如何正确理解数学概念

有同学说“数学概念有什么可学的 ?不就是几个定义、几个公式 ?”孰不知 ,就是那么几个定义、几个公式 ,却以其深刻严谨的思想内涵 ,筑起了一幢幢数学的高楼大厦 .所以 ,全面、深刻地理解数学概念和运用概念是数学学习的一项重要任务 .高中数学中概念较多 ,它是现实世界中空间形式和数量关系极其特有属性在思维中的反映 ,正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提 ,是学好数学定理、公式和掌握数学方法 ,提高解题能力的基础 .为了深刻地理解数学中的概念 ,必须认真阅读教材 ,仔细领会概念的含义 ,提高自己分析问题解决问题的能力 .下面从几…     

妙用祖暅原理求几何体的体积

祖日恒原理是我国古代人民对数学的伟大贡献之一 ,利用祖日恒原理时体现出来的创新精神、实践能力是当前素质教育所大力提倡的 .因此祖日恒原理在培养学生的创新精神、实践能力方面提供了很好的素材 ,我们应该加以挖掘、充分利用 .为了利用祖日恒原理计算某个几何体的体积 ,常要构造一个几何体 ,此几何体必须符合两个条件 :①它的计算公式是已知的 ;②它符合祖日恒原理的条件 ,即该几何体与原几何体能夹在两个平行平面之间 ,且用平行于这两个平面的任意一个平面去截它们时 ,截得的截面面积总相等 .例 1　 ( 2 0 0 2年全国高中数学联赛 )由曲…     

凸显问题探究,培养应用意识——以人教版七年级下册“实际问题与二元一次方程组”(第1课时)为例

应用意识是《义务教育数学课程标准》(2011年版)(以下简称“课标”)十个核心概念之一“.课标”指出“应用意识有两个方面的含义,一方面有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象,解决现实世界中的问题;另一方面,认识到现实生活中蕴含着大量与数量和图形有关的问题,这些问题可以抽象成数学问题,用数学的方法予以解决”.蔡上鹤先生认为“这里的不足之处是没有加进第三方面:领会学数学、做数学、用数学三者的辩证关系”.为了探索在数学课堂教学的过     

贝努利不等式及推论解高考题举例

贝努利不等式具有简单的结构、深刻的内涵,在等数学中有广泛的应用.比如利用贝努利不等式能简洁明快地证明重要极限lim(1+1/n)n=e、算术一几何平均值不等式、权方和不等式,也是证明幂平均不等式的工具,鉴于贝努利不等式在数学中地位与作用,<普通高中数学课程标准(实验)>(以下简称<标准>),将贝努利不等式列入选修系列4第5专题"不等式选讲"中.……     

分类讨论在初中数学学习中的应用

分类讨论应用场景广泛,包括概念学习、公式运用、问题解答等方面,其中利用分类讨论解答数学问题,应该作为初中数学学习的重点,这样更有利于突出学生在数学学习活动中的主体地位.初中数学学习主要有“数学概念”“数学准则”“数学问题”三种类型,将其逐一分析并讨论其中分类讨论应用方式.     

追求学生自主探究的数学课堂

著名数学家和数学教育家波利亚曾说:“学习任何知识的最佳途径是由自己去发现,因为这种发现理解最深,也最容易掌握其中的规律、性质和联系.”因此,教师要善于引导学生养成理解性探究的学习方法.一次公开课教学中,执教的内容是苏科版数学七年级下册的“零指数幂和负指数幂”.设计本课的宗旨是:“以生为本”“为理解而教”,培养“理解性探究”的学习方法 ,课堂教学的理念是:让学生充分参与、自主探究,让学生思维活     

几种常见函数的性质及其应用

“函数及其图象”内容是中学数学的重要内容之一 ,它在生产实践中应用最为广泛 ,也是数学“数形结合”思想的重要体现 .因而学习本内容的关键是掌握利用几何图形研究代数问题的方法 .为了帮助大家对本内容的学习 ,下面就此内容作系统归纳并精选出一些例题 ,供大家参考 .一、函数概念函数 :设在某变化过程中有两个变量x ,y ,如果对于x在某一范围内的每一个确定的值 ,y都有唯一确定的值与它对应 ,那么就说y是x的函数 ,x叫自变量 .根据函数的含义 ,需使自变量的每一个值都有确定的函数值 ,因此根据函数的解析式求自变量取值范围的原则是 :自变量的取值必须保证该式有意义 .具体要求如下表所示 :函数解析式自变量x的取值范围求法( 1 )整式 x可取任意实数( 2 )分式令分母≠ 0 ,求x的取值( 3 )偶次根式令被开方式≥ 0 ,求x即可( 4 )奇次根式x可取任意实数( 5 )幂的形式①正整数　次幂②零次幂③负整数　指数幂x可取任意实数令底数≠ 0 ,求x即可先化为正整数指数幂 ,令分母≠ 0　　注意的两个问题 :( 1 )当函数式同时出现以上几种形式中的若干种时 ,则必须逐一求得x的取值范围 ,再取其公共部分才是...     

