从k到k 1思路受阻分析及转化策略

用数学归纳法证明不等式，特别是数列不等式，是一个行之有效的方法，也是中学数学中的一个基本方法，近些年高考试题中几次出现这类问题．运用这种方法时，往往有好多学生在证ｋ到（ｋ＋１）的过程中，卡了壳、断了思路，这是一种普遍现象．现就笔者在讲授这部分内容时学生暴露的问题，分析一下思路受阻的几种原因及转化策略．１　从ｋ到（ｋ＋１）添项不足在从ｋ到（ｋ＋１）的证明过程中，如果分析不透命题结构，就会造成添项不足，证明夭折．例１　已知Ｓｎ＝１＋１２＋１３＋…＋１ｎ，（ｎ∈Ｎ）．用数学归纳法证明Ｓ２ｎ＞１＋ｎ２　…     

算术——几何平均不等式的简捷证明

算术——几何平均不等式是一个有着广泛应用的重要不等式．证明这个不等式有多种方法,但都较繁．本文给出一个比较简捷的证明方法．定理设ａ１,ａ２,…,ａｎ是ｎ个（ｎ∈Ｎ且ｎ≥２）正数,则１ｎ（ａ１＋ａ２＋…＋ａｎ）≥ｎａ１ａ２…ａｎ,当且仅当ａ１＝ａ２＝…...     

数学问题解答

数学问题解答１９９７年１２月号问题解答（解答由问题提供人给出）１１０６设ｎ是不小于２的正整数，则７１２１－１２＋１３－１４＋…＋１２ｎ－１－１２ｎ＜ｌｎ２证明设ａｎ＝１－１２＋１３－１４＋…＋１２ｎ－１－１２ｎ＝１ｎ＋１＋１ｎ＋２＋…＋１２ｎ，（ｎ...     

引入参数证明不等式

引入参数证明不等式,思路明确,有章可循,是证明不等式的一种重要方法．尤其对不等式取上、下界时,各变元的取值不相等的问题,参数法更显奇效．下面举例说明之．例１　已知正数ａ、ｂ、ｃ,满足ａ＋ｂ＋ｃ＝３,求证：　４ａ＋１＋４ｂ＋１＋４ｃ＋１＞２＋１３．证明　∵　０＜ａ＜３,　∴　ａ２＜３ａ．令　４ａ＋１＝３ｘ２ａ＋２ｘａ＋１　＞ｘ２ａ２＋２ｘａ＋１＝（ｘａ＋１）２　（ｘ＞０）由　　　３ｘ２＋２ｘ＝４,解得　ｘ＝１３－１３　（负值已舍去）,∴　４ａ＋１＞１３－１３ａ＋１．同理有　４ｂ＋１＞１３－１３ｂ＋…     

两个不等式的简捷证法

下面给出的两类不等式问题,一般是通过代换的方法证明．本文给出直接简捷的证明．命题１　设ｘｉ∈Ｒ＋（ｉ＝１,２,…,ｎ）且ｘ２１１＋ｘ２１＋ｘ２２１＋ｘ２２＋…＋ｘ２ｎ１＋ｘ２ｎ＝ａ（０＜ａ＜ｎ）,求证：ｘ１１＋ｘ２＋ｘ２２１＋ｘ２２＋…＋ｘ２ｎ１＋ｘ２ｎ≤ａ（ｎ－ａ）①证　由题设易知：１１＋ｘ２１＋１１＋ｘ２２＋…＋１１＋ｘ２ｎ＝ｎ－ａ．由于　１１＋ｘ２ｋ＋ｎ－ａａ·ｘ２ｋ１＋ｘ２ｋ　　≥２１１＋ｘ２ｋ·ｎ－ａａ·ｘ２ｋ１＋ｋ２ｋ　　＝２ｎ－ａａ·ｘｋ１＋ｘ２ｋ）（ｋ＝１,２,…,ｎ）,此ｎ式相…     

关于一个单形不等式的简单证明

关于一个单形不等式的简单证明杨定华（重庆师范学院数学系，重庆４０００４７）苏化明先生在文［１］建立如下与ｎ维单形外接超球心有关的一个不等式：定理设Ａ＝Ａ１Ａ２…Ａｎ＋１为Ｅｎ中的ｎ维单形，Ａ的外接超球心Ｏ位于其内部．记Ａｉ＝Ａ１Ａ２…Ａｉ－１ＯＡｉ＋...     

