的两直线垂直,一条直线和两平行线中的一条垂直也和另一条垂直,同圆中夹孤之和为半圆的两相交弦垂直,等腰三角形     

sinα±cosα与tgα-ctgα的符号图

判断ｓｉｎα±ｃｏｓα与ｔｇα -ｃｔｇα的符号问题 ,在高考中屡见不鲜 .由单位圆中的三角函数线易得如下结论 :图 1　ｓｉｎα±ｃｏｓα的符号图　图 2　ｔｇα -ｃｔｇα的符号图由图 1知 ,直线 ｙ =±ｘ将坐标平面分成四个区域 ,当角α的终边落在直线ｙ=ｘ上时 ,ｓｉｎα-ｃｏｓα =0 ,在 ｙ =ｘ上方有ｓｉｎα -ｃｏｓα >0 ,在 ｙ =ｘ下方有ｓｉｎα-ｃｏｓα <0 ;当角α的终边落在直线 ｙ =-ｘ上时 ,ｓｉｎα +ｃｏｓα =0 ,在 ｙ =-ｘ上方有ｓｉｎα +ｃｏｓα >0 ,在ｙ =-ｘ下方有ｓｉｎα +ｃｏｓα <0 .由图 2知 ,ｘ轴、ｙ轴…     

谈谈“对比”在立体几何教学中的应用

空间图形和平面图形的性质,有些是相同的,有些是相异的,有些是类似的,有些是不相类似的,因此,在立体几何的教学中,我常采用对比的方法来推行,效果较好。 1.讲授新知识时,与旧知识进行对比如把异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角等不同的概念都与平面几何里角的概念对比,指出这些“角”的概念虽然不同,但是它们的大小都归结为平面内二相交直线之间夹角的大小;又如把点到直线的距离、点到     

三角客观题的图象解法

解三角客观题时 ,利用图象 ,结合分析 ,可以避免对角的讨论及繁琐的运算 ,很容易得到正确答案 .下面举例加以说明 .例 1　已知cosα =- 1213,α是第二象限的角 ,则tan α2 的值等于 (　　 )(A)± 5 .　 (B)± 15 .　 (C) 5 .　 (D) 15 .图 1　例 1图解　如图 1,在第二象限内作线段OP =13,使OP在x轴上的射影长为12 ,则以射线OP为终边的角就是满足题设的角α ,α2的终边就是图 1中的射线OM ,ON .显然 ,tan α2 的值必大于 1,故选 (C) .例 2　已知α为锐角 ,sinα =45 ,cos(α +β) =- 29,则 β的终边在 象限 .图 2　例 2图解　如图 2 ,…     

用余弦定理证公式C_(α+β)

高中《代数》第一册通过作辅助角-β,然后根据两个三角形全等和两点间距离公式证明了公式Cα+β,方法较繁,现给一种简捷法。证明建系如图5,作单位圆O,α、β角的始边为ox,交圆O于P,终边分别交圆O于P_1和P_2,其坐标是:P_1(cosα,sinα)P_2(cosβ,sinβ)。由余弦定理得