椭球体与抛物锥体的体积推导

在研究性学习中 ,受教材《立体几何》中用祖日恒原理推导球体的体积方法的启发 ,本文探索用祖日恒原理推导椭球体和抛物锥体的体积 .1　椭球体的体积椭球体即指将椭圆绕其一条对称轴旋转一周 (半周亦可 )所得的几何体 .下面构造恰当的几何体使用祖日恒原理推导其体积 .先研究半椭球的体积 .设椭球体是由长半轴长为ａ ,短半轴长为ｂ的椭圆绕其短轴所在直线旋转得到的 .为了应用祖日恒原理 ,需要找一个可求体积的几何体 ,使它和旋转半椭球体可夹在两平行平面间 ,用平行于这两个平面的任意一个平面去截它们时 ,截面面积总相等 .图 1　求半椭球…     

函数概念和几种常见函数的性质及应用

函数及其图象”内容是中学数学的重要内容之一 ,它在生产实践中应用最为广泛 ,也是数学“数形结合”思想的重要体现 .因而学习本内容的关键是掌握利用几何图形研究代数问题的方法 .为了帮助大家对本内容的学习 ,下面就此内容作系统归纳并精选出一些例题 ,供大家参考 .一、函数概念函数 :设在某变化过程中有两个变量ｘ ,ｙ ,如果对于ｘ在某一范围内的每一个确定的值 ,ｙ都有唯一确定的值与它对应 ,那么就说ｙ是ｘ的函数 ,ｘ叫自变量 .根据函数的含义 ,需使自变量的每一个值都有确定的函数值 ,因此根据函数的解析式求自变量取值范围的原则是 :自变量的取值必须保证该式有意义 .具体要求如下表所示 :函数解析式自变量ｘ取值范围的求法( 1)整式ｘ可取任意实数( 2 )分式令分母≠ 0 ,求ｘ的取值( 3)偶次根式令被开方式≥ 0 ,求ｘ即可( 4)奇次根式ｘ可取任意实数( 5)幂的形式①正整数次幂②零次幂③负整数指数幂ｘ可取任意实数令底数≠ 0 ,求ｘ即可先化为正整数指数幂 ,令分母≠ 0　　注意的两个问题( 1)当函数式同时出现以上几种形式中的若干种时 ,则必须逐一求得ｘ的取值范围 ,再取其公共部分才是所求 .( 2 )求具...     

数学课堂教学中的科学训练探微

作为可操作性很强的数学“训练”，是“训”和“练”这一对动态矛盾相互依托、激活、渗透、转化直到统一的活动．所谓数学“训练”是指加强学生数学基本功的训练．“训练”不是一种具体的教学方法，而是适应现阶段数学教学的一种基本策略．从知识点的角度看，首先是对数学概念的训练，并在此基础上进行判断、推理，从而理解数学的原理和方法；从能力点的角度看，包括运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力及应用能力的训练；就其形式来说，要求以科学为指导，遵循教育学、心理学的规律，激发学生的“内驱力”．若训练方法科学，它有利于提高…     

巧用瓜豆原理，破解初中数学路径问题

<正>1 瓜豆原理我们所说的“瓜豆原理”是数学问题中的一个动态问题——主从联动.这类问题涉及到路径问题,因此利用本模型解题,首先要明确“主动点”的路径,再结合具体的问题分析“主动点”和“从动点”之间的关系,之后确定“从动点”运动路径的形状,最终达到顺利解题的目的.1.1 模型特征瓜豆原理实际上就是数学中的轨迹问题,它所涉及到的动点有两个,一个看作是“瓜”,一个看作是“豆”,“主动点”是“瓜”,“从动点”是“豆”,     

领会新课标用好新教材——《对高中实验教材中一些问题的商榷》的不同看法

文[1]对北师大版教材《普通高中课程标准实验教科书数学2(必修)》(以下简称《数学2》)中的几个问题提出了不同意见,读后深受启发.但文[1]中的1.3要不要介绍三垂线定理似有不妥,值得商榷,本文提出来与大家讨论.需要介绍三垂线定理及其逆定理吗?文[1]提出,“《数学2》没有介绍三垂线定理,是否出于淡化论证的考虑呢?”笔者认为,这个问题在《普通高中数学课程标准》(实验)中已经做了回答,《普通高中数学课程标准》(实验)指出:“在立体几何初步部分,学生将从对空间几何体的整体观察入手,认识空间图形;再以长方体为载体,直观认识和理解空间点、线…     

关于幂和公式的一般性质

一、前言 当n与k都是正整数时,我们简称sum from m=1 to n ()m~k为“幂和”,并以S_k(n)记之。从古希腊的阿基米德开始,这个问题就吸引着很多数学家的兴趣。十七世纪以前的数学家们仅仅求出了二次和三次幂的求和公式。而雅各·伯努利在《猜度术》中,一举得到了任意次幂的求和公式如下:     