“1／a_1＋1／a_2＋…＋1／a_n≥n~2／（a_1＋a_2＋…＋a_n）”的灵活运用

“１／ａ_１＋１／ａ_２＋…＋１／ａ_ｎ≥ｎ~２／（ａ_１＋ａ_２＋…＋ａ_ｎ）”的灵活运用５５０００３贵州教育学院数学系李长明对应用极为广泛的三个平均值之间的不等式在现行高中代数课本下册上，只就ｎ＝２，３论证了算术平均不小于几何平均，而ｎ＞３时，因证明较?..     

一组互相关联的不等式命题

大家知道，由ｎ元均值不等式可方便地得到如下一个不等式：设ａｉ∈Ｒ＋（ｉ＝１，２，…，ｎ，ｎ≥２），则∑ｎｉ＝１ａｉ∑ｎｉ＝１１ａｉ≥ｎ２；（１）不等式（１）相当有用，对它作适当代换，可引出一组互相关联的不等式命题；首先，对（１）作代换（Ｓ－ａ１，Ｓ－ａ２，…，Ｓ－ａｎ）→（ａ１，ａ２，…，ａｎ），其中Ｓ＝∑ｎｉ＝１ａｉ，得命题１　设ａｉ∈Ｒ＋（ｉ＝１，２，…，ｎ，ｎ≥２），∑ｎｉ＝１ａｉ＝Ｓ，则∑ｎｉ＝１１Ｓ－ａｉ≥ｎ２（ｎ－１）Ｓ　；（２）证明　由（１），∑ｎｉ＝１（Ｓ－ａｉ）∑ｎｉ＝１１Ｓ－…     

一个不等式的推广及应用

定理１若ａｉ∈Ｒ（ｉ＝１，２，３，…，ｎ），则ａ１＋ａ２＋…＋ａｎｎ≤ａ２１＋ａ２２＋…＋ａ２ｎｎ．那么，不等式ａ１＋ａ２＋…＋ａｎｎ≤ｍａｍ１＋ａｍ２＋…＋ａｍｎｎ是否成立呢？我仔细查阅了《数学手册》等有关资料未发现这个不等式，经过研究发现这个不等...     

一类分式不等式的新证法

一类分式不等式的新证法郭慧清（广东深圳市深圳中学５１８０２５）设ａｉ，ｂｉ∈Ｒ（ｉ＝１，２，…，ｎ），则有（ａ２１＋ａ２２＋…＋ａ２ｎ）（ｂ２１＋ｂ２２＋…＋ｂ２ｎ）（ａ１ｂ１＋ａ２ｂ２＋…＋ａｎｂｎ）２这是众所周知的柯西不等式，若令ａｉ＝ｘｉｙｉ...     

构造二次方程证明不等式

利用一元二次方程根的分布的充要条件，可以证明一类不等式．例１已知ａ＞１３，ｂ＞１３，ａｂ＝２９．求证：ａ＋ｂ＜１．证明设ａ＋ｂ＝ｔ，∵ａｂ＝２９．∴ａ，ｂ为一元二次方程ｘ２－ｔｘ＋２９＝０的二根，由于ａ＞１３，ｂ＞１３，记ｆ（ｘ）＝ｘ２－ｔｘ＋２９，...     

一个不等式的推广及应用

若ａ∈Ｒ,则ａ２≥２ａ－１①当且仅当ａ＝１时等号成立．将此不等式推广到一般,有定理若ａ∈Ｒ＋,ｎ∈Ｎ且ｎ≥２,则ａ２≥ｎａ－（ｎ－１）②当且仅当ａ＝１时等号成立．证由均值不等式,有ａ２＋（ｎ－１）＝ａｎ＋１＋１＋…＋１ｎ－１个≥ｎａ,∴ａｎ≥ｎａ－（...     