基于“数学理解层级”的教学设计策略思考——以初中数学教学为例

<正>“数学理解”是数学教学研究者持续关注的重要话题.斯根普将数学理解划分为工具性理解和关系性理解^[1];李士锜认为:如果在心理上能组织起适当的有效的认知结构,并使之成为个人内部网络的一部分,那才说明对一个数学概念、原理、法则是理解了^[2];类似地,吕林海的研究表示,要对知识进行深刻、真正的理解意味着学习者所获得的知识是结构化的、整合的,而不是零碎的、只言片语的^[3].这些研究表明:关于数学理解的观点虽然众多,但普遍认为数学理解是分层级的,大致划分为四个层级:散点理解、链式理解、网状理解和形上理解,呈现从无序到有序、从有形到有魂、从看得见到看不见的层级递进过程,具体表现特征如图1.     

数学课堂教学的"六度"例探

数学教育应走出纯理科的误区 ,走进理科与人文精神、理性与悟性相结合的道路 ,这已形成广大数学教学工作者的共识 .为此 ,笔者提出数学课堂教学的“六度”:深度、广度、放度、梯度、密度、趣度 .现以笔者应邀在国家级示范高中徐州市一中上的一节公开课——《椭圆及其标准方程》为例谈一谈“六度”的实施和体现 .1　“六度”的含义深度　是指学生对教学内容理解的深刻程度 .“深刻性”是数学思维的一个重要特征 ,即要求学生对教学内容达到本质的理解 .基于此 ,才能做到想通悟透 ,才能形成自然而又牢固的记忆 ,进而做到融会贯通、灵活运用 .广…     

工科类本科数学基础课程教学基本要求

(修订稿 )教育部非数学类专业数学基础课程教学指导分委员会一、前　　言数学是研究客观世界数量关系和空间形式的科学 .随着现代科学技术和数学科学的发展 ,“数量关系”和“空间形式”具备了更丰富的内涵和更广泛的外延 .现代数学内容更加丰富 ,方法更加综合 ,应用更加广泛 .数学不仅是一种工具 ,而且是一种思维模式 ;不仅是一种知识 ,而且是一种素养 ;不仅是一种科学 ,而且是一种文化 ,能否运用数学观念定量思维是衡量民族科学文化素质的一个重要标志 .数学教育在培养高素质科学技术人才中具有其独特的、不可替代的重要作用 .高等学校工…     

零指数幂与负整数指数幂精析

<正>一、零指数幂和负整数指数幂的意义同底数幂相除,当被除式的指数等于或小于除式的指数时,就会出现零指数和负指数,因此,对零指数幂和负整数指数幂的意义作了如下规定:a⁰=1(a≠0),即任何不等于0的数的0次幂都等于1.a0=1(a≠0),即任何不等于0的数的0次幂都等于1.a^(-p)=1/a(-p)=1/a^p(a≠0,p是正整数),即任何不等于0的数的-p(p是正整数)次幂等于这个数的p次幂的倒数.理解和运用这两个法则时应注意以下几     

函数概念与基本初等函数

1.本单元知识点函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型.函数内涵丰富、思想深刻、应用广泛,是高中数学的核心知识与关键内容.基本初等函数尽管简单,但非常根本,也能大致满足描摹现实世界的需要.本单元学习重点包括:函数的概念及表示,函数的定义域与值域,函数的单调性与最值、函数的奇偶性,幂运算与对数运算,指数函数、对数函数与幂函数的概念和性质,函数零点与方程根的联     

基于直观想象素养的构成和水平划分的数学高考试题研究

1直观想象素养的内涵和构成数学核心素养是当前研究的热点.如何理解直观想象、直观想象素养在实践教学中的落实等已有很多研究成果.目前较为普遍的认识是,直观想象包括几何直观、空间想象两个方面,几何直观和空间想象有关但不同,空间想象一定程度依赖于几何直观.建立数与形的联系、借助几何直观使抽象问题形象化、构建直观模型使复杂问题简单化,是落实直观想象素养的几个关键环节[1]-[3].此外,也有研究是关于直观想象在中高考解题中的具体应用[4]-[7].     

妙趣横生学数学

有同学说:数学是抽象的、枯燥的、烦琐的. 我会告诉他:数学是精巧的、鲜活的、迷人的! 你是怎样学习数学呢?去认知、体味,还是亲近? 1.咬文嚼字析概念 深刻准确地剖析知识;揭示其本质特征是我们正确理解知识的基础.高中数学的概念虽然抽象、不易理解,但若字斟句酌地细心推敲每一字一句的意义,体会内涵与外延,甚至赋予形象化的联想,以突出其主要特征,这样即使学习抽象的概念也感到趣味盎然.如“球冠”,冠:帽子也.因此“球冠”可以形象地理解