一个代数不等式的证明

一个代数不等式的证明４１０１２８湖南农业大学２２５＃陈宽红定理设ｘ，ｙ，ｚ∈Ｒ且ｘ＋ｙ＋ｚ＝０，ｎ∈Ｎ，则这是福建杨学枝老师于１９９４年提出的一个猜想，本文将证明此猜想．证（１）当ｎ＝１，２时，①式显然成立．（２）考察ｎ≥３，ｎ∈Ｎ的情形．１°若ｘ，...     

从等号出发证明不等式

某些含有等号的不等式的证明题，若从等号成立的条件出发，利用基本不等式，则可迅速获证．下面举例说明．例１已知ａ＋ｂ＋ｃ＝１，求证ａ２＋ｂ２＋ｃ２≥１３．分析：考虑到当且仅当ａ＝ｂ＝ｃ＝１３时，不等式取等号，此时，ａ２＝１９，于是有下面的证法．证ａ２＋１...     

数学问题解答

１１６６１９９８年１２月号问题解答（解答由问题提供人给出）１．对任意自然数ｎ,试证：１２＋２２＋３２＋…＋ｎ２＜２证明构造数列｛ａｎ｝：ａ０＝２,ａ１＝ａ２０－１２,ａ２＝ａ２１－２２,…,ａｎ＝ａ２ｎ－１－ｎ２．下面数学归纳法证明：ａｎ＞ｎ２．显然...     

数学问题解答

１９９９年４月号问题解答（解答由问题提供人给出）１１８６设ｎ∈Ｎ,ｎ≥２,ｋ∈Ｒ＋,求函数ｙ＝ｘｎｘ－ｋ（ｘ∈（ｋ,＋∞））的最小值．解由均值不等式ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎｎ≥ｎｘ１ｘ２…ｘｎ得ｘ１ｘ２…ｘｎ≤（ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎｎ）ｎ∵ｙ＝ｘｎｘ－ｋ...     

几个代数恒等式与正方形的分割

几个代数恒等式与正方形的分割刘唐育（江苏如皋邓园职业高中２２６５００）高中代数下册为学生学习数学归纳法设置了如下恒等式：１２＋２２＋３２＋…＋ｎ２＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）６；１３＋２３＋３３＋…＋ｎ３＝ｎ２（ｎ＋１）２４；１·２＋２·３＋…＋ｎ（ｎ...     

数学问题解答

１９９８年９月号问题解答（解答由问题提供人给出）１１５１设Ｓｎ＝１＋１２＋１３＋…＋１ｎ，求Ｓ１９９９的整数部分．解当ｒ为自然数时，显然有：ｒ＋１２＋ｒ－１２２＜ｒ＜ｒ＋１＋ｒ２，∴ｒ＋１－ｒ＜１２ｒ＜ｒ＋１２－ｒ－１２．在上式中令ｒ＝３，４，…，ｎ...     

数学归纳法证明中的项数问题

数学归纳法证明中的项数问题５５０００４贵阳市第六中学邢益民在中学数学中，用数学归纳法证明一类恒等式时，如下两个问题常常使学生的解题思路受阻．１当ｎ＝１时的项数例１　　用教学归纳法证明（ｎ＋１）十（ｎ＋２）＋（ｎ十３）＋…＋３ｎ＝ｎ（４ｎ＋１）（ｎ∈Ｎ...     

一个不等式的推广

一个不等式的推广黄桂君（江苏省高邮市中学２２５６００）若ａ＞０，ｂ＞０，且ａ＋ｂ＝１，则（ａ＋１ａ）２＋（ｂ＋１ｂ）２≥２５２，这是我们所熟悉的一个不等式．本文将给出它的几个推广及证明：推广１若ａ＞０，ｂ＞０，且ａ＋ｂ＝１，则（ａ＋１ａ）ｎ＋（ｂ＋